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人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》单元测试卷（困难）（含答案解析）
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人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知椭圆C：x216+y28=1，F1、F2分别为其左、右焦点，A1，A2分别为其长轴的左右端点，动点M满足MA2⊥A1A2，A1M交椭圆于点P，则OM·OP的值为( )
A. 8 B. 16 C. 20 D. 24
2. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别是F1,F2，焦距为2c，若直线y=3x+c与椭圆交于M点，且满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ，则椭圆的离心率是( )
A. 22 B. 3-1 C. 3-12 D. 32
3. 已知椭圆C：x23+y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左顶点与椭圆C的左顶点重合，点P是双曲线在第一象限内的点，且满足PB=λPAλ>0，PA2=27，则双曲线E的离心率为( )
A. 233 B. 213 C. 253 D. 153
4. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为12的直线交双曲线的左、右支于A、B两点，线段AB的垂直平分线恰过点F2，则该双曲线的离心率为
A. 153 B. 103 C. 152 D. 102
5. 已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为y=±33x，则下列结论错误的是( )
A. 曲线C的方程为x23−y2=1；
B. 左焦点到一条渐近线距离为1；
C. 直线x−2y−1=0与曲线C有两个公共点；
D. 过右焦点截双曲线所得弦长为23的直线只有三条；
6. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线C交于M，N两点，若PF=4MF，则|MN|= ( )
A. 32 B. 3 C. 92 D. 9
7. 已知抛物线y2=8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，则AF−9BF的最小值为( )
A. 1 B. 32 C. 52 D. 6
8. 已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，其准线l与x轴相交于点M，过点M作斜率为k的直线l与抛物线C相交于A，B两点，∠AFB=120∘，则k=( )
A. ±12 B. ±32 C. ±(2+3) D. ±(2−3)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2，点M，P在C上且OP=c，直线PF2与C交于另一个点Q，若tan∠F1QF2=34，则下列说法正确的是( )
A. ▵PF1Q为等腰三角形
B. 椭圆C的离心率为22
C. △PF1F2内切圆的半径为2−1
D. ▵MPQ面积的最大值为21+33
10. 已知双曲线C:x2−y23=1，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
B. 若F为C的左焦点，点P在C上，则满足FM=2MP的点M的轨迹方程为3x+22−3y2=4
C. 若A，B在C上，线段AB的中点为(2,2)，则直线AB的方程为3x−y−4=0
D. 若P为双曲线上任意一点，则P到点(2,0)和到直线x=12的距离之比恒为2
11. 双曲线C：x216−y28=1的左、右焦点分别为F1、F2.以F1F2为直径的圆O与C在第一象限交于P点.过F2作QF2⊥x轴与C在第四象限交于Q，下列说法正确的是( )
A. ΔPF1F2的面积为8
B. ΔPF1F2的内切圆圆心I的横坐标为4
C. 直线PQ过原点O
D. 过Q直线交圆O于M、N两点，则QM⋅QN为定值
12. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A,B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M,N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法正确的是( )
A. 若抛物线上点E(2,t)到F的距离为4，则抛物线的方程为y2=4x
B. OA⋅OB=−3p24
C. 若|AF|⋅|BF|=3p2，则直线AB的斜率为±2
D. sin∠PMN的取值范围为[12,1)
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知椭圆的标准方程为x2a2+y2=1a>1，上顶点为A，左顶点为B，设点P为椭圆上一点，△PAB的面积的最大值为2+1，若已知点M−3,0、N3,0，点Q为椭圆上任意一点，则1QN+4QM的最小值为 ．
14. 过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|=3|QN|，|FN|=4，则双曲线的标准方程是 ．
15. 已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，平行于y轴的直线l与圆Γ：x2+(y−1)2=1交于A，B两点(点A在点B的上方)，l与C交于点D，则△ADF周长的取值范围是________．
16. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于P，Q两点，交l于点A，若PF=3FQ，则|AQ||QF|= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12．
(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(Ⅱ)设l上两点P,Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D，若△APD的面积为62，求直线AP的方程．
18. 设O是坐标原点，以F1,F2为焦点的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为22，以F1F2为直径的圆和C恰好有两个交点，
(1)求C的方程;
(2)P是C外的一点，设其坐标为x0,y0，过P的直线l1,l2均与C相切，且l1,l2的斜率k1,k2之积为m-1⩽m⩽-12，记u为|PO|的最小值，求u的取值范围．
19. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，△ABF的面积为2(2+1).
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线y=kx−1与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，|MN|=λ|PQ|，求实数λ的取值范围．
20. 已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1，离心率为2，右顶点为(2,0)
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过E(0,1)的直线l与双曲线C的一支交于M、N两点，求EM⋅EN的取值范围．
21. 已知Q为抛物线C：x2=2py(p>0)上的一点，P为抛物线C的准线上的一点，且|PQ|的最小值为1．
(Ⅰ)求抛物线C的标准方程；
(Ⅱ)过点P作抛物线的切线l1，l2，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点D，并求出△PMN面积的最小值．
22. 设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为x1(x1>0)，过点A作抛物线C的切线l1，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l:y=p2交于点M.当|FD|=2时，∠AFD=60∘．
(1)证明：△AFE为等腰三角形，并求抛物线C的方程;
(2)若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线l2，与直线l1交于点P，与直线l交于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时x1的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆相交问题，化为方程联立得到根与系数的关系，数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于较难题．
设M(4,t)，P(s,m)，C(−2,0).直线MA1的方程为y=t8(x+4)，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，即可得出点M的坐标用t表示，再利用数量积运算化简整理即可得出OM⋅OP的值．
【解答】
解：椭圆C：x216+y28=1中a=4，
可得A1(−4,0)，A2(4,0)，
由MA2⊥A1A2，可设M(4,t)，P(s,m)，
可得直线MA1的方程为y=t8(x+4)，
代入椭圆C：x216+y28=1，可得：
32+t2x2+8t2x+16t2−512=0，
则−4s=16t2−51232+t2，
解得s=−4t2+12832+t2，
m=t8(s+4)=32t32+t2，
即有P(−4t2+12832+t2,32t32+t2)，
则OM·OP=4×−4t2+12832+t2+t×32t32+t2
=−16t2+512+32t232+t2
=16(t2+32)t2+32=16．
