【最新版】高中数学高三培优小题练第33练　三角函数小题易错练

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A．cs α>cs β B．cs αC．cs α＝cs β D．以上均有可能
答案 D
解析因为余弦函数在第三象限不具有单调性，
所以cs α，cs β大小关系不确定，
当α＝5π＋eq \f(π,4)，β＝π＋eq \f(π,6)，3π＋eq \f(π,3)，3π＋eq \f(π,4)时，A，B，C选项三种结果都有可能成立．
2．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sineq \f(1,2)x的图象( )
A．先将x的每个值扩大到原来的4倍，y值不变，再向右平移eq \f(π,3)个单位长度
B．先将x的每个值缩小到原来的eq \f(1,4)倍，y值不变，再向左平移eq \f(π,3)个单位长度
C．先把x的每个值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移eq \f(π,6)个单位长度
D．先把x的每个值缩小到原来的eq \f(1,4)倍，y值不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度
答案 D
解析将y＝sineq \f(1,2)x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,4)倍得到函数y＝sin 2x的图象，
再将函数y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，即得函数y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象．
3．(2022·哈尔滨模拟)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),6)，则sin 2α等于( )
A．－eq \f(\r(17),9) B．－eq \f(8,9) C.eq \f(\r(17),9) D.eq \f(8,9)
答案 B
解析设α＋eq \f(π,4)＝θ，
则α＝θ－eq \f(π,4)，sin θ＝eq \f(\r(2),6)，
所以sin 2α＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝－cs 2θ＝2sin2θ－1＝2×eq \f(1,18)－1＝－eq \f(8,9).
4．(2022·运城模拟)已知tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个根，且－eq \f(π,2)<αA.eq \f(π,3) B．－eq \f(2π,3)
C.eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3) D.eq \f(π,3)或eq \f(4π,3)
答案 B
解析因为tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个根，
所以tan α＋tan β＝－3eq \r(3)，tan α·tan β＝4，
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3)，
因为－eq \f(π,2)<α且tan α＋tan β<0，tan α·tan β>0，所以tan α<0，tan β<0，
所以－eq \f(π,2)<α<0，－eq \f(π,2)<β<0，
所以－π<α＋β<0，
所以α＋β＝－eq \f(2π,3).
5．记cs(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A.eq \f(\r(1－k2),k) B．－eq \f(\r(1－k2),k)
C.eq \f(k,\r(1－k2)) D．－eq \f(k,\r(1－k2))
答案 B
解析 ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－80°))＝k，
∴cs 80°＝k，从而sin 80°＝eq \r(1－cs280°)＝eq \r(1－k2)，
∴tan 80°＝eq \f(sin 80°,cs 80°)＝eq \f(\r(1－k2),k)，
那么tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－eq \f(\r(1－k2),k).
6．(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A.eq \f(10π,9) B.eq \f(7π,6) C.eq \f(4π,3) D.eq \f(3π,2)
答案 C
解析由图象知π即π因为图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,9)，0))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,9)ω＋\f(π,6)))＝0，
所以－eq \f(4π,9)ω＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
所以ω＝－eq \f(9,4)k－eq \f(3,4)，k∈Z.
因为1<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝eq \f(3,2).
故f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(4π,3).
7．(2020·北京)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day)．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是( )
A．3neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))
B．6neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))
C．3neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n)))
D．6neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n)))
答案 A
解析单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为eq \f(360°,n×6)＝eq \f(60°,n)，每条边长为2sin eq \f(30°,n)，
所以单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin eq \f(30°,n)，
单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan eq \f(30°,n)，
其周长为12ntan eq \f(30°,n)，
所以2π＝eq \f(12nsin \f(30°,n)＋12ntan \f(30°,n),2)
＝6neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(30°,n)＋tan \f(30°,n)))，
则π＝3neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(30°,n)＋tan \f(30°,n))).
