2022八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理第4课时反证法教案新版华东师大版

17.5反证法

教学目标

【知识与能力】

1.了解反证法的证明步骤,体会用反证法证明命题的思想,并能运用反证法来证明一些命题.

2.知道证明一个命题除用直接证法外,还有间接证法,开拓学生的视野,发展逻辑思维能力.【过程与方法】

理解并体会反证法的思想内涵.

【情感态度价值观】

1.通过反证法的学习,培养辩证唯物主义观念.

2.借助实例感受反证法的思想.

教学重难点

【教学重点】

反证法的证明步骤.

【教学难点】  

运用反证法证明命题.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

【课件1】　三个古希腊哲学家甲、乙、丙,由于争论和天气炎热感到疲倦了,于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会儿,结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后,彼此看了看,都笑了起来.但这并没有引起他们之中任何一个人的担心,因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.其中甲突然不笑了,因为他发觉自己的前额也被涂黑了.他是怎样觉察到的呢?你能想出来吗?

导入二:

【课件2】　中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴外出游玩,看到路边的李子树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?

王戎回答说:“树道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个,尝了一下,果然是苦李.

导入三:

【课件3】　一公司经理在某酒店设宴,酒宴过半,突然发现在一道水煮基围虾的菜中有一只红头大苍蝇,要求酒店给予赔偿,双方为此争执不休.酒店经理为了证明不是苍蝇,情急之下把这个疑似苍蝇的东西吃了下去.对方一看,更是不依不饶,一纸诉状将酒店告上了法院.酒店经理对自己的冲动很是后悔,深知庭审对自己非常不利,于是聘请了一位著名的律师为自己辩护.法庭上,双方围绕是不是红头苍蝇展开辩护,原告更是有恃无恐,咄咄逼人,形势对被告非常不利.问:如果你是被告律师,你会怎么办?

[设计意图]　从小故事入手,不仅能激发学生的兴趣,也能更好地说明反证法的推理思想.

二、新知构建：

活动一:反证法

思路一

这里应着重指出的是导入一中的甲并没有直接看到自己的前额是否被涂黑了,他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考,而知道了自己的前额被涂黑了.因此,这是一种间接的证明方法.这就本节我们学习的“反证法”.

仔细分析甲的思考过程,不难看出它分4个步骤:

1.假设自己的前额没被涂黑;

2.根据这个假设进行推理,推得一个与乙对丙的笑不感到奇怪的这个事实相矛盾的结果——乙应对丙的笑感到奇怪;

3.根据这个矛盾,说明原来假设自己的前额没被涂黑是错误的;

4.根据原来的假设:前额没被涂黑是错误的,便可知道没被涂黑的反面——被涂黑了是正确的结论.

简单地说,甲是通过说明前额被涂黑了的反面——没被涂黑是错误的,从而觉察到自己的前额被涂黑了.

出示问题:

【课件4】　已知:如图所示,ΔABC.

求证:在ΔABC中,如果它含直角,那么它只能有一个直角.

让学生讨论,怎样证明这个问题,教师引导学生先假设有两个角是直角(或三个角都是直角)进行证明,用我们以前学过的定理进行判断.

学生各抒己见,教师出示答案,讲评、规范步骤.

证明:假设ΔABC中有两个(或三个)直角,不妨设∠A=∠B=90°,

∵∠A+∠B=180°,

∴∠A+∠B+∠C=180°+∠C>180°,

这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾,

因此三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.

所以如果三角形含直角,那么它只能有一个直角.

上述证明过程,是先假设原命题结论不正确,然后从这个假设出发,经过逐步推理论证,最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果.因此,假设是错误的,原结论是正确的.

教师小结:这种证明命题的方法叫做反证法,反证法是间接证明的方法.

让学生说一说刚才证明的过程,总结一下用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤.

教师在学生总结的基础上进行完善、归纳.

第一步:假设命题的结论不成立.

第二步:从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.

第三步:由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.

[设计意图]　让学生通过观察,感受反证法的证明过程,体会用反证法证明的一般步骤,为进一步学习反证法打好基础,做好理论铺垫.