故选B．
2.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆位置关系及椭圆的性质，属于中档题．
在△MF1F2中，设∠MF1F2=60°，则∠MF2F1=30°，∠F1MF2=90°，由|F1F2|=2c，得|MF1|=c，|MF2|=3c，从而2a=c+3c，由此能求出该椭圆的离心率．
【解答】
解：椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，
直线y=3x+c与椭圆的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，
如图，在△MF1F2中，因为kMF1=3，所以∠MF1F2=60°，
则∠MF2F1=30°，∠F1MF2=90°，
∵|F1F2|=2c，
∴|MF1|=c，|MF2|=3c，
∴2a=|MF1|+|MF2|=c+3c，
∴该椭圆的离心率为e=ca=23+1=3−1．
故选B．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的性质以及双曲线的离心率的求解，涉及余弦定理的运用，考查椭圆的性质，属于中档题．
在△A1A2P中，|PA2|=27.易知|A1A2|=23，∠PA1A2=30°.利用余弦定理求出|PA1|=8，得到PB=34PA1，进而求出b²，即可求出离心率．
【解答】
解：由椭圆方程x23+y2=1可知，左顶点A1(−3,0)，上顶点B(0,1)，
由双曲线E的左顶点与椭圆x23+y2=1的左顶点重合，得a2=3，a=3．
在△A1A2P中，|PA2|=27.易知|A1A2|=23，∠PA1A2=30°．
由余弦定理得28=|PA1|2+12−2×23×|PA1|×cos 30∘，
得|PA1|=8.易知|BA1|=2，所以PB=34PA1．
设点P的坐标为(x0,y0)，则(−x0,1−y0)=34(−3−x0,−y0)，
得x0=34(x0+3),y0−1=34y0,解得x0=33,y0=4,
代入双曲线E的标准方程，得9−16b2=1，得b2=2，
从而c2=a2+b2=5，c=5，
所以双曲线E的离心率e=ca=53=153，
故选D．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，性质，直线与双曲线的位置关系，较难．
由题意先设AF2=BF2=m，设直线的倾斜角为θ，进而得NF2=2csinθ=2c5,NF1=2ccosθ=4c5，再利用定义得AF1=NF1−AN=4c5−2a=m−2a，求m，由|BF2|2=|NF2|2+|BN|2,(4c5)2=4a2+(2c5)2，求出离心率．
【解答】
解：连接AF2，BF2，记A，B中点为N，
根据题意知：AF2=BF2，所以设AF2=BF2=m，
并且NF2垂直AB，由于过点F1的直线斜率为12，
设直线的倾斜角为θ,tanθ=12,sinθ=15,cosθ=25，
所以在直角三角形F1F2N中，NF2=2csinθ=2c5,NF1=2ccosθ=4c5，
根据双曲线的定义：BF1−BF2=2a，所以：BF1=2a+m，同理：AF1=m−2a；
所以AB=BF1−AF1=4a，则AN=BN=2a，
故：AF1=NF1−AN=4c5−2a=m−2a，因此：m=4c5 ．
在直角三角形BNF2中，
BF22=NF22+BN2,所以(4c5)2=4a2+(2c5)2，
从而解得离心率 e=153．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线的定义及其性质的运用，双曲线标准方程的求法，考查的知识点众多，计算麻烦，属于较难题．
由题意设双曲线方程为x29−y23=k(k≠0)，将(3 , 2)代入双曲线方程可得99−23=k，即k=13，则双曲线C的方程为x23−y2=1，再对各个选项综合分析即可求解．
【解答】
解：∵双曲线C过点(3 , 2)且渐近线为y=±33x，
设双曲线方程为x29−y23=k(k≠0)，
将点(3 , 2)代入双曲线方程可得99−23=k，解得k=13，
∴双曲线C的方程为x23−y2=1，故A正确；
左焦点(−2,0)到一条渐近线y=33x距离为2331+13=1，故B正确；
由x23−y2=1x−2y−1=0，消去x整理得y2−22y+2=0，即y−22=0，方程只有一个实数根，即直线x−2y−1=0与双曲线C只有一个公共点，故 C错误．
设过右焦点(2,0)的直线方程为y=k(x−2)，由x23−y2=1y=k(x−2)，消去y整理得(1−3k2)x2+12k2x−12k2−3=0，
由韦达定理可得x1+x2=−12k21−3k3, x1·x2=−12k2−31−3k3,
则(1+k2)[(x1+x2)2−4x1·x2]=23，
即(1+k2)[(−12k21−3k2)2−4(−12k2−3)1−3k2]=12，
化简得(1+k2)(k2+1)=1−6k2+9k4，
解得k=0或k=1或−1．
故D正确．
故选C．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的弦长问题，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力．
先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程进行联立，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．
【解答】
解：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为l：x=−1，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，M，N到准线的距离分别为dM，dN，
由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+1，|NF|=dN=x2+1，
于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．
∵PF=4MF，易得到1−x12=14,x1=12，
则M(12,±2)，因为F(1,0)，
∴直线MN的斜率为±21−12=±22，
∵F(1,0)，∴直线PF的方程为：y=±22(x−1)，
将y=±22(x−1)，代入方程y2=4x，化简得2x2−5x+2=0，
∴x1+x2=52，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=92，
故选C．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的概念，性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查计算能力，属于较难题．
设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦半径公式，求得|AF|−9|BF|=2x12−x1+82x1+4，x1>0，根据函数的单调性，即可求得答案．
【解答】
解：由题意知，抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0)，
当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k(x−2)，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
由y2=8xy=k(x−2)，整理得：k2x2−(4k2+8)x+4k2=0．
则 x1+x2=4k2+8k2，x1x2=4，则x2=4x1，
根据抛物线定义可知，|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，
|AF|−9|BF|=(x1+2)−9x2+2=(x1+2)−9x12x1+4=2x12−x1+82x1+4，x1>0，
设f(x)=2x2−x+82x+4，x>0，求导f′x=4x+5x−1(2x+4)2，令f′x=0，则x=1，
当x∈(0,1)，f′x<0，当x∈(1,+∞)，f′x>0，
∴f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，
∴当x=1，f(x)取最小值，f(1)=2−1+82+4=32，
∴|AF|−9|BF|的最小值为32，
当斜率不存在时，AF=BF=4，
此时|AF|−9|BF|=74，∴|AF|−9|BF|的最小值为32，
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查三角形的余弦定理，化简运算能力，属于中档题．
求得抛物线的焦点和准线方程，过点M作斜率为k的直线方程设为y=k(x+32)，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及余弦定理，化简整理，解方程可得斜率k．
【解答】
解：抛物线y2=6x的焦点为F(32,0)，准线方程为x=−32，M(−32,0)，
过点M作斜率为k的直线方程设为y=k(x+32)，联立抛物线方程，可得
k2x2+(3k2−6)x+94k2=0，k≠0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得|AF|=x1+32，|BF|=x2+32，
则△=(3k2−6)2−9k4>0，即−1
可得|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2
=1+k2⋅(6k2−3)2−9=6⋅1−k4k2，
在△AFB中，由余弦定理可得|AB|2=|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|⋅cos120°
又∵右边=(x1+32)2+(x2+32)2+2(x1+32)(x2+32)⋅12=(x1+x2)2+92(x1+x2)−x1x2+274
=(6k2−3)2+92(6k2−3)−92
=9(4−k2)k4
|AB|2=36(1−k4)k4，
∴9(4−k2)k4=36(1−k4)k4
