高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案

§5.1.1 任意角

导学目标：

（1）理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解象限角、坐标轴上的角的概念．

（2）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法．

（预习教材P130~ P135，回答下列问题）

体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念．

回忆1：三角形的内角和为             ；四边形的内角和为                 ；

回忆2：初中角的定义：

平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

那么，你能表示下列问题当中的角度吗？

（1）体操运动员比赛中的转体，如何表示？

（2）汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度如何表示？

【知识点一】角的定义及正角、负角和零角

一条射线绕着它的端点按一定方向旋转到另一位置，就形成了角，其中射线叫角的始边，

射线叫角的终边，叫角的顶点．

为了区别起见，把按逆时针方向旋转所形成的角叫           ，

把按顺时针方向旋转所形成的角叫            ，

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个            ．

一般地“角”或“∠”可简记为            ．

自我检测1-1：请说出右图三个角各是多少度？含义是什么？

自我检测1-2：对于给定的两角、，我们如何定义呢？

已知角如图所示，请在图中作出，．

【知识点二】象限角和轴上角

在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合时，

（1）角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，

（2）角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

自我检测2-1：下图角、、分别属于第几象限角？

自我检测2-2：判断对错

（1）第一象限角都是锐角（   ）

（2）锐角都是第一象限角（   ）

（3）小于的角都是第一象限角（   ）

【知识点三】终边相同的角

观察右图，试试说出角、、之间有何关系？

你还能否找到满足上述关系的角呢？

若有，我们该怎么表示呢？

所有与角终边相同的角，连同角在内，

可构成一个集合，

即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．

（1） ；  

（2）是任一角；

（3） 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差的整数倍．

自我检测3：和终边重合的角如何表示：                                 ．

【知识点四】终边落在一个区域内的角的表示方法

（1）终边落在正半轴上的角：                                                     

（2）终边落在正半轴上的角：                                                     

（3）终边落在负半轴上的角：                                                     

（4）终边落在负半轴上的角：                                                     

（5）终边落在轴上的角：                                                     

（6）终边落在坐标轴上的角：                                                     

（7）终边落在射线上的角：                                                     

（8）终边落在第一象限内的角：                                                

题型一　任意角的概念及应用

【例1】(1)若角的顶点在原点，角的始边与轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角；     ②相等的角的终边一定相同；

③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．

其中正确的有(　　)

A．1个                     B．2个

C．3个                     D．4个

题型二　终边相同的角的表示方法

【例2-1】在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？

（1）；        （2）；        （3）．

【例2-2】已知角．

（1）把改写成的形式，并指出它是第几象限角；

（2）求，使与终边相同，且．

题型三　象限角的表示方法

【例3-1】写出角的终边在下列位置时的集合．

（1）角α的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）；

（2）角α的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．

【例3-2】若为第一象限角，则是（    ）

A．第一象限角  B．第二象限角 

C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角

1．“是锐角”是“是第一象限角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

2．在范围内，与终边相同的角是（    ）

A． B． 

C． D．

3．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是（    ）

A． B．

C． D．

4．的终边在第三象限，则的终边可能在（    ）

A．第一、三象限 B．第二、四象限

C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴

5．若角与的终边关于y轴对称，则与满足的关系式为（    ）

A．        B．

C．     D．

§5.1.1 任意角答案

导学目标：

（1）理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解象限角、坐标轴上的角的概念．

（2）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法．

（预习教材P130~ P135，回答下列问题）

体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念．

回忆1：三角形的内角和为             ；四边形的内角和为                 ；

回忆2：初中角的定义：

平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

那么，你能表示下列问题当中的角度吗？

（1）体操运动员比赛中的转体，如何表示？

（2）汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度如何表示？

【知识点一】角的定义及正角、负角和零角

一条射线绕着它的端点按一定方向旋转到另一位置，就形成了角，其中射线叫角的始边，

射线叫角的终边，叫角的顶点．

为了区别起见，把按逆时针方向旋转所形成的角叫           ，

把按顺时针方向旋转所形成的角叫            ，

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个            ．

一般地“角”或“∠”可简记为            ．

自我检测1-1：请说出右图三个角各是多少度？含义是什么？

自我检测1-2：对于给定的两角、，我们如何定义呢？

已知角如图所示，请在图中作出，．

【知识点二】象限角和轴上角

在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合时，

（1）角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，

（2）角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

自我检测2-1：下图角、、分别属于第几象限角？

自我检测2-2：判断对错

（1）第一象限角都是锐角（   ）

（2）锐角都是第一象限角（   ）

（3）小于的角都是第一象限角（   ）

【知识点三】终边相同的角

观察右图，试试说出角、、之间有何关系？

你还能否找到满足上述关系的角呢？

若有，我们该怎么表示呢？

所有与角终边相同的角，连同角在内，

可构成一个集合，

即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．

（1） ；  

（2）是任一角；

（3） 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差的整数倍．

自我检测3：和终边重合的角如何表示：                                 ．

【知识点四】终边落在一个区域内的角的表示方法

（1）终边落在正半轴上的角：                                                     

（2）终边落在正半轴上的角：                                                     

（3）终边落在负半轴上的角：                                                     

（4）终边落在负半轴上的角：                                                     

（5）终边落在轴上的角：                                                     

（6）终边落在坐标轴上的角：                                                     

（7）终边落在射线上的角：                                                     

（8）终边落在第一象限内的角：                                                

题型一　任意角的概念及应用

【例1】(1)若角的顶点在原点，角的始边与轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角；     ②相等的角的终边一定相同；

③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．

其中正确的有(　　)

A．1个                     B．2个

C．3个                     D．4个

【答案】C

题型二　终边相同的角的表示方法

【例2-1】在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？

（1）；        （2）；        （3）．

【答案】（1）三；（2）四；（3）二．

【例2-2】已知角．

（1）把改写成的形式，并指出它是第几象限角；

（2）求，使与终边相同，且．

【答案】（1）由除以，得商为，余数为，

∴取，，，

又是第三象限角，

∴为第三象限角；

（2）与终边相同的角为，

令，

解得：

，

将的值代入中，

得角的值为．

题型三　象限角的表示方法

【例3-1】写出角的终边在下列位置时的集合．

（1）角α的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）；

（2）角α的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．

【答案】（1）；

（2）．

【例3-2】若为第一象限角，则是（    ）

A．第一象限角  B．第二象限角 

C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角

【答案】D

1．“是锐角”是“是第一象限角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

2．在范围内，与终边相同的角是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

3．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

4．的终边在第三象限，则的终边可能在（    ）

A．第一、三象限 B．第二、四象限

C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴

【答案】C

5．若角与的终边关于y轴对称，则与满足的关系式为（    ）

A．        B．

C．     D．

【答案】D