2020-2021学年3 数学建模活动的主要过程课文内容课件ppt

这是一份2020-2021学年3 数学建模活动的主要过程课文内容课件ppt，文件包含第六章§3用样本估计总体的分布pptx、第六章§3用样本估计总体的分布docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。


§3　用样本估计总体的分布
第六章　统　计
学习目标
1.了解频数与频率的关系.
2.掌握频率分布直方图的画法.
3.会用频率分布直方图或频率折线图估计总体分布.
导语
与传统相机比较，在数码相机中，有一种十分实用的功能，这就是直方图显示功能.直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量柱形图来确定照片曝光量大小的工具，通过直方图的横轴和纵轴我们可以直观地看出拍摄的照片的曝光情况，在拍摄时能给摄影者带来很大的方便.今天的学习便与直方图有关.
内容索引
频数与频率

一
问题1　将容量为100的样本数据分为8个组，如下表：
你能求出第3组的频率吗？
频数与频率
知识梳理
较小
频数
频数
在统计中，经常用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计，注意频率的取值范围.
注意点：
　　某中学记载了近五年(2018～2022)学生高考本科上线人数及相应比例如下表，请根据表中数据说明频数与频率的不同之处.
从2018年到2022年本科上线人数逐年递增，从频数来看，2019年较上一年增加了79人，2020年较上一年增加了62人，2021年较上一年增加了33人，2022年较上一年增加了36人，容易得到2018年到2019年增加的人数最多，2020年到2021年以及2021年到2022年增加的人数较少，但从这五年的频率来看，2018年到2019年的频率增长了1.8%，是增长最少的，2019年到2020年的频率增长了3.8%，是增长最大的，这说明只从频数一个角度分析实际问题是远远不够的，实际过程中，应从频数和频率两方面参考.
反思感悟
频率反映了相对总数而言的相对强度，其携带的总体信息要超过频数，频数受总体数量影响较大，所以频率能客观地反映总体分布，在生活中，经常用样本的频率分布去估计总体的频率分布.
　　　(多选)肥胖不仅影响了个人形象，还会增加各种疾病发生的几率，近几年，减肥行业风生水起.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房跟踪调查了20名肥胖者，把健身前后他们的体重(单位：kg)制成如下表格.
对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是A.健身后，体重在区间[90,100)内的频数增加值为2B.健身后，原来体重在区间[110,120]内的肥胖者体重都有减少C.原来体重在[80，90)和[90,100)内的人减肥失败D.原来体重在区间[100,110)内的人减肥没有效果
√
√
原来体重在区间[90,100)内的频数为20×30%＝6，健身后体重在此区间内的频数为20×40%＝8，频数增加值为2，A正确；原来体重在区间[110,120]内的频数为20×20%＝4，而健身后在此区间内的频数为0，说明此前的肥胖者体重都有减少，B正确；健身后体重在区间[100,110)内的频数没有变化，但是并不能说原来体重在区间[100,110)内的人减肥没有效果，因为健身前后这个区间的人不一定是相同的，同理，也不能说原来体重在[80，90)和[90,100)内的人减肥失败，CD均不正确.
绘制频率分布直方图

二
问题2　假如通过抽样调查，获得100位居民的月均用水量如下(单位：t)：9.0　13.6　14.9　5.9　4.0　7.1　6.4　5.4　19.4　2.0　2.2　8.6　13.8　5.4　10.2　4.9　6.8　14.0　2.0　10.5　2.1　5.7　5.1　16.8　6.0　11.1　1.3　11.2　7.7　4.9　2.3　10.0　16.7　12.0　12.4　7.8　5.2　13.6　2.622.4　3.6　7.1　8.8　25.6　3.2　18.3　5.1　2.0　3.0　12.0　22.2　10.0　5.5　2.0　24.3　9.9　3.6　5.6　4.4　7.9　5.1　24.5　6.4　7.5　4.7　20.5　5.5　15.7　2.6　5.7　5.5　6.0　16.0　2.4　9.5　3.7　17.0　3.84.1　2.3　5.3　7.8　8.1　4.3　13.3　6.8　1.3　7.0　4.9　1.8　7.1　28.0　10.2　13.8　17.9　10.1　5.5　4.6　3.2　21.6
上述100个数据中的最大值和最小值分别是多少？由此说明样本数据的变化范围是什么？
提示　最大值是28.0，最小值是1.3，样本观测数据的变化范围为26.7 t.
问题3　样本数据中的最大值和最小值的差称为极差，如果将上述100个数据按组距为3进行分组，那么这些数据共分为多少组？
提示　26.7÷3＝8.9.因此可以将数据分为9组.
问题4　根据问题3的答案，思考下面的问题：各组数据的取值范围可以如何设定？
提示　[1.2,4.2)，[4.2,7.2)，…，[25.2,28.2].
问题5　试列出频率分布表.
提示　
问题6　请画出频率分布直方图.
提示
1.频率分布直方图频率分布直方图以　　　的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小，其画图步骤为
知识梳理
面积
左闭右开
频率
纵轴
面积
1
2.频率折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的 开始，用线段依次连接各个矩形的 ，直至右边所加区间的 ，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图.随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之 ，而每个区间的长度则会相应随之 ，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.
中点
顶端中点
中点
增多
减小
(1)频率分布表能比较准确地反映样本的频率分布，而频率分布直方图则能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别.(2)当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示.(3)对于同一组数据，不同的组距决定不同的组数，得到的频率分布直方图也会不同.
注意点：
　　某高校对2021年该校自主招生的数据做了新的研究，从考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下：
(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；
频率分布直方图如图所示.
(2)如果在笔试成绩的第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3,4,5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试.
因为第3,4,5组共有60名学生，
所以第3,4,5组应抽取的学生人数分别为3,2,1.
延伸探究　本例中，若从中随机抽取44名考生的面试成绩如下：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48请将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图与频率折线图.
以4为组距，列表如下：
频率分布直方图如图所示：
频率折线图如图所示：
反思感悟
绘制频率分布直方图的注意点
反思感悟
(2)组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多.
　　　某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验，其得分如下(单位：分)：48　64　52　86　71　48　64　41　86　7971　68　82　84　68　64　62　68　81　5790　52　74　73　56　78　47　66　55　6456　88　69　40　73　97　68　56　67　5970　52　79　44　55　69　62　58　32　58根据上面的数据，回答下列问题：(1)这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少？
这次测验成绩的最低分是32分，最高分是97分.
(2)将区间[30,100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图.
根据题意，列出样本的频率分布表如下：
频率分布直方图如图所示.
频率分布直方图的应用