解得k=±12，
故选：A．
9.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题试题有机地将椭圆的定义、方程、几何性质与三角形的知识结合起来，属于中档题．
由解三角形及圆的性质可判断A;
由椭圆的定义，离心率及a，b，c三者的关系可判断B;
由三角形的面积公式S=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r可判定C;
由点到直线的距离公式求出点M到直线PF2的距离d=|1−3sin(θ+φ)|2，其中tanφ=2，再利用三角函数的性质可求出最大值，最后代入面积公式求解即可判定D．
【解答】
解：由题意知OP=|OF1|=|OF2|，
所以点P，F1，F2在以O为圆心，|F1F2|为直径的圆上，
所以∠F1PF2=90∘．
设|PQ|=4m，
由于tanF1QF2=34，
所以|PF1|=3m，|F1Q|=5m，
故△PF1Q不是等腰三角形，故A错误．
由椭圆的定义知，|F1Q|+|PF1|+|PQ|=5m+3m+4m=4a，
则m=a3，
所以|PF1|=3m=a，则|PF2|=a．
又∠F1PF2=90∘，
所以△PF1F2为等腰直角三角形，可得b=c．
由题意知b=1，
所以a2=b2+c2=2，即a=2，
所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1，离心率为22，故B正确．
易知△PF1F2的面积S=12×1×2=1，
设△PF1F2的内切圆半径为r，则S=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r，
即1=2+222r，
所以r=2−1，故C正确．
不妨令P(0,1)，
又F2(1,0)，
所以直线PF2的方程为y=−(x−1)=1−x，
设M(2cosθ,sinθ)，
则点M到直线PF2的距离d=1−2cos θ−sin θ2=|1−3sin(θ+φ)|2，其中tanφ=2，
所以dmax=1+32，
因为|PQ|=4m=423，
所以△MPQ面积的最大值为12×423×1+32=2(1+3)3，
故D正确．
故选BCD
10.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线概念，性质，直线与双曲线的位置关系，中点坐标公式，两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线方程以及圆锥曲线中轨迹问题，题意较难；
对于A：表示出顶点坐标和渐近线方程，得出结论可判断选项A；
对于B：设M(x,y) P(x0, y0) ，根据题意可用x，y表示点P坐标，代入双曲线方程可得出结论，进而判断选项B;
对于C：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入双曲线过程，可得直线AB的斜率，再利用点斜式可得出结论，进而判断选项C；
对于D：根据两点间距离公式，点到直线的距离公式可直接得出结论，进而判断选项D．
【解答】
解：对于A：双曲线的顶点坐标是(±1,0)，渐近线方程是y=±3x，
因此其顶点到渐近线的距离：d=32，故选项A错误；
对于B：设M(x,y) P(x0, y0) 且 F(−2,0)，
∴FM=(x+2,y), MP=(x0−x, y0−y)，
∵FM=2MP，
∴x+2=2((x0−x)y=2(y0−y) 即： x0=32x+1y0=32y,
∴P (32x+1,32y) ，且点P在双曲线C:x2−y23=1上，
∴(32x+1)2−(32y)23=1 ⇒ 9x2+12x−3y2=0,
即：(3x+2)2−3y2=4，故选项B正确；
对于C：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则：3x12−y12=3， 3x22−y22=3
∴3(x1+x2)(x1−x2)+(y1+y2)(y2−y1)=0
∵点(2,2)恰为线段AB的中点， ∴x1+x2=4， y1+y2=4，
∴12(x1−x2)+4(y1−y2)=0，即：y1−y2x1−x2=3
∴直线AB的斜率为：−12，且过点(2,2)，
∴直线AB的方程为：y−2=3(x−2), 即： 3x−y−4=0，故选项C正确；
对于D: ∵双曲线右焦点F2(2,0)， 直线：x=12，
设点P(x0,y0) ∴x02−y023=1， 即：y02=3x02−3，
∴点P(x0, 3x02−3)到点(2,0)和到直线x=12的距离之比为：
(x0−2)2+(3x02−3)|x0−12|=4x02−4x0+1|x0−12|=|2x0−1||x0−12|=2|x0−12||x0−12|=2.故选项D正确；
故选BCD．
11.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的定义，几何性质，韦达定理的应用，考查学生的分析问题，运算能力，属于难题．
利用双曲线的几何性质以及直角三角形内切圆的几何性质，直线和双曲线的位置关系，利用韦达定理等依次验证各个选项的正误，进而得到正确答案．
【解答】
解：由题可知c=16+8=26，
即以F1F2为直径的圆O的方程为：x2+y2=24．
由题可知PF1⊥PF2，又F1F2=46，
∴PF12+PF22=F1F22①，
PF1−PF2=8②，
②式平方−①可得：PF1·PF2=16．
∴S△PF1F2=12·PF1·PF2=8，故A正确；
△PF1F2的内切圆圆心I，过I作IC⊥F1F2于C，
IA⊥PF1于A，IB⊥PF2于B，
即A，B，C是内切圆于三角形三边的切点，
即PA=PB，AF1=CF1,BF2=CF2．
设C的横坐标为xC.又F1−26,0,F226,0．
∵PF1=PA+AF1,PF2=PB+BF2，
∴PF1−PF2=AF1−BF2=CF1−CF2=2a，
∴xC−−26−26−xC=8,∴xC=4.故B正确；
由条件可得过F2作QF2⊥x轴与C在第四象限的交点Q26,−2．
由x2+y2=24和x216−y28=1联立可得P833,263．
则可得kPO=263−0833−0=24，
kQO=−2−026−0=−66，
则可知kOP≠kOQ，即Q，O，P三点不共线，也就是直线QP不过原点，故C错误；
设过Q直线方程为：y−−2=kx−26，k存在且不为0．
设Mx1,y1,Nx2,y2．
∴QM=x1−26,y1+2,QN=x2−26,y2+2．
∴QM·QN=x1−26,y1+2·x2−26,y2+2
=1+k2x1−26x2−26
=1+k2x1x2−26x1+x2+24．
联立y+2=kx−26x2+y2=24消去y化简整理可得：
1+k2x2−46k2+4kx+26k+22−24=0．
∴△=46k2+4k2−41+k226k+22−24>0(*)
∴x1+x2=46k2+4k1+k2,x1x2=26k+22−241+k2=24k2+86k−201+k2．
∴QM·QN=1+k224k2+86k−201+k2−26×46k2+4k1+k2+24=4．
即QM·QN=4是定值，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程，涉及函数的值域，中点公式，点到直线的距离，直线的斜率，考查数形结合与化简整理的运算能力，属于较难题．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设直线l:x=my+p2与抛物线方程联立x=my+p2y2=2px，y2−2pmy−p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=−p2，再根据选项逐一判断即可．
【解答】
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设直线l:x=my+p2，与抛物线方程联立x=my+p2y2=2px，
得y2−2pmy−p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=−p2，且由Δ=4p2m2+4p2>0恒成立可得m∈R．
对于A，由抛物线定义可得|EF|=2+p2=4，解得：p=4，则抛物线方程是y2=8x，故A错误；
对于B，OA⋅OB=x1x2+y1y2=y122p·y222p+y1y2=p24−p2=−34p2，故B正确；
对于C，根据抛物线定义可知|AF|=x1+p2，|BF|=x2+p2，
|AF|·|BF|=(x1+p2)(x2+p2)=(my1+p)(my2+p)
=m2y1y2+pm(y1+y2)+p2
=−m2p2+2p2m2+p2=p2(m2+1)=3p2，
则m2+1=3，解得：m=±2，直线l的斜率k=1m=±22，故C错误；
对于D，因为以线段AB为直径的圆交y轴于M,N两点，P为线段AB的中点，
所以sin∠PMN=dr，其中d是点P到y轴的距离d=x1+x22，r=|AB|2=x1+x2+p2，
由分析可知x1+x2=my1+p2+my2+p2=my1+y2+p=2pm2+p，
所以sin∠PMN=dr=x1+x2x1+x2+p=2pm2+p2pm2+2p=2m2+12m2+2=1−12(m2+1)，
因为2m2+1⩾2，所以0<12(m2+1)⩽12，则−12⩽−12(m2+1)<0，所以sin∠PMN∈12,1，故D正确．
故选BD．
13.【答案】94
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的概念，性质和几何意义，考查直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，是拔高题．
当与AB平行的直线与椭圆相切于P点时，△PAB的面积最大，设出切线方程与椭圆方程联立利用Δ=0求出直线方程，再计算出P到直线AB的距离结合面积即可求出a，再根据椭圆的定义得|QM|+|QN|=2a=4，利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：如图，
当与AB平行的直线与椭圆相切于P点时，△PAB的面积最大，
依题意，A(0,1)，B(−a,0)，kAB=1a，
∴设切线为y=1ax+m由图可知m<0．
