【最新版】高中数学高三培优小题练第30练　简单的三角恒等变换

第30练　简单的三角恒等变换

考点一　三角函数式的化简

1．已知角α是第二象限角，则＋等于(　　)

A．sin α＋cos α   B．sin α－3cos α

C．3cos α－sin α   D．sin α－cos α

答案　B

解析　＋

＝＋

＝＋

＝|sin α－cos α|＋2|cos α|，

因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，

所以原式＝sin α－cos α－2cos α＝sin α－3cos α.

2．设α∈，β∈(0，π)，若＝，则(　　)

A．α＋β＝   B．α＋β＝π

C．α－β＝   D．β－α＝

答案　D

解析　由＝，

得(1＋sin α)(1＋cos β)

＝(1－cos β)(1－sin α)，

化简得sin α＋cos β＝0，

∴sin α＝－cos β＝－sin＝sin，

∵0<β<π，

∴－<β－<，

又0<α<，

∴α＝β－，

∴β－α＝.

3．计算：＝______.

答案　－4

解析　原式＝

＝

＝

＝＝－4.

考点二　三角函数式的求值

4．已知α∈(0，π)，sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　因为α∈(0，π)，则∈，

所以sin >0，

因为sin α＋2cos α＝2sin cos ＋2－4sin2＝2，

所以sin cos ＝2sin2，因为sin ≠0，

故2sin ＝cos ，可得tan ＝.

5．已知sin θ－cos θ＝，则cos2等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由sin θ－cos θ＝两边平方得，

sin2θ－2sin θcos θ＋cos2θ＝，

所以2sin θcos θ＝，即sin 2θ＝，

所以cos2＝

＝＝.

6．已知tan＝－2，则等于(　　)

A．2  B.  C．－2  D．－

答案　D

解析　由题意得tan＝

＝－2，

所以＝

＝

＝＝－.

7．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)

A．cos(β－α)＝－   B．cos(β－α)＝

C．β－α＝－   D．β－α＝

答案　D

解析　由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，

将两式分别平方相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)＝2－2cos(β－α)，

∴cos(β－α)＝，故选项A，B错误；

∵α，β，γ∈，

∴sin γ＝sin β－sin α>0，

∴β>α，

又α，β∈，

∴0<β－α<，

∴β－α＝，故选项D正确，C错误．

考点三　三角函数公式的综合应用

8．已知函数f(x)＝sin x·sin－，则f(x)的值不可能是(　　)

A．－  B.  C．0  D．2

答案　D

解析　∵f(x)＝sin x·sin－

＝sin x－

＝sin2x＋sin xcos x－

＝·＋sin 2x－

＝sin 2x－cos 2x＝sin.

∴f(x)∈.

9．如图，点A为单位圆上一点， ∠xOA＝，点A沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B，则cos α等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　由题意得cos＝－，

sin＝，

∴cos α＝cos

＝cos＋sin

＝×＋×＝.

10．已知函数y＝lg的零点是x1＝tan α和x2＝tan β(α，β均为锐角)，则α＋β等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　y＝lg的零点是方程x2－x＋＝1的解，即x2－x＋＝0.

tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝，

α，β均为锐角，

tan(α＋β)＝＝1，则α＋β＝ .

11．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　∵sin α＝－，α∈，

∴cos α＝，

又∵＝2，

∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．

展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，

∴tan(α＋β)＝.

12．(2022·武汉模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D．1

答案　B

解析　由O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，

因为cos 2α＝2cos2α－1＝2·2－1＝，

解得a2＝，即＝，

所以＝＝.

13．曲线y＝f(x)＝ln x－在x＝1处的切线的倾斜角为α，则sin等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　B

解析　∵f＝ln x－，

∴f′＝＋，

∵y＝f在x＝1处的切线的倾斜角为α，

f′＝3，

∴tan α＝3,0<α<，

又sin2α＋cos2α＝1，

解得sin α＝，cos α＝，

∴sin＝cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.

14．已知α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则＝____.

答案　

解析　∵2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，

∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，

又α∈，sin α＋cos α>0，

∴2sin α＝3cos α，

又sin2α＋cos2α＝1，

∴cos α＝，sin α＝，

∴

＝

＝＝.