【最新版】高中数学高三培优小题练第13练　函数模型的应用

第13练　函数模型的应用

考点一　用函数图象刻画变化过程

1．如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动．设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)

答案　D

解析　点E在射线OB上自O向右移动的过程中，面积的增长先快，后慢，最后不变化，结合选项，只有选项D符合．

2．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感的茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　)

A．y＝mx2＋n(m>0)

B．y＝mx＋n(m>0)

C．y＝max＋n(m>0，a>0，a≠1)

D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)

答案　C

解析　由函数图象可知符合条件的只有指数型函数模型．

3．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示，根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是(　　)

A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用

B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒

C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用

D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒

答案　D

解析　从图象可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用，该药物的血药浓度应大于最低有效浓度，药物发挥治疗作用，A正确；第一次服药后3小时与第2次服药1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，B正确，D错误；服药5.5小时后，血药浓度小于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，正好能发挥作用，C正确．

考点二　已知函数模型的实际问题

4．(2022·南宁模拟)中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小．用声强I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级LI(单位：dB)与声强I的函数关系式为LI＝10lg.若普通列车的声强级是95 dB，高速列车的声强级是45 dB，则普通列车的声强是高速列车声强的(　　)

A．6倍   B．106倍

C．5倍   D．105倍

答案　D

解析　因为普通列车的声强级是95 dB，高速列车的声强级是45 dB，

所以95＝10lg，45＝10lg，

相减得5＝lg ，

所以＝105.

5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)间的关系为P＝P0e－kt，如果在前5个小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h，参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.30)(　　)

A．13 h   B．15 h

C．18 h   D．20 h

答案　B

解析　∵前5个小时消除了20%的污染物，

∴(1－20%)P0＝P0e－5k，

即k＝－，

当污染物减少50%时，P＝(1－50%)P0＝0.5P0，

∴0.5P0＝，

∴t＝＝－

≈－＝15.

6．某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

答案　0.6

解析　当0≤t≤0.1时，y＝10t＝0.25，t＝0.025，但是随着时间的增加，室内的含药量也在增加，

∴此时学生不能回到教室，

∴有y≤0.25＝，

∴t－0.1≤，

∴t－0.1≥，∴t≥0.6，

∴至少需0.6小时后，学生才能回到教室．

7．某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2017年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示，

若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a，③f(x)＝＋a.则你认为最适合的函数模型的序号为________．

答案　①

解析　符合条件的是①f(x)＝ax＋b，

若模型为f(x)＝2x＋a，

则由f(1)＝2＋a＝4，得a＝2，

即f(x)＝2x＋2，

此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合，

若模型为f(x)＝＋a，

则f(x)是减函数，与已知不符合．

考点三　构造函数模型的实际问题

8．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则每天应该从报社买进报纸(　　)

A．215份   B．350份

C．400份   D．250份

答案　C

解析　设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸时，每月所获利润为y元，具体情况如下表．

则推销员每月所获得的利润

y＝(60x＋7 500)＋(8x－2 000)－60x＝8x＋5 500(250≤x≤400，x∈N)，

又由y＝8x＋5 500在上单调递增，

所以当x＝400时，y取得最大值8 700.

9．某创业公司2020年投入的科研资金为100万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长20%，则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是(　　)

A．2022年   B．2023年

C．2024年   D．2025年

答案　C

解析　某创业公司2020年投入的科研资金为100万元，

在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长20%，

则x年后投入的科研资金为y＝100(1＋20%)x＝100×1.2x，

由100×1.2x>200，解得x≥4.

故该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是2024年．

10．旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为10 000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在20或20以下，飞机票每人收费800元；若旅游团的人数多于20，则实行优惠方案，每多1人，机票费每张减少

10元，但旅游团的人数最多为75，则该旅行社可获得利润的最大值为(　　)

A．12 000元   B．15 000元

C．12 500元   D．20 000元

答案　B

解析　设旅游团的人数为x，每张机票为y元，该旅行社可获得利润为W元，

当0≤x≤20时，y＝800，W＝800x－10 000，显然当x＝20时，W有最大值，最大值为Wmax＝6 000；

当20<x≤75时，y＝800－10(x－20)＝－10x＋1 000，

W＝(－10x＋1 000)x－10 000

＝－10x2＋1 000x－10 000

＝－10(x－50)2＋15 000，

显然当x＝50时，W有最大值，最大值为Wmax＝15 000.

综上，当x＝50时，Wmax＝15 000.

11．(2022·日照模拟)老舍在《济南的冬天》中写到济南的冬天是没有风声的，济南的冬天是响晴的，济南真得算个宝地．济南市某一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则下列正确的图象是(　　)

答案　D

解析　由题意知，当0≤t≤4时，C(t)由0增大到2；

当4<t≤t1(4<t1<8且Q(t1)＝－2)时，C(t)＝2不变；

当t1<t≤12时，C(t)增大到8；

当12<t≤20时，C(t)＝8不变；

当20<t≤24时，C(t)增大到16.

因此选项D的图象正确．

12．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：

(1)如果不超过200元，则不给予优惠；

(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；

(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．

某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款(　　)

A．413.7元   B．513.7元

C．546.6元   D．548.7元

答案　C

解析　依题意可得，因为168<200×0.9＝180，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．

当购买价值500元的物品时实际付款为500×0.9＝450>423，

所以购买B商品享受了9折优惠，

则B商品的原价为＝470(元)．

若一次性购买A，B两件商品，则付款总额为168＋470＝638(元)，

则应付款为(638－500)×0.7＋500×0.9＝546.6(元)．

13．(2022·太原模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为6.25 mg/m3,3周后室内甲醛浓度为1 mg/m3，且室内甲醛浓度ρ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N*)(单位：周)近似满足函数关系式ρ(t)＝eat＋b，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(　　)

A．5周   B．6周

C．7周   D．8周

答案　B

解析　由题意可知，ρ(1)＝ea＋b＝6.25，ρ(3)＝e3a＋b＝1，＝e2a＝，解得ea＝.

设该文化娱乐场所竣工后放置t0周后甲醛浓度达到安全开放标准，

即ρ(t0)＝＝ea＋b·＝6.25×≤0.1，

整理得62.5≤，设62.5＝m－1，因为4<62.5<5，

所以4<m－1<5，即5<m<6，

则t0－1≥m－1，即t0≥m.

故至少需要放置的时间为6周．

14．新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2020年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长，1,2,3月份的销售量分别为1.2千台、1.4千台、1.8千台，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y(单位：千台)和月份x之间的函数关系，有以下两个函数模型可供选择：

①f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②g(x)＝pqx＋r(q>0，q≠1)，如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则估计5月份的销售量为________千台．

答案　3.2

解析　将(1,1.2)，(2,1.4)，(3,1.8)代入f(x)得，

得

解得 ∴f(x)＝0.1x2－0.1x＋1.2，

f(4)＝0.1×16－0.1×4＋1.2＝2.4.

将(1,1.2)，(2,1.4)，(3,1.8)代入g(x)得，

整理得，q＝＝，

解得r＝1，q＝2，p＝0.1，g(x)＝0.1×2x＋1，

g(4)＝0.1×24＋1＝2.6.

用两个模拟函数求出4月份的销售量，

f(x)更接近2.3千台，选择f(x)作为模拟函数，

f(5)＝0.1×25－0.1×5＋1.2＝3.2(千台)．