∴y=1ax+mx2a2+y2=1，化为2x2+2amx+a2m2−a2=0
∵Δ=0，
∴4a2m2−8(a2m2−a2)=0，解得m2=2．
∴m=−2，
∵直线AB：y=1ax+1，过P点的切线：y=1ax−2，
∴点P到直线AB的距离d=2+11a2+1=a(2+1)a2+1，
∵|AB|=a2+1，
∴△PAB的面积S=12⋅d⋅|AB|=2+1，
∴a=2，
所以椭圆的标准方程为x24+y2=1，其中c=3，
所以点M(−3,0)、N(3,0)为椭圆的左右焦点，
∴|QM|+|QN|=2a=4．
∴1|QN|+4|QM|=(1|QN|+4|QM|)⋅14(|QM|+|QN|)
=14(5+QMQN+4QNQM)
⩾14(5+2QMQN×4QNQM)=94，
当且仅当|QM|=2|QN|=83时等号成立．
所以1|QN|+4|QM|的最小值为94．
故答案为94．
14.【答案】x29−y236=1
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程和余弦定理，考查运算求解能力和数形结合思想、化归与转化思想，属于难题．
先求得|FM|=b2ccosθ−a=b2b−a和|FN|=b2ccosθ+a=b2b+a，利用|MQ||QN|=3，得a=12b，得a=3，b=6，即可得双曲线的标准方程．
【解答】
解：如图，
根据点到直线的距离公式可得点F到直线y=bax的距离为b．
设双曲线的左焦点为F1，连接MF1，则|MF1|=|FM|−2a．
在Rt△OQF中，设∠QFO=θ，则cosθ=bc.在△F1MF中，由余弦定理得|MF1|2=|FM|2+|FF1|2−2|FM|⋅|FF1|cosθ，将|MF1|=|FM|−2a代入整理后得|FM|=b2ccosθ−a=b2b−a，同理|FN|=b2ccosθ+a=b2b+a.因为|MQ||QN|=|FM|−|QF||QF|−|FN|=b2b−a−bb−b2b+a=b+ab−a=3，所以a=12b，将其代入|FN|=b2b+a=4，解得a=3，b=6，因此所求方程为x29−y236=1．
故答案为：x29−y236=1．
15.【答案】(3,4)
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，属于中档题．
画出图形，利用抛物线的定义结合三角形的周长，转化求解即可．
【解答】
解：如图所示：
抛物线C的焦点F(0,1)，准线为m：y=−1，
过点D作DM⊥m，垂足为点M，
由抛物线的定义得|DF|=|DM|，圆Γ的圆心为点F，半径长为1，
则△ADF的周长L=|AD|+|DF|+|AF|=|AD|+|DM|+1=|AM|+1，
当直线l与圆Γ相切时，则点A、B重合，
根据抛物线的对称性，不妨设此时A(1,1)，则|AM|=2；
当直线l过点F时，点A、D、F三点共线，
则|AM|=|FM|+|AF|=2+1=3．
由于A、D、F不能共线，且A、B不能重合，
则2<|AM|<3，
所以3<|AM|+1<4，即3
故答案为：(3,4)．
16.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义的应用、数形结合思想方法和三角形的相似的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
作图分别过点P，Q做PB⊥l，QE⊥l，垂足分别为B，E，通过三角形的相似，化简求解即可．
【解答】
解：如图所示，分别过点P，Q做PB⊥l，QE⊥l，垂足分别为B，E，
设QF=m，由PF=3FQ，
则QF=QE=m，PB=PF=3m，
∴AQAP=QEPB=13，
即AQAQ+4m=13，
解得AQ=2m，
则|AQ||QF|=2，
故答案为：2．
17.【答案】解：(Ⅰ)设F的坐标为(−c,0)，
依题意可得ca=12a=p2a−c=12,
解得a=1，c=12，p=2，
于是b2=a2−c2=34，
所以椭圆的方程为x2+4y23=1，抛物线的方程为y2=4x．
(Ⅱ)直线l的方程为x=−1，由题意，设直线AP的方程为x=my+1(m≠0)，
联立方程组x=−1x=my+1,
解得点P(−1,−2m)，故Q(−1,2m)，
联立方程组x=my+1x2+4y23=1,
消去x，整理得(3m2+4)y2+6my=0，
解得y=0，或y=−6m3m2+4，
∴B(−3m2+43m2+4,−6m3m2+4)，
∴直线BQ的方程为
(−6m3m2+4−2m)(x+1)−(−3m2+43m2+4+1)(y−2m)=0，
令y=0，解得x=2−3m23m2+2，故D(2−3m23m2+2,0)，
∴|AD|=1−2−3m23m2+2=6m23m2+2，
又∵△APD的面积为62，
∴12×6m23m2+2×2|m|=62，
整理得3m2−26|m|+2=0，
解得|m|=63，∴m=±63，
∴直线AP的方程为3x+6y−3=0，或3x−6y−3=0．
【解析】本题考查椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于难题．
(Ⅰ)根据椭圆和抛物线的性质列方程组求出a，b，p即可得出方程．
(Ⅱ)设AP方程为x=my+1(m≠0)，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．
18.【答案】解：(1)由题意，2a=22，
∴a=2，
又∵以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点，即b=c，
又∵b2+c2=a2=2，
∴b=c=1，
∴C的方程为x22+y2=1．
(2)由题意知，直线l1、l2的斜率存在且不为零，
设过Px0,y0的切线l:y-y0=kx-x0，
联立椭圆方程， y-y0=kx-x0x22+y2=1 消去y，
得(2k2+1)x2+4k(y0−kx0)x+2(y0−kx0)2−2=0，
由直线l与椭圆C相切，则Δ=16k2y0-kx02-42k2+12y0-kx02-2=0，
整理可得x02-2k2-2x0y0k+y02-1=0(易知x0≠±2)，
设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，它们是上述方程的两根，
∴k1k2=y02−1x02−2=m，整理得y02=mx02+1−2m，则x02+y02=(m+1)x02+1−2m，
∴|PO|=x02+y02=(m+1)x02+1−2m，
易知：当x0=0时，有u=|PO|min=1−2m，
∵-1⩽m⩽-12，
∴2⩽u⩽3，即u的取值范围是[2,3]．
【解析】本题以直线与椭圆为载体，以椭圆的双切线(切点弦)性质为背景，利用代数方法解决几何问题，考查逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力，属于较难题．
(1)利用椭圆和圆的性质求出a，b，即可得椭圆方程；(2)设过Px0,y0的切线l:y-y0=kx-x0，联立椭圆方程，表示出k1·k2，得到|PO|=x02+y02=(m+1)x02+1-2m，即可得解．
19.【答案】解：(1)因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，
则ca=2，c=2a，可得a=b，
由已知，将xB=c=2a代入x2a2−y2b2=1，可得|yB|=a，
由12×|BF|×|AF|=2(2+1)，即12×a×(a+c)=2(2+1)，
所以a=2，故双曲线的方程为x2−y2=4；
(2)依题意，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由x2−y2=4,y=kx−1,可得(1−k2)x2+2kx−5=0，
所以1−k2≠0,△=2k2−4(1−k2)×(−5)>0,x1x2=−51−k2<0,解得−1
所以|MN|=1+k2x1−x2=1+k2(−2k1−k2)2−4×−51−k2=21+k2·5−4k21−k2，
设P(x3,y3)，Q(x4,y4)，
由y=x,y=kx−1,得x3=1k−1，同理x4=1k+1，
所以|PQ|=1+k2x3−x4=1+k21k−1−1k+1=21+k21−k2，
所以λ=|MN||PQ|=21+k2·5−4k21−k221+k21−k2=5−4k2，其中−1
【解析】本题主要考查的是双曲线的标准方程及直线与双曲线位置关系的综合应用，难度较大．
(1)由离心率为2得a=b，再结合点B满足双曲线方程及△ABF的面积求出方程；
(2)联立直线y=kx−1与双曲线方程及渐近线方程，结合弦长公式求出|MN|、|PQ|，进而求出λ值，再求范围．
20.【答案】解：(1)根据题意，由离心率e=ca=2，又c2=a2+b2，所以a2=b2，
又右顶点为2,0，即a2=4，所以b2=a2=4，故双曲线C的标准方程为x24−y24=1．
(2)设直线l的方程为y=kx+1，设M(x1,y1)、N(x2,y2)，则由y=kx+1x2−y2=4，消去y整理得到(1−k2)x2−2kx−5=0，
则{1−k2≠0Δ=20−16k2>0x1+x2=2k1−k2x1x2=−51−k2>0，解得1
∵08，
故EM⋅EN=5(1+2k2−1)>45，
故EM⋅EN的取值范围是(45,+∞)．
【解析】本题考查双曲线的几何性质及直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算能力，属于较难题．
(1)依题意可得关于a，b，c的等式，求出a2、b2，从而求出双曲线方程；
(2)设直线l的方程为y=kx+1，联立直线与双曲线方程，可得关于k的不等式组，即可求出k2的范围，根据向量数量积的坐标表示得到EM⋅EN，即可求出EM⋅EN的范围；
21.【答案】解：(Ⅰ)根据题意|PQ|min=p2=1，
解得p=2，
因此抛物线C的方程为x2=4y；
(Ⅱ)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
∵y=x24，∴y′=x2，
∴l1:y−y1=x12x−x1,l2:y−y2=x22x−x2，
整理得l1:2y+2y1=xx1,l2:2y+2y2=xx2，
设P(m,−1)，
代入上述方程，得−2+2y1=mx1，−2+2y2=mx2，
因此直线MN的方程为mx−2y+2=0，