8．已知函数f(x)＝sin 2x＋acs 2x的图象关于直线x＝－eq \f(π,8)对称，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．以上都不对
答案 B
解析由题意，函数f(x)＝sin 2x＋acs 2x＝eq \r(a2＋1)sin(2x＋φ)，
又由函数的图象关于直线x＝－eq \f(π,8)对称，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝±eq \r(a2＋1)，
即a2＋2a＋1＝0，解得a＝－1.
9．为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A．98π B.eq \f(197,2)π
C.eq \f(199,2)π D．100π
答案 B
解析由题意知，至少出现50次最大值即至少需用49 eq \f(1,4)个周期，所以eq \f(197,4)T＝eq \f(197,4)·eq \f(2π,ω)≤1，所以ω≥eq \f(197,2)π.
10．关于函数f(x)＝sin 2x－cs 2x，下列命题中为真命题的个数是( )
①函数y＝f(x)的周期为π；
②直线x＝eq \f(π,4)是y＝f(x)图象的一条对称轴；
③点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))是y＝f(x)图象的一个对称中心；
④将y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度，可得到y＝eq \r(2)sin 2x的图象．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵f(x)＝sin 2x－cs 2x
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，
∴ω＝2，故T＝eq \f(2π,2)＝π，故①为真命题；
当x＝eq \f(π,4)时，2x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,4)，终边不在y轴上，
故直线x＝eq \f(π,4)不是y＝f(x)图象的一条对称轴，
故②为假命题；
当x＝eq \f(π,8)时，2x－eq \f(π,4)＝0，终边落在x轴上，
故点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))是y＝f(x)图象的一个对称中心，
故③为真命题；
将y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度，
可得到y＝eq \r(2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))－\f(π,4)))＝eq \r(2)sin 2x的图象，
故④为真命题．
11．若α的终边所在直线经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,4)，sin \f(3π,4)))，则sin α＝________.
答案 ±eq \f(\r(2),2)
解析直线经过第二、四象限，又点P在单位圆上，
若α的终边在第二象限，则sin α＝sin eq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2)，
若α的终边在第四象限，则sin α＝－eq \f(\r(2),2)，
综上可知sin α＝±eq \f(\r(2),2).
12．已知不等式eq \r(2)sin eq \f(x,4)·cs eq \f(x,4)＋eq \r(6)cs2eq \f(x,4)－eq \f(\r(6),2)－m≥0对任意的x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))恒成立，则实数m的取值范围是__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(\r(2),2)))
解析因为eq \r(2)sin eq \f(x,4)·cs eq \f(x,4)＋eq \r(6)cs2eq \f(x,4)－eq \f(\r(6),2)＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(x,2)＋eq \r(6)×eq \f(1＋cs \f(x,2),2)－eq \f(\r(6),2)
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))，
所以原不等式等价于m≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))))min对任意的x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))恒成立．
因为eq \f(π,6)≤eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)，
所以eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(2)))，
所以m≤eq \f(\r(2),2).
13．(2022·合肥模拟)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象与直线y＝a在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7π,6)))上恰有三个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(3π,2)))
解析由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)
得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
又x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7π,6)))，
所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))上单调递增，同理在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上单调递减，
f(x)max＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝1，f(0)＝eq \f(1,2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)))＝1，直线x＝eq \f(π,6)是f(x)图象的一条对称轴，
所以eq \f(1,2)f(0)＝f(π)＝eq \f(1,2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)))＝1，
所以π所以eq \f(4π,3)14．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝2，f(π)＝0，且f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))上单调，则符合条件的ω的值有______个．
答案 9
解析设函数f(x)的最小正周期为T，
由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝2，f(π)＝0，
结合正弦函数图象的特征可知eq \f(T,4)＋eq \f(kT,2)＝eq \f(3π,4)，k∈N，
故T＝eq \f(3π,1＋2k)，k∈N；
又因为f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))上单调，
所以eq \f(π,3)－eq \f(π,4)≤eq \f(T,2)，故T≥eq \f(π,6)，
所以ω＝eq \f(2π,T)≤12，即eq \f(21＋2k,3)≤12，
所以k≤eq \f(17,2)，k∈N，所以k＝0,1,2，…，8，符合条件的ω的值有9个．

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