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高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直评优课ppt课件
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直评优课ppt课件，共21页。PPT课件主要包含了真命题，假命题，不一定垂直，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
一.直线与平面所成的角
1.两条相交直线所成角的大小：指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小. 范围【0°,90°】
如图所示正方体中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面.(1) 直观上，你认为这两种异面有什么区别？(2) 如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为 该怎样做？
如图中，AB与B1C1所成角的大小，等于A1B1与B1C1所成角的大小，即为 ；AB与B1D1所成角的大小，等于A1B1与B1D1所成角的大小，即为 .
2.异面直线所成的角一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小.
求异面直线所成角得一般方法：（1）做角（2）证角（3）求角
3.空间两直线垂直规定空间中两条平行直线所成角的大小为 .两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作 .若a∥b且b⊥c，则一定有 .
异面直线所成角范围（0°,90°]
二、直线与平面垂直的判定定理
思考：一支笔固定，另一只笔绕着第一支笔的中点保持垂直同时旋转，请 观察第二支笔所在的直线的运动轨迹是什么？第一支笔与这个轨迹 的位置关系是什么？
思考：直线和平面内的一条直线垂直，能不能判定直线和平面垂直？ 和两条平行直线垂直呢？和无数条直线垂直呢？和两条相交 直线垂直呢？
1.直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
例1 教材 P112 地面上插有一根直杆，将地面看成平面，只借助于绳子和米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由．
解：将绳子的一端固定在直杆的A处，并使得AB=0.8m,截取绳子的长度，使得绳长为1m.拉紧绳子，并把它不固定的那端放在地面上与B不共线的两点C,D处。测量BC与BD的长度，如果它们的长度都是0.6m,那么直杆就和地面垂直．
例2 教材 P112
如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 .
证明：设a，b为平面α内的任意两条相交直线
如果直线a垂直于一个平面α,直线b与直线a平行，那么直线b与平面α是否垂直？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由.
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 已知： ， 求证：分析：要想证明空间中的两条直线互相平行，我们一般先证明它们共面，再转化为平面几何的平行判定定理来证明.但是这个命题的条件比较简单，我们要想证明这两条线共面就很困难，此时可以转换思路，从逆向思考.
3.线面垂直的性质定理
如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由.
问题:当直线与平面不垂直时，我们通常研究哪些问题呢？
我们已经知道，如果A是平面α外一点，B是平面内一点，则AB丄α时，AB是平面的垂线段.类似地，如果C是平面内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面的斜线段（相应地，直线AC称为平面的斜线），称C为斜足.
❷判断下列命题的真假.(1) 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与这个平面内的任何直线都垂直；(2) 如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直；(3) 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直.
教材P115 练习B 2
❷如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌 面上，说明折痕为什么和桌面垂直.
教材P115 练习A 2
因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.
❸如果一条直线垂直于一个平面内的 (1)三角形的两条边； (2)梯形的两条边； (3)圆的两条直径. 分别判断这条直线是否与平面垂直，并说明理由.
教材P115 练习B 3
❸三角形的两边，可以同时垂直于同一个平面吗？说明理由.
教材P115 练习A 3
不可能.因为垂直于同一平面的两条直线平行，不可能是三角形的两个边.
如图，在四棱锥S-ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.证明：SD⊥平面SAB.
线面垂直的判定与证明问题
（4）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面.
（3）利用常用结论： ①如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也 垂直于这个平面； ②如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直 于另一个平面.
判断或证明线面垂直的方法
（1）证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线，从而得直线a⊥平面α.
线线垂直的判定与证明问题
如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，点M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN⊥CD.
如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是 .
（1）直线与平面垂直的性质定理（2）直线与平面所成的角（3）知识结构图
一.直线与平面所成的角
1.两条相交直线所成角的大小：指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小. 范围【0°,90°】
如图所示正方体中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面.(1) 直观上，你认为这两种异面有什么区别？(2) 如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为 该怎样做？
如图中，AB与B1C1所成角的大小，等于A1B1与B1C1所成角的大小，即为 ；AB与B1D1所成角的大小，等于A1B1与B1D1所成角的大小，即为 .
2.异面直线所成的角一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小.
求异面直线所成角得一般方法：（1）做角（2）证角（3）求角
3.空间两直线垂直规定空间中两条平行直线所成角的大小为 .两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作 .若a∥b且b⊥c，则一定有 .
异面直线所成角范围（0°,90°]
二、直线与平面垂直的判定定理
思考：一支笔固定，另一只笔绕着第一支笔的中点保持垂直同时旋转，请 观察第二支笔所在的直线的运动轨迹是什么？第一支笔与这个轨迹 的位置关系是什么？
思考：直线和平面内的一条直线垂直，能不能判定直线和平面垂直？ 和两条平行直线垂直呢？和无数条直线垂直呢？和两条相交 直线垂直呢？
1.直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
例1 教材 P112 地面上插有一根直杆，将地面看成平面，只借助于绳子和米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由．
解：将绳子的一端固定在直杆的A处，并使得AB=0.8m,截取绳子的长度，使得绳长为1m.拉紧绳子，并把它不固定的那端放在地面上与B不共线的两点C,D处。测量BC与BD的长度，如果它们的长度都是0.6m,那么直杆就和地面垂直．
例2 教材 P112
如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 .
证明：设a，b为平面α内的任意两条相交直线
如果直线a垂直于一个平面α,直线b与直线a平行，那么直线b与平面α是否垂直？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由.
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 已知： ， 求证：分析：要想证明空间中的两条直线互相平行，我们一般先证明它们共面，再转化为平面几何的平行判定定理来证明.但是这个命题的条件比较简单，我们要想证明这两条线共面就很困难，此时可以转换思路，从逆向思考.
3.线面垂直的性质定理
如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由.
问题:当直线与平面不垂直时，我们通常研究哪些问题呢？
我们已经知道，如果A是平面α外一点，B是平面内一点，则AB丄α时，AB是平面的垂线段.类似地，如果C是平面内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面的斜线段（相应地，直线AC称为平面的斜线），称C为斜足.
❷判断下列命题的真假.(1) 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与这个平面内的任何直线都垂直；(2) 如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直；(3) 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直.
教材P115 练习B 2
❷如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌 面上，说明折痕为什么和桌面垂直.
教材P115 练习A 2
因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.
❸如果一条直线垂直于一个平面内的 (1)三角形的两条边； (2)梯形的两条边； (3)圆的两条直径. 分别判断这条直线是否与平面垂直，并说明理由.
教材P115 练习B 3
❸三角形的两边，可以同时垂直于同一个平面吗？说明理由.
教材P115 练习A 3
不可能.因为垂直于同一平面的两条直线平行，不可能是三角形的两个边.
如图，在四棱锥S-ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.证明：SD⊥平面SAB.
线面垂直的判定与证明问题
（4）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面.
（3）利用常用结论： ①如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也 垂直于这个平面； ②如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直 于另一个平面.
判断或证明线面垂直的方法
（1）证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线，从而得直线a⊥平面α.
线线垂直的判定与证明问题
如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，点M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN⊥CD.
如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是 .
（1）直线与平面垂直的性质定理（2）直线与平面所成的角（3）知识结构图
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