所以直线MN过定点D(0,1)，
由x2=4ymx−2y+2=0，整理得x2−2mx−4=0，
∴x1x2=−4，x1+x2=2m，
∴MN=x1−x22+y1−y22
=1+m24·x1−x2
=1+m24·x1+x22−4x1x2=m2+4，
点P到直线MN的距离为d=m2+4m2+4=m2+4，
∴S△PMN=12m2+432≥12×432=4，
当且仅当m=0时，S△PMN取得最小值4．
【解析】本题考查抛物线的方程、点到直线的距离及直线与抛物线的关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于较难题．
(Ⅰ)根据题意可得|PQ|min=p2=1，求得p的值，进而即可求得结果；
(Ⅱ)根据题意求得直线MN的方程为mx−2y+2=0，可得直线MN过定点D(0,1)，由x2=4ymx−2y+2=0，整理得x2−2mx−4=0，求得|MN|及点P到直线MN的距离，进而即可求得结果．
22.【答案】(1)证明：因为抛物线C方程为x2=2py(p>0)，所以y=12px2，∴y′=xp，∴切线l1的斜率为x1p，
又点A(x1,x122p)，∴l1的方程为：y−x122p=x1p(x−x1)，即l1:x1x−py−x122=0，∴E点坐标是(0,−x122p)，
又焦点F坐标为(0,p2)，于是|EF|=x122p+p2，
又抛物线C的准线方程为y=−p2，则|FA|=x122p+p2，∴|EF|=|FA|，∴ΔAFE为等腰三角形，
设O为坐标原点，A，E的纵坐标分别为yA，yE，
则有yA+yE=0，于是D为AE中点，∴FD⊥AE，
∴当|FD|=2时，∠AFD=60∘，此时∠FDO=30∘，|OF|=1=p2，
∴抛物线C的方程为x2=4y．
(2)解：设B(x2,x224)，x2<0，显然x1>x2，
由(1)得l1方程：y=x12x−x124①
同理l2方程y=x22x−x224②，联立①②⇒xP=x1+x22，所以yP=x1x24，
因为直线l的方程为：y=1，所以M(2x1+x12,1)，N(2x2+x22,1)，
所以|MN|=2x1+x12−2x2−x22，
所以S△PMN=12⋅(2x1+x12−2x2−x22)⋅(1−x1x24)=12⋅[2(x1−x2)−x1x2+12(x1−x2)](1−x1x24)，
=12[x1+(−x2)](12−2x1x2)(1−x1x24)⩾−x1x2(12−2x1x2)(1−x1x24)，
当且仅当x1=−x2时取等号，
令−x1x2=t(t>0)，
∴S△PMN⩾t(12+2t)(1+t4)=t(12+t8+2t+12)=t(t8+2t+1)，
令t=m，S=m38+2m+m(m>0)，
S′=38m2−2m2+1=3m4+8m2−168m2=(3m2−4)(m2+4)8m2
当043，S单调递增，
∴Smin=S(43)=1639，当且仅当x1x2=−43x1=−x2时取“=”，此时x1=233．
所以△PMN面积的最小值为1639，此时x1的值为x1=233．
【解析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，属于较难题．
(1)设A的坐标，可得l1的方程，从而可得E的坐标，进而可得|FE|=|FA|，即△AFE为等腰三角形，且D为AE的中点，利用|DF|=2，∠AFD=60°，即可求抛物线方程；
(2)设B(x2,x224)，联立l1与l2的方程，可得P的坐标，求出M，N的坐标，可得△PMN面积，再利用导数的方法，可求面积的最小值，从而可得结论．
人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知椭圆C：x216+y28=1，F1、F2分别为其左、右焦点，A1，A2分别为其长轴的左右端点，动点M满足MA2⊥A1A2，A1M交椭圆于点P，则OM·OP的值为( )
A. 8 B. 16 C. 20 D. 24
2. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别是F1,F2，焦距为2c，若直线y=3x+c与椭圆交于M点，且满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ，则椭圆的离心率是( )
A. 22 B. 3-1 C. 3-12 D. 32
3. 已知椭圆C：x23+y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左顶点与椭圆C的左顶点重合，点P是双曲线在第一象限内的点，且满足PB=λPAλ>0，PA2=27，则双曲线E的离心率为( )
A. 233 B. 213 C. 253 D. 153
4. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为12的直线交双曲线的左、右支于A、B两点，线段AB的垂直平分线恰过点F2，则该双曲线的离心率为
A. 153 B. 103 C. 152 D. 102
5. 已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为y=±33x，则下列结论错误的是( )
A. 曲线C的方程为x23−y2=1；
B. 左焦点到一条渐近线距离为1；
C. 直线x−2y−1=0与曲线C有两个公共点；
D. 过右焦点截双曲线所得弦长为23的直线只有三条；
6. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线C交于M，N两点，若PF=4MF，则|MN|= ( )
A. 32 B. 3 C. 92 D. 9
7. 已知抛物线y2=8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，则AF−9BF的最小值为( )
A. 1 B. 32 C. 52 D. 6
8. 已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，其准线l与x轴相交于点M，过点M作斜率为k的直线l与抛物线C相交于A，B两点，∠AFB=120∘，则k=( )
A. ±12 B. ±32 C. ±(2+3) D. ±(2−3)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2，点M，P在C上且OP=c，直线PF2与C交于另一个点Q，若tan∠F1QF2=34，则下列说法正确的是( )
A. ▵PF1Q为等腰三角形
B. 椭圆C的离心率为22
C. △PF1F2内切圆的半径为2−1
D. ▵MPQ面积的最大值为21+33
10. 已知双曲线C:x2−y23=1，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
B. 若F为C的左焦点，点P在C上，则满足FM=2MP的点M的轨迹方程为3x+22−3y2=4
C. 若A，B在C上，线段AB的中点为(2,2)，则直线AB的方程为3x−y−4=0
D. 若P为双曲线上任意一点，则P到点(2,0)和到直线x=12的距离之比恒为2
11. 双曲线C：x216−y28=1的左、右焦点分别为F1、F2.以F1F2为直径的圆O与C在第一象限交于P点.过F2作QF2⊥x轴与C在第四象限交于Q，下列说法正确的是( )
A. ΔPF1F2的面积为8
B. ΔPF1F2的内切圆圆心I的横坐标为4
C. 直线PQ过原点O
D. 过Q直线交圆O于M、N两点，则QM⋅QN为定值
12. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A,B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M,N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法正确的是( )
A. 若抛物线上点E(2,t)到F的距离为4，则抛物线的方程为y2=4x
B. OA⋅OB=−3p24
C. 若|AF|⋅|BF|=3p2，则直线AB的斜率为±2
D. sin∠PMN的取值范围为[12,1)
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知椭圆的标准方程为x2a2+y2=1a>1，上顶点为A，左顶点为B，设点P为椭圆上一点，△PAB的面积的最大值为2+1，若已知点M−3,0、N3,0，点Q为椭圆上任意一点，则1QN+4QM的最小值为 ．
14. 过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|=3|QN|，|FN|=4，则双曲线的标准方程是 ．
15. 已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，平行于y轴的直线l与圆Γ：x2+(y−1)2=1交于A，B两点(点A在点B的上方)，l与C交于点D，则△ADF周长的取值范围是________．
16. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于P，Q两点，交l于点A，若PF=3FQ，则|AQ||QF|= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12．
(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(Ⅱ)设l上两点P,Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D，若△APD的面积为62，求直线AP的方程．
18. 设O是坐标原点，以F1,F2为焦点的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为22，以F1F2为直径的圆和C恰好有两个交点，
(1)求C的方程;
(2)P是C外的一点，设其坐标为x0,y0，过P的直线l1,l2均与C相切，且l1,l2的斜率k1,k2之积为m-1⩽m⩽-12，记u为|PO|的最小值，求u的取值范围．
19. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，△ABF的面积为2(2+1).
