【最新版】高中数学高三培优小题练第27练　任意角和弧度制、三角函数的概念

专题4　三角函数、解三角形

第27练　任意角和弧度制、三角函数的概念

考点一　角及其表示

1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A，B，C的关系是(　　)

A．B＝A∩C   B．B∪C＝B

C．A∩B＝B   D．A＝B＝C

答案　C

解析　对于A选项，A∩C除了锐角，还包括其他角，比如－330°，故A选项错误；

对于B选项，锐角是小于90°的角，所以B∪C＝C，故B选项错误；

对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确；

对于D选项，A，B，C中角的范围不一样，故D选项错误．

2．(2022·南京模拟)已知角α是第三象限角，则角是(　　)

A．第一或第二象限角

B．第二或第三象限角

C．第一或第三象限角

D．第二或第四象限角

答案　D

解析　方法一　取α＝220°，则＝110°，此时角为第二象限角；取α＝580°，则＝290°，此时角为第四象限角．

方法二　如图，

先将各象限分成两等份，再从x轴正半轴起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四，

则标有三的区域即为角的终边所在的区域，

故角为第二或第四象限角．

3．以下命题正确的是(　　)

A．与30°终边相同的角的集合为

B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A⊆B

C．若k·360°<α<k·360°＋180°(k∈Z)，则α为第一或第二象限角

D．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)

答案　B

解析　{θ|θ＝30°＋k·360°，k∈Z}，单位要保持一致，A不正确；

在B中，当k＝2n，n∈Z时，β＝n·180°，n∈Z，

∴A⊆B，∴B正确；

又C中，α为第一或第二象限角或在y轴的非负半轴上，∴C不正确；

显然D不正确，比如180°写不成k·360°(k∈Z)的形式．

考点二　弧度制及其应用

4．(2022·十堰模拟)如图，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮．假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，点B转过的角的弧度是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由题意可知，点B转过的角的弧度是×2π＝.

5．已知某扇形的周长是8 cm，面积为4 cm2，则该扇形的圆心角的弧度数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　设扇形的半径为r cm，所对弧长为l cm，则有解得故α＝＝2.

6．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式．某同学想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为120°，外圆半径为20 cm，内圆半径为10 cm.则制作这样一面扇面需要的布料为(　　)

A. cm2   B．100π cm2

C．400π cm2   D. cm2

答案　B

解析　扇形的圆心角为120°＝，

大扇形的面积为××202＝，

小扇形的面积为××102＝，

所以制作这样一面扇面需要的布料为－＝100π (cm2)．

考点三　三角函数的概念

7．(2022·牡丹江模拟)使lg(sin θ·cos θ)＋有意义的θ为(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

答案　C

解析　依题意，sin θcos θ>0且－cos θ≥0，

由sin θcos θ>0得sin θ与cos θ同号，则θ为第一、三象限角，

由－cos θ≥0，即cos θ≤0知θ为第二、三象限角或θ角终边在y轴或者x轴的负半轴上，

所以θ为第三象限角．

8．已知角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cos α等于(　　)

A.   B．－

C.或－   D.或－

答案　D

解析　因为角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，

所以cos α＝＝＝

sin α＝＝＝

所以2sin α－cos α＝

9．已知角α是第二象限角，且＝－cos，则角是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

答案　C

解析　因为角α是第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，

所以45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，

当k是偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，

此时为第一象限角；

当k是奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，

此时为第三象限角，

综上所述，为第一象限角或第三象限角，

因为＝－cos ，所以cos ≤0，所以为第三象限角．

10．已知角α的终边经过点P(－4，m)，且sin α＝－，则m＝________.

答案　－3

解析　已知角α的终边经过点P(－4，m)，且sin α＝－，

∴sin α＝＝－，显然m<0，

解得m＝－3.

11.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A，若 平分△PBO的面积，且∠AOB＝α，则(　　)

A．tan α＝α

B．tan α＝2α

C．sin α＝2cos α

D．2sin α＝cos α

答案　B

解析　设扇形的半径为r，

则扇形的面积为αr2.

在Rt△PBO中，PB＝rtan α，△PBO的面积为r×rtan α，

由题意得r×rtan α＝2×αr2，∴tan α＝2α.

12．(2022·哈尔滨模拟)《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为(注：一丈＝10尺＝

100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈)(　　)

A．300立方寸   B．305.6立方寸

C．310立方寸   D．316.6立方寸

答案　D

解析　设截面图中圆的半径为R寸，则＋1＝R，解得R＝13.

如图，在截面图中连接OA，OB，设∠AOB＝α，

则sin ＝，故≈22.5°，即α≈.

阴影部分的面积约为×132×－×10×≈6.332 5，

故木材镶嵌墙内部分的体积约为6.332 5×50＝316.625≈316.6(立方寸)．

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标为.若将点B沿单位圆逆时针旋转到达点A，则点A的坐标为________．

答案　

解析　由题意得sin α＝，cos α＝－，

将点B沿单位圆逆时针旋转到达A点，

则点A的坐标为，

即A(－sin α，cos α)，

所以A.

14．(2022·舒城模拟)矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将该矩形按照如图所示的位置放置在直线AP上，然后不滑动的转动，当它转动一周时(A→A1)叫做一次操作，则经过5次这样的操作，顶点A经过的路线长等于________．

答案　30π

解析　由题意可知一次操作完成，顶点A经过的路线分别是以AB为半径的圆弧，AC为半径的圆弧，AD为半径的圆弧，

所以完成一次操作A经过的路线长为×2π×4＋×2π×5＋×2π×3＝6π；

所以经过5次这样的操作，顶点A经过的路线长等于6π×5＝30π.