三
　　某汽车站在2022年春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了若干名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布直方图(如图所示).
已知购票用时在区间[5,10)内的频数为10，请解答下列问题：(1)这次抽样的样本容量是多少？
由频率分布直方图知，购票用时在区间[5,10)内的频率为0.02×5＝0.1，因为此区间内的频数为10，
(2)分别求出购票用时在区间[10,15)，[15,20)，[20,25]内的频数与频率，并补全频率分布直方图；
由题图可知，购票用时在区间[5,10)，[15,20)，[20,25]内的频率分别为0.1,0.5,0.3，所以购票用时在区间[10,15)内的频率为1.00－0.30－0.50－0.10＝0.10.各区间的频数依次为10,10,50,30，如下表：
所补频率分布直方图如图中的阴影部分.
(3)早在两年前，客运总公司对春运工作就做了明确要求，凡是旅客购票用时20 min以上(含20)的超过20%，为旅客轻微滞留，需各客运站点立即采取相应措施.如果你是汽车站站长，面对今年的春运现状，你该怎么做？
由以上计算可知，旅客购票用时20 min以上(含20)的频率为30%，超过了20%，客运站点应立即采取相应措施，如果我是汽车站站长，应当立即增开购票窗口.
反思感悟
频率分布直方图中的性质(1)因为小矩形的面积＝组距×　　＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
反思感悟
(4)在频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比.
　　　如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18)内的频数为8.
(1)求样本在[15,18)内的频率；
由样本频率分布直方图可知组距为3.
(2)求样本容量；
故样本容量为50.
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06，求在[18,33]内的频数.
在[12,15)内的小矩形面积为0.06，故样本在[12,15)内的频率为0.06，故样本在[15,33]内的频数为50×(1－0.06)＝47.又因为在[15,18)内的频数为8，故在[18,33]内的频数为47－8＝39.
课堂小结
1.知识清单： (1)频数与频率的关系. (2)列频率分布表、画频率分布直方图与频率折线图. (3)频率分布直方图的应用.2.方法归纳：数据分析.3.常见误区：误把频率分布直方图中的纵坐标当成频率，导致计算错误.
随堂演练

1.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
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则样本数据落在区间[10,40)内的频率为A.0.35 B.0.45C.0.55 D.0.65
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2.下列关于频率分布直方图的说法正确的是A.直方图的高表示取某数的频率B.直方图的高表示该组的个体在样本中出现的频率C.直方图的高表示取该组的个体在样本中出现的频数与组距的比值D.直方图的高表示取该组的个体在样本中出现的频率与组距的比值
√
要注意频率分布直方图的特点.在直方图中，纵轴(矩形的高)表示频率与组距的比值.
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3.观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700,3 000)g的频率为A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
√
由题图可得，新生儿体重在[2 700,3 000)g的频率为0.001×300＝0.3.
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4.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为50和0.25，则n＝_____.
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5.如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值等于______.
由图可知纵坐标表示频率/组距，故x＝0.1－0.054－0.010－0.006×3＝0.018.
0.018
课时对点练