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线y=kx−1与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，|MN|=λ|PQ|，求实数λ的取值范围．
20. 已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1，离心率为2，右顶点为(2,0)
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过E(0,1)的直线l与双曲线C的一支交于M、N两点，求EM⋅EN的取值范围．
21. 已知Q为抛物线C：x2=2py(p>0)上的一点，P为抛物线C的准线上的一点，且|PQ|的最小值为1．
(Ⅰ)求抛物线C的标准方程；
(Ⅱ)过点P作抛物线的切线l1，l2，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点D，并求出△PMN面积的最小值．
22. 设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为x1(x1>0)，过点A作抛物线C的切线l1，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l:y=p2交于点M.当|FD|=2时，∠AFD=60∘．
(1)证明：△AFE为等腰三角形，并求抛物线C的方程;
(2)若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线l2，与直线l1交于点P，与直线l交于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时x1的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆相交问题，化为方程联立得到根与系数的关系，数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于较难题．
设M(4,t)，P(s,m)，C(−2,0).直线MA1的方程为y=t8(x+4)，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，即可得出点M的坐标用t表示，再利用数量积运算化简整理即可得出OM⋅OP的值．
【解答】
解：椭圆C：x216+y28=1中a=4，
可得A1(−4,0)，A2(4,0)，
由MA2⊥A1A2，可设M(4,t)，P(s,m)，
可得直线MA1的方程为y=t8(x+4)，
代入椭圆C：x216+y28=1，可得：
32+t2x2+8t2x+16t2−512=0，
则−4s=16t2−51232+t2，
解得s=−4t2+12832+t2，
m=t8(s+4)=32t32+t2，
即有P(−4t2+12832+t2,32t32+t2)，
则OM·OP=4×−4t2+12832+t2+t×32t32+t2
=−16t2+512+32t232+t2
=16(t2+32)t2+32=16．
故选B．
2.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆位置关系及椭圆的性质，属于中档题．
在△MF1F2中，设∠MF1F2=60°，则∠MF2F1=30°，∠F1MF2=90°，由|F1F2|=2c，得|MF1|=c，|MF2|=3c，从而2a=c+3c，由此能求出该椭圆的离心率．
【解答】
解：椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，
直线y=3x+c与椭圆的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，
如图，在△MF1F2中，因为kMF1=3，所以∠MF1F2=60°，
则∠MF2F1=30°，∠F1MF2=90°，
∵|F1F2|=2c，
∴|MF1|=c，|MF2|=3c，
∴2a=|MF1|+|MF2|=c+3c，
∴该椭圆的离心率为e=ca=23+1=3−1．
故选B．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的性质以及双曲线的离心率的求解，涉及余弦定理的运用，考查椭圆的性质，属于中档题．
在△A1A2P中，|PA2|=27.易知|A1A2|=23，∠PA1A2=30°.利用余弦定理求出|PA1|=8，得到PB=34PA1，进而求出b²，即可求出离心率．
【解答】
解：由椭圆方程x23+y2=1可知，左顶点A1(−3,0)，上顶点B(0,1)，
由双曲线E的左顶点与椭圆x23+y2=1的左顶点重合，得a2=3，a=3．
在△A1A2P中，|PA2|=27.易知|A1A2|=23，∠PA1A2=30°．
由余弦定理得28=|PA1|2+12−2×23×|PA1|×cos 30∘，
得|PA1|=8.易知|BA1|=2，所以PB=34PA1．
设点P的坐标为(x0,y0)，则(−x0,1−y0)=34(−3−x0,−y0)，
得x0=34(x0+3),y0−1=34y0,解得x0=33,y0=4,
代入双曲线E的标准方程，得9−16b2=1，得b2=2，
从而c2=a2+b2=5，c=5，
所以双曲线E的离心率e=ca=53=153，
故选D．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，性质，直线与双曲线的位置关系，较难．
由题意先设AF2=BF2=m，设直线的倾斜角为θ，进而得NF2=2csinθ=2c5,NF1=2ccosθ=4c5，再利用定义得AF1=NF1−AN=4c5−2a=m−2a，求m，由|BF2|2=|NF2|2+|BN|2,(4c5)2=4a2+(2c5)2，求出离心率．
【解答】
解：连接AF2，BF2，记A，B中点为N，
根据题意知：AF2=BF2，所以设AF2=BF2=m，
并且NF2垂直AB，由于过点F1的直线斜率为12，
设直线的倾斜角为θ,tanθ=12,sinθ=15,cosθ=25，
所以在直角三角形F1F2N中，NF2=2csinθ=2c5,NF1=2ccosθ=4c5，
根据双曲线的定义：BF1−BF2=2a，所以：BF1=2a+m，同理：AF1=m−2a；
所以AB=BF1−AF1=4a，则AN=BN=2a，
故：AF1=NF1−AN=4c5−2a=m−2a，因此：m=4c5 ．
在直角三角形BNF2中，
BF22=NF22+BN2,所以(4c5)2=4a2+(2c5)2，
从而解得离心率 e=153．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线的定义及其性质的运用，双曲线标准方程的求法，考查的知识点众多，计算麻烦，属于较难题．
由题意设双曲线方程为x29−y23=k(k≠0)，将(3 , 2)代入双曲线方程可得99−23=k，即k=13，则双曲线C的方程为x23−y2=1，再对各个选项综合分析即可求解．
【解答】
解：∵双曲线C过点(3 , 2)且渐近线为y=±33x，
设双曲线方程为x29−y23=k(k≠0)，
将点(3 , 2)代入双曲线方程可得99−23=k，解得k=13，
∴双曲线C的方程为x23−y2=1，故A正确；
左焦点(−2,0)到一条渐近线y=33x距离为2331+13=1，故B正确；
由x23−y2=1x−2y−1=0，消去x整理得y2−22y+2=0，即y−22=0，方程只有一个实数根，即直线x−2y−1=0与双曲线C只有一个公共点，故 C错误．
设过右焦点(2,0)的直线方程为y=k(x−2)，由x23−y2=1y=k(x−2)，消去y整理得(1−3k2)x2+12k2x−12k2−3=0，
由韦达定理可得x1+x2=−12k21−3k3, x1·x2=−12k2−31−3k3,
则(1+k2)[(x1+x2)2−4x1·x2]=23，
即(1+k2)[(−12k21−3k2)2−4(−12k2−3)1−3k2]=12，
化简得(1+k2)(k2+1)=1−6k2+9k4，
解得k=0或k=1或−1．
故D正确．
故选C．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的弦长问题，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力．
先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程进行联立，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．
【解答】
解：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为l：x=−1，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，M，N到准线的距离分别为dM，dN，
由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+1，|NF|=dN=x2+1，
于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．
∵PF=4MF，易得到1−x12=14,x1=12，
则M(12,±2)，因为F(1,0)，
∴直线MN的斜率为±21−12=±22，
∵F(1,0)，∴直线PF的方程为：y=±22(x−1)，
将y=±22(x−1)，代入方程y2=4x，化简得2x2−5x+2=0，
∴x1+x2=52，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=92，
故选C．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的概念，性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查计算能力，属于较难题．