思路二

1.自主学习

【课件5】　自学教材第162页,并完成下列问题.

(1)反证法:在证明一个命题时,先假设原命题结论不正确,然后从这个假设出发,经过逐步推理论证,得到假设是错误的,原结论是正确的.

(2)用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤:

第一步:假设命题的结论不成立.

第二步:从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.

第三步:由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.

2.合作探究

(1)整体感知

用反证法证明一个命题是真命题,实际上是这样的一个思维过程,我们假设“结论不成立”,结论一不成立就会出毛病,这个毛病是怎么造成的呢?推理没有错误,已知条件、公理或定理没有错误,这样一来,唯一有错误的地方就是一开始的假设,既然“结论不成立”有错误,就肯定成立了.

(2)实例说明

在ΔABC中,如果AB=c,BC=a,CA=b且∠C≠90°,那么a2+b2≠c2是真命题吗?

学生思考:我们只知道若ΔABC中,∠C=90°,则a2+b2=c2.

教师点拨:要想直接从∠C≠90°出发证明a2+b2≠c2很困难,因此考虑用反证法.假设a2+b2=c2,则有∠C=90°,这与条件∠C≠90°矛盾,所以假设a2+b2=c2是错误的,于是可知a2+b2≠c2.

这种证明的方法就是“反证法”,请同学们归纳一下用反证法证明一个命题是真命题的步骤.

学生回答,教师小结.

活动二:应用举例

出示【课件6】.

　用反证法证明平行线的性质定理一:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.

(1)想一想用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是什么;

(2)写出已知、求证;

(3)和小组成员讨论,交流解决问题的思路和想法,选择恰当的方法进行推理,注意推理的严密性.

指两名学生板演后,全班同学进行点评,找出存在的问题,对于好的思路和想法,教师要给予鼓励和表扬,最后教师规范出解题过程,其他同学进行比较,找出自身存在的问题进行修改.

已知:如图所示,直线AB∥CD,直线EF分别与直线AB,CD交于点G,H,∠1和∠2是同位角.

求证:∠1=∠2

证明:假设∠1≠∠2.

过点G作直线MN,使得∠EGN=∠1.

∵∠EGN=∠1,

∴MN∥CD(基本事实).

又∵AB∥CD(已知),

∴过点G,有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.这与“经过已知直线外一点,有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.

∴∠1≠∠2的假设是不成立的.

因此∠1=∠2.

出示【课件7】.

　用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.

(1)想一想直角三角形全等的判定定理是什么,它的已知条件和结论分别是什么?

(2)画出图形,写出已知、求证,小组讨论过程.

(3)出示答案,教师进行细致讲解.

已知:在ΔABC和ΔA'B'C',∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C',如图所示.

求证:ΔABC≌ΔA'B'C'.

证明:假设ΔABC与ΔA'B'C'不全等,即BC≠B'C',不妨设BC<B'C',在B'C'上截取C'D=CB,连接A'D.

在ΔABC与ΔA'DC'中,

∵AC=A'C',∠C=∠C',CB=C'D,

∴ΔABC≌ΔA'DC'(SAS).

∴AB=A'D(全等三角形的对应边相等).

∵AB=A'B'(已知),

∴A'B'=A'D(等量代换).

∴∠B'=∠A'DB'(等边对等角).

∴∠A'DB'<90°(三角形的内角和定理),

即∠C'<∠A'DB'<90°(三角形的外角大于和它不相邻的内角).

这与∠C'=90°相矛盾.

因此,BC≠B'C'的假设不成立,即ΔABC与ΔA'B'C'不全等的假设不成立.

所以ΔABC≌ΔA'B'C'.

【课件8】　用反证法证明:

(1)如果a·b=0,那么a,b中至少有一个等于0.

(2)两条直线相交,有且只有一个交点.

小组讨论解决.

[设计意图]　通过两个例题让学生理解反证法的证明过程,感受逻辑推理的过程和语言的严密性,使学生更好地掌握这种特殊的证明命题的方法.

三、课堂小结：

用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤

第一步:假设命题的结论不成立.

第二步:从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.

第三步:由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.