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1.已知样本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,11，那么频率为0.4的范围是A.5.5～7.5 B.7.5～9.5C.9.5～11.5 D.11.5～13.5
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只要列出频率分布表，依次对照就可以找出答案.频率分布表如下：
从表中可以看出，频率为0.4的范围是9.5～11.5，故选C.
2.2022年伊始，春风还未吹遍神州大地，新冠疫情又一次肆虐席卷而来.某商业网站举行了线上商品促销活动，对某日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为A.10万元 B.12万元C.15万元 D.30万元
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3.某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93,95)，[95,97)，[97,99)，[99,101)，[101,103)，[103,105]，得到如图所
示的频率分布直方图.若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是A.80% 　 B.90%C.20% 　 D.85.5%
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由频率分布直方图可知元件长度在[97,103)内的频率为1－(0.027 5＋0.027 5＋0.045 0)×2＝0.8，故这批元件的合格率为80%.
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4.(多选)下列说法中错误的是A.用样本的频率分布估计总体的频率分布时，样本容量越大，所分的组　数越多，估计越精确B.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别是　40,0.125，则n的值为240C.频率分布直方图中，小矩形的高等于该组的频率D.将频率分布直方图中小矩形上面一边的一个端点顺次连接起来，就可　以得到频率折线图
√
√
√
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大样本往往更接近于总体，所以A正确；B中n＝40÷0.125＝320；C中频率分布直方图中，小矩形的高等于该小组的频率/组距；D中应将频率分布直方图中各小矩形上端的中点顺次连接起来得到频率折线图.
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5.某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106].已知样本
中产品净重小于100 g的个数是36，则样本中净重大于或等于98 g并且小于104 g的产品的个数是A.90 　　 B.75 C.60 　　 D.45
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由频率分布直方图可知，产品净重小于100 g的频率是0.05×2＋0.1×2＝0.3，
产品净重大于或等于104 g的频率为0.075×2＝0.15.
所以产品净重大于或等于98 g而小于104 g的频率为1－0.15－0.1＝0.75.则净重在此范围内的产品个数为120×0.75＝90.
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6.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的频率之比为1∶4∶4∶6∶3∶2，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝____.
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设第一组至第六组数据的频率分别为x,4x,4x,6x,3x,2x，
解得n＝60.
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7.某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入，并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层随机抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则[40,45)(百元)月工资收入段应抽出_____人.
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月工资收入在[40,45)(百元)段的频率为1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.05×2)×5＝0.15，则[40,45)(百元)月工资收入段的总人数为0.15×1 000＝150，现用分层随机抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，
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8.某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a＝_____；
3.0
由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.0.
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(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.
6 000
区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
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9.在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示).已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
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又∵第三组的频数为12，
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(2)哪组上交的作品数最多？有多少件？
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(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？
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10.公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求.为此，公交公司在某站台随机调查了80名乘客，他们的候车时间如下所示(单位：分)：
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(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率折线图；
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该数据中最大值为34，最小值为1，两者之差为33，故取组距为5，分为7组.
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频率分布直方图如图所示：
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(2)候车时间15分钟及以上的频率是多少？你能为公交公司提出什么建议？
候车时间不低于15分钟的频率为0.275＋0.125＋0.100＋0.037 5＝0.537 5.建议：公交公司可以适当增加公交车的数量.
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11.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、
职业等方面的关系，要从这10 000人中再用比例分配的分层随机抽样方法抽出100人做进一步调查.则在[2.5,3.0)时间段内应抽出的人数是A.25 　　　B.30 　　　C.50 　　　D.75
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抽出的100人中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)时间段内的频率是0.5×0.5＝0.25，
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12.(多选)为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图如下.下列说法正确的是A.月收入低于5 000元的职工有5 500名B.如果个税起征点调整至5 000元，估　计有50%的当地职工会被征税C.月收入高于或等于7 000元的职工约　为当地职工的5%D.根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于　[5 000,6 000)内
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月收入低于5 000元的职工有10 000×(0.000 1＋0.000 2＋0.000 25)×1 000＝5 500(名)，A正确；如果个税起征点调整至5 000元，由(0.000 25＋0.000 15＋0.000 05)×
1 000×100%＝45%，可估计有45%的当地职工会被征税，B不正确；月收入高于或等于7 000元的职工约占0.000 05×1 000×100%＝5%，C正确；月收入低于5 000元的频率为0.55，低于6 000元的频率为0.8，D正确.
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13.在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积和的 ，且样本容量为200，则第8组的频数为_____.
设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积为4x，从而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8组的频数为200×0.2＝40.
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14.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].则：(1)图中的x＝________；
0.012 5
由频率分布直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)，解得x＝0.012 5.
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(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有_____名学生可以申请住宿.
72
上学时间不少于1小时的学生的频率为0.003×2×20＝0.12，因此估计有0.12×600＝72(名)学生可以申请住宿.
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15.(多选)2022年3月6日，小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图.根据图中的信息可得A.护士每隔6小时给小明测量一次体温B.近三天来，小明的最低体温是38摄氏度C.从体温看，小明的病情在不断好转D.如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么　小明最快可以在3月10日凌晨5时出院
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根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温.从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知近三天最低体温是36.8摄氏度.
从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转.3月8日18时小明的体温是37摄氏度.其后的体温未超过37.2摄氏度，自3月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为3月10日凌晨6时.因此小明最快可以在3月10日凌晨6时出院.
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16.某市4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)列出频率分布表；
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(2)作出频率分布直方图；
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频率分布直方图如图所示.
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(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
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答对下述两条中的一条即可：
说明该市空气质量基本良好.
说明该市空气质量有待进一步改善.