设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦半径公式，求得|AF|−9|BF|=2x12−x1+82x1+4，x1>0，根据函数的单调性，即可求得答案．
【解答】
解：由题意知，抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0)，
当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k(x−2)，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
由y2=8xy=k(x−2)，整理得：k2x2−(4k2+8)x+4k2=0．
则 x1+x2=4k2+8k2，x1x2=4，则x2=4x1，
根据抛物线定义可知，|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，
|AF|−9|BF|=(x1+2)−9x2+2=(x1+2)−9x12x1+4=2x12−x1+82x1+4，x1>0，
设f(x)=2x2−x+82x+4，x>0，求导f′x=4x+5x−1(2x+4)2，令f′x=0，则x=1，
当x∈(0,1)，f′x<0，当x∈(1,+∞)，f′x>0，
∴f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，
∴当x=1，f(x)取最小值，f(1)=2−1+82+4=32，
∴|AF|−9|BF|的最小值为32，
当斜率不存在时，AF=BF=4，
此时|AF|−9|BF|=74，∴|AF|−9|BF|的最小值为32，
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查三角形的余弦定理，化简运算能力，属于中档题．
求得抛物线的焦点和准线方程，过点M作斜率为k的直线方程设为y=k(x+32)，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及余弦定理，化简整理，解方程可得斜率k．
【解答】
解：抛物线y2=6x的焦点为F(32,0)，准线方程为x=−32，M(−32,0)，
过点M作斜率为k的直线方程设为y=k(x+32)，联立抛物线方程，可得
k2x2+(3k2−6)x+94k2=0，k≠0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得|AF|=x1+32，|BF|=x2+32，
则△=(3k2−6)2−9k4>0，即−1
可得|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2
=1+k2⋅(6k2−3)2−9=6⋅1−k4k2，
在△AFB中，由余弦定理可得|AB|2=|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|⋅cos120°
又∵右边=(x1+32)2+(x2+32)2+2(x1+32)(x2+32)⋅12=(x1+x2)2+92(x1+x2)−x1x2+274
=(6k2−3)2+92(6k2−3)−92
=9(4−k2)k4
|AB|2=36(1−k4)k4，
∴9(4−k2)k4=36(1−k4)k4
解得k=±12，
故选：A．
9.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题试题有机地将椭圆的定义、方程、几何性质与三角形的知识结合起来，属于中档题．
由解三角形及圆的性质可判断A;
由椭圆的定义，离心率及a，b，c三者的关系可判断B;
由三角形的面积公式S=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r可判定C;
由点到直线的距离公式求出点M到直线PF2的距离d=|1−3sin(θ+φ)|2，其中tanφ=2，再利用三角函数的性质可求出最大值，最后代入面积公式求解即可判定D．
【解答】
解：由题意知OP=|OF1|=|OF2|，
所以点P，F1，F2在以O为圆心，|F1F2|为直径的圆上，
所以∠F1PF2=90∘．
设|PQ|=4m，
由于tanF1QF2=34，
所以|PF1|=3m，|F1Q|=5m，
故△PF1Q不是等腰三角形，故A错误．
由椭圆的定义知，|F1Q|+|PF1|+|PQ|=5m+3m+4m=4a，
则m=a3，
所以|PF1|=3m=a，则|PF2|=a．
又∠F1PF2=90∘，
所以△PF1F2为等腰直角三角形，可得b=c．
由题意知b=1，
所以a2=b2+c2=2，即a=2，
所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1，离心率为22，故B正确．
易知△PF1F2的面积S=12×1×2=1，
设△PF1F2的内切圆半径为r，则S=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r，
即1=2+222r，
所以r=2−1，故C正确．
不妨令P(0,1)，
又F2(1,0)，
所以直线PF2的方程为y=−(x−1)=1−x，
设M(2cosθ,sinθ)，
则点M到直线PF2的距离d=1−2cos θ−sin θ2=|1−3sin(θ+φ)|2，其中tanφ=2，
所以dmax=1+32，
因为|PQ|=4m=423，
所以△MPQ面积的最大值为12×423×1+32=2(1+3)3，
故D正确．
故选BCD
10.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线概念，性质，直线与双曲线的位置关系，中点坐标公式，两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线方程以及圆锥曲线中轨迹问题，题意较难；
对于A：表示出顶点坐标和渐近线方程，得出结论可判断选项A；
对于B：设M(x,y) P(x0, y0) ，根据题意可用x，y表示点P坐标，代入双曲线方程可得出结论，进而判断选项B;
对于C：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入双曲线过程，可得直线AB的斜率，再利用点斜式可得出结论，进而判断选项C；
对于D：根据两点间距离公式，点到直线的距离公式可直接得出结论，进而判断选项D．
【解答】
解：对于A：双曲线的顶点坐标是(±1,0)，渐近线方程是y=±3x，
因此其顶点到渐近线的距离：d=32，故选项A错误；
对于B：设M(x,y) P(x0, y0) 且 F(−2,0)，
∴FM=(x+2,y), MP=(x0−x, y0−y)，
∵FM=2MP，
∴x+2=2((x0−x)y=2(y0−y) 即： x0=32x+1y0=32y,
∴P (32x+1,32y) ，且点P在双曲线C:x2−y23=1上，
∴(32x+1)2−(32y)23=1 ⇒ 9x2+12x−3y2=0,
即：(3x+2)2−3y2=4，故选项B正确；
对于C：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则：3x12−y12=3， 3x22−y22=3
∴3(x1+x2)(x1−x2)+(y1+y2)(y2−y1)=0
∵点(2,2)恰为线段AB的中点， ∴x1+x2=4， y1+y2=4，
∴12(x1−x2)+4(y1−y2)=0，即：y1−y2x1−x2=3
∴直线AB的斜率为：−12，且过点(2,2)，
∴直线AB的方程为：y−2=3(x−2), 即： 3x−y−4=0，故选项C正确；
对于D: ∵双曲线右焦点F2(2,0)， 直线：x=12，
设点P(x0,y0) ∴x02−y023=1， 即：y02=3x02−3，
∴点P(x0, 3x02−3)到点(2,0)和到直线x=12的距离之比为：
(x0−2)2+(3x02−3)|x0−12|=4x02−4x0+1|x0−12|=|2x0−1||x0−12|=2|x0−12||x0−12|=2.故选项D正确；
故选BCD．
11.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的定义，几何性质，韦达定理的应用，考查学生的分析问题，运算能力，属于难题．
利用双曲线的几何性质以及直角三角形内切圆的几何性质，直线和双曲线的位置关系，利用韦达定理等依次验证各个选项的正误，进而得到正确答案．
【解答】
解：由题可知c=16+8=26，
即以F1F2为直径的圆O的方程为：x2+y2=24．
由题可知PF1⊥PF2，又F1F2=46，
∴PF12+PF22=F1F22①，
PF1−PF2=8②，
②式平方−①可得：PF1·PF2=16．
∴S△PF1F2=12·PF1·PF2=8，故A正确；
△PF1F2的内切圆圆心I，过I作IC⊥F1F2于C，
IA⊥PF1于A，IB⊥PF2于B，
即A，B，C是内切圆于三角形三边的切点，
即PA=PB，AF1=CF1,BF2=CF2．
设C的横坐标为xC.又F1−26,0,F226,0．
∵PF1=PA+AF1,PF2=PB+BF2，
∴PF1−PF2=AF1−BF2=CF1−CF2=2a，
∴xC−−26−26−xC=8,∴xC=4.故B正确；
由条件可得过F2作QF2⊥x轴与C在第四象限的交点Q26,−2．
由x2+y2=24和x216−y28=1联立可得P833,263．
则可得kPO=263−0833−0=24，
kQO=−2−026−0=−66，
则可知kOP≠kOQ，即Q，O，P三点不共线，也就是直线QP不过原点，故C错误；
设过Q直线方程为：y−−2=kx−26，k存在且不为0．
设Mx1,y1,Nx2,y2．
∴QM=x1−26,y1+2,QN=x2−26,y2+2．
