高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.1 直线与平面垂直第2课时教学设计

课程目标

学科素养

A.掌握线面垂直的性质定理，并能应用．

B.掌握直线与平面所成角的定义

C.理解三垂线定理并能灵活应用。

D.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题．

1.数学抽象： 直线与平面垂直的判定定理

2.逻辑推理：直线与直线与平面垂直判定定理的证明

3.直观想象：异面直线所成的角

4.数学建模：常见的直线与平面垂直的证明方法

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新

1．直线与平面垂直的定义

3.直线与平面垂直的判定定理

尝试与发现1：直线与平面垂直的性质定理

(1)文字叙述：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

(2)图形语言：

(3)符号表示：如果l∥m，l⊥α，则m⊥α.

如果直线垂直于一个平面，直与直线平行，那么直线与平面是否垂直？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由

证明：要证明这个结论，只要证明且时，能够推出即可,事实上，设直线为平面内的任意两条相交直线，则由可知，

又因为，根据空间中两条直线互相垂直的定义知：

所以根据线面垂直的判定定理得

(3)符号表示：如果l∥m，l⊥α，则m⊥α.

性质定理2

(1)文字叙述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.

(2)图形语言：

(3)符号表示：如果l⊥α，m⊥α，则l∥m.

     如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？利用合适的实物演示,猜测结果并说明理由.

 (3)符号表示：如果l⊥α，m⊥α，则l∥m.

证明：如图所示，，设

假设直线不与直线平行，则过点O可作直线与平行，

由线面垂直得性质定理可知。

因为，所以与能确定一个平面，记为，设 ,由可知

这样一来，在平面内，过点O有两条不同得直线都与直线a垂直，这是不可能得。

因此假设不成立，即

上述证明过程也说明，过空间中一点，有且仅有一条直线与已知平面垂直。

1．思考辨析

(1)垂直于同一条直线的两直线平行．(　　)

(2)垂直于同一条直线的两直线垂直．(　　)

(3)垂直于同一个平面的两直线平行．(　　)

(4)垂直于同一条直线的一条直线和平面平行．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则(　　)

A．B1B⊥l B．B1B∥l     

 C．B1B与l异面 D．B1B与l相交

答案：B　因为B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，

则l∥B1B．

例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．

求证：(1)MN∥AD1；

(2)M是AB的中点．

[分析]　欲证MN∥AD1，只需证出MN，AD1垂直于同一个平面即可，由题目中的条件可知，只需证出AD1⊥平面A1DC；欲证M为AB的中点，只需证出AM＝AB＝DC＝ON即可．

证明　(1) ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AD1⊥A1D．

又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，

∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．

又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.

(2)设AD1∩A1D＝O，连接ON，在△A1DC中，

A1O＝OD，A1N＝NC．

∴ONCDAB，∴ON∥AM.

又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，

∴ON＝AM.

∵ON＝AB，∴AM＝AB，

∴M是AB的中点．直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．

跟踪训练1. 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.

求证:EF∥AA1.

证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,

AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AA1⊥平面ABCD.

又∵EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1.

2：直线与平面所成角

       斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.

(1)图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗?

提示:不同.

2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗?

提示:能.

(3)直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗?

提示:能.

直线与平面所成的角

(1)斜线：与平面α    ，但不和平面α     ，图中         ．

(2)斜足：斜线和平面的     ，图中     ．

(3)射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引    ，过    和______的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为          .

相交；垂直；直线PA；交点；点A；斜足；直线；AO垂线；垂足；

(4)直线与平面所成的角：

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．

②规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是      ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是        ．

(5)取值范围：              .

0°≤θ≤90°；直角；0°的角

1．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)

A．60°        B．45°        C．30°    D．120°

A　[由题意知，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，BO＝AB，所以∠ABO＝60°.]

2.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于　　　　　. 

解析:因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.答案:45°

1．求斜线与平面所成角的步骤

(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．

(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．

(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．

例2.如图所示三棱锥中，，且，，

求三棱锥的体积。

分析：为了求出这个三棱锥的体积，关键是作出三棱锥的高，也就是找到S在底面的射影

解：设S在底面的射影为O，则由，由，即I为的外心，

又因为是直角三角形，所以O是线段AC的中点

因为

所以，又因为是直角三角形，从而

因此所求体积为： 

点到平面的距离

      利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等.另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离.

1.如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.

证明:过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,

所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.

因为PA=PB=PC=a, 

所以△PAO≌△PBO≌△PCO.

所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.

因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA=a,

所以△ABC为正三角形,所以OA=AB=a,

所以PO=a.

所以点P到平面ABC的距离为a.

三垂线定理

例4.如图所示，已知AB是平面的一条垂线，AC是平面的一条斜线，，

求证：

证明：因为，所以

又因为且，所以

面ABC

而且面ABC，所以

例4的结果可以简述为“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”

三垂线定理

(1)平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影．

(2)图形语言：

(3)已知AB⊥α，AC是平面α的一条斜线，l⊂α，

①若l⊥BC，则l⊥AC；②若l⊥AC，则l⊥BC．

通过对直线与平面垂直及其判定定理的回顾，引出直线与平面垂直的性质定理。发展学生数学抽象和直观想象的核心素养。

由生活实例出发，让学生经历直观想象，分析概括，获得线面角的概念。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。

通过定理思辨，提升学生对定理的准确理解和应用能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过典例分析，提高学生对线面垂直证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1.下列说法中错误的个数是(　　)

①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α；

②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与

平面α必相交；

③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直；

④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直．

A．0       B．1　　　C．2　　　　 D．3

C [(1)①错误．若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内都有可能；

②错误．若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都

有可能；③④正确．

2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AC与体对角线D1B的位置关系是(　　)

A．平行    B．垂直      C．相交    D．以上都有可能

答案：B　因为D1D⊥平面ABCD，AC⊥BD，所以AC⊥D1B．

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中AB1与平面ADD1A1所成的角等于________，AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．

45°　0°　[∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.]

4.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为　　　　　. 

解析:如图所示,连接AE.因为PA⊥平面ABCD,

BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.

又因为BD⊥PE,PA∩PE=P,

所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE.

所以AE=.所以在Rt△PAE中,

由PA=1,AE=,得PE=.

5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,

E是PC的中点.

(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;

(2)求证:AE⊥平面PCD.

(1)解:在四棱锥P-ABCD中,

因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,

所以PA⊥AB.

又AB⊥AD,PA∩AD=A,

所以AB⊥平面PAD.

所以PB在平面PAD内的射影为PA,

即∠APB为PB和平面PAD所成的角.

在Rt△PAB中,AB=PA,

故∠APB=45°.

(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,

因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,

所以CD⊥PA.

因为CD⊥AC,PA∩AC=A,

所以CD⊥平面PAC.

又AE⊂平面PAC,所以AE⊥CD.

由PA=AB=BC,∠ABC=60°,

可得AC=PA.

因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.

又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养。

四、小结

1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据；

2．求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，并借助直角三角形的边角关系求线面角；

3. 三垂线定理：平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影，在异面直线的垂直证明中起着重要的作用；

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。