∴QM·QN=x1−26,y1+2·x2−26,y2+2
=1+k2x1−26x2−26
=1+k2x1x2−26x1+x2+24．
联立y+2=kx−26x2+y2=24消去y化简整理可得：
1+k2x2−46k2+4kx+26k+22−24=0．
∴△=46k2+4k2−41+k226k+22−24>0(*)
∴x1+x2=46k2+4k1+k2,x1x2=26k+22−241+k2=24k2+86k−201+k2．
∴QM·QN=1+k224k2+86k−201+k2−26×46k2+4k1+k2+24=4．
即QM·QN=4是定值，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程，涉及函数的值域，中点公式，点到直线的距离，直线的斜率，考查数形结合与化简整理的运算能力，属于较难题．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设直线l:x=my+p2与抛物线方程联立x=my+p2y2=2px，y2−2pmy−p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=−p2，再根据选项逐一判断即可．
【解答】
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设直线l:x=my+p2，与抛物线方程联立x=my+p2y2=2px，
得y2−2pmy−p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=−p2，且由Δ=4p2m2+4p2>0恒成立可得m∈R．
对于A，由抛物线定义可得|EF|=2+p2=4，解得：p=4，则抛物线方程是y2=8x，故A错误；
对于B，OA⋅OB=x1x2+y1y2=y122p·y222p+y1y2=p24−p2=−34p2，故B正确；
对于C，根据抛物线定义可知|AF|=x1+p2，|BF|=x2+p2，
|AF|·|BF|=(x1+p2)(x2+p2)=(my1+p)(my2+p)
=m2y1y2+pm(y1+y2)+p2
=−m2p2+2p2m2+p2=p2(m2+1)=3p2，
则m2+1=3，解得：m=±2，直线l的斜率k=1m=±22，故C错误；
对于D，因为以线段AB为直径的圆交y轴于M,N两点，P为线段AB的中点，
所以sin∠PMN=dr，其中d是点P到y轴的距离d=x1+x22，r=|AB|2=x1+x2+p2，
由分析可知x1+x2=my1+p2+my2+p2=my1+y2+p=2pm2+p，
所以sin∠PMN=dr=x1+x2x1+x2+p=2pm2+p2pm2+2p=2m2+12m2+2=1−12(m2+1)，
因为2m2+1⩾2，所以0<12(m2+1)⩽12，则−12⩽−12(m2+1)<0，所以sin∠PMN∈12,1，故D正确．
故选BD．
13.【答案】94
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的概念，性质和几何意义，考查直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，是拔高题．
当与AB平行的直线与椭圆相切于P点时，△PAB的面积最大，设出切线方程与椭圆方程联立利用Δ=0求出直线方程，再计算出P到直线AB的距离结合面积即可求出a，再根据椭圆的定义得|QM|+|QN|=2a=4，利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：如图，
当与AB平行的直线与椭圆相切于P点时，△PAB的面积最大，
依题意，A(0,1)，B(−a,0)，kAB=1a，
∴设切线为y=1ax+m由图可知m<0．
∴y=1ax+mx2a2+y2=1，化为2x2+2amx+a2m2−a2=0
∵Δ=0，
∴4a2m2−8(a2m2−a2)=0，解得m2=2．
∴m=−2，
∵直线AB：y=1ax+1，过P点的切线：y=1ax−2，
∴点P到直线AB的距离d=2+11a2+1=a(2+1)a2+1，
∵|AB|=a2+1，
∴△PAB的面积S=12⋅d⋅|AB|=2+1，
∴a=2，
所以椭圆的标准方程为x24+y2=1，其中c=3，
所以点M(−3,0)、N(3,0)为椭圆的左右焦点，
∴|QM|+|QN|=2a=4．
∴1|QN|+4|QM|=(1|QN|+4|QM|)⋅14(|QM|+|QN|)
=14(5+QMQN+4QNQM)
⩾14(5+2QMQN×4QNQM)=94，
当且仅当|QM|=2|QN|=83时等号成立．
所以1|QN|+4|QM|的最小值为94．
故答案为94．
14.【答案】x29−y236=1
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程和余弦定理，考查运算求解能力和数形结合思想、化归与转化思想，属于难题．
先求得|FM|=b2ccosθ−a=b2b−a和|FN|=b2ccosθ+a=b2b+a，利用|MQ||QN|=3，得a=12b，得a=3，b=6，即可得双曲线的标准方程．
【解答】
解：如图，
根据点到直线的距离公式可得点F到直线y=bax的距离为b．
设双曲线的左焦点为F1，连接MF1，则|MF1|=|FM|−2a．
在Rt△OQF中，设∠QFO=θ，则cosθ=bc.在△F1MF中，由余弦定理得|MF1|2=|FM|2+|FF1|2−2|FM|⋅|FF1|cosθ，将|MF1|=|FM|−2a代入整理后得|FM|=b2ccosθ−a=b2b−a，同理|FN|=b2ccosθ+a=b2b+a.因为|MQ||QN|=|FM|−|QF||QF|−|FN|=b2b−a−bb−b2b+a=b+ab−a=3，所以a=12b，将其代入|FN|=b2b+a=4，解得a=3，b=6，因此所求方程为x29−y236=1．
故答案为：x29−y236=1．
15.【答案】(3,4)
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，属于中档题．
画出图形，利用抛物线的定义结合三角形的周长，转化求解即可．
【解答】
解：如图所示：
抛物线C的焦点F(0,1)，准线为m：y=−1，
过点D作DM⊥m，垂足为点M，
由抛物线的定义得|DF|=|DM|，圆Γ的圆心为点F，半径长为1，
则△ADF的周长L=|AD|+|DF|+|AF|=|AD|+|DM|+1=|AM|+1，
当直线l与圆Γ相切时，则点A、B重合，
根据抛物线的对称性，不妨设此时A(1,1)，则|AM|=2；
当直线l过点F时，点A、D、F三点共线，
则|AM|=|FM|+|AF|=2+1=3．
由于A、D、F不能共线，且A、B不能重合，
则2<|AM|<3，
所以3<|AM|+1<4，即3
故答案为：(3,4)．
16.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义的应用、数形结合思想方法和三角形的相似的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
作图分别过点P，Q做PB⊥l，QE⊥l，垂足分别为B，E，通过三角形的相似，化简求解即可．
【解答】
解：如图所示，分别过点P，Q做PB⊥l，QE⊥l，垂足分别为B，E，
设QF=m，由PF=3FQ，
则QF=QE=m，PB=PF=3m，
∴AQAP=QEPB=13，
即AQAQ+4m=13，
解得AQ=2m，
则|AQ||QF|=2，
故答案为：2．
17.【答案】解：(Ⅰ)设F的坐标为(−c,0)，
依题意可得ca=12a=p2a−c=12,
解得a=1，c=12，p=2，
于是b2=a2−c2=34，
所以椭圆的方程为x2+4y23=1，抛物线的方程为y2=4x．
(Ⅱ)直线l的方程为x=−1，由题意，设直线AP的方程为x=my+1(m≠0)，
联立方程组x=−1x=my+1,
解得点P(−1,−2m)，故Q(−1,2m)，
联立方程组x=my+1x2+4y23=1,
消去x，整理得(3m2+4)y2+6my=0，
解得y=0，或y=−6m3m2+4，
∴B(−3m2+43m2+4,−6m3m2+4)，
∴直线BQ的方程为
(−6m3m2+4−2m)(x+1)−(−3m2+43m2+4+1)(y−2m)=0，
令y=0，解得x=2−3m23m2+2，故D(2−3m23m2+2,0)，
∴|AD|=1−2−3m23m2+2=6m23m2+2，
又∵△APD的面积为62，
∴12×6m23m2+2×2|m|=62，
整理得3m2−26|m|+2=0，
解得|m|=63，∴m=±63，
∴直线AP的方程为3x+6y−3=0，或3x−6y−3=0．
【解析】本题考查椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于难题．
(Ⅰ)根据椭圆和抛物线的性质列方程组求出a，b，p即可得出方程．
(Ⅱ)设AP方程为x=my+1(m≠0)，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．
18.【答案】解：(1)由题意，2a=22，
∴a=2，
又∵以|F1F2|为直径的圆和C恰好有两个交点，即b=c，
又∵b2+c2=a2=2，
∴b=c=1，
∴C的方程为x22+y2=1．
(2)由题意知，直线l1、l2的斜率存在且不为零，
设过Px0,y0的切线l:y-y0=kx-x0，
联立椭圆方程， y-y0=kx-x0x22+y2=1 消去y，
得(2k2+1)x2+4k(y0−kx0)x+2(y0−kx0)2−2=0，
由直线l与椭圆C相切，则Δ=16k2y0-kx02-42k2+12y0-kx02-2=0，
整理可得x02-2k2-2x0y0k+y02-1=0(易知x0≠±2)，
设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，它们是上述方程的两根，
∴k1k2=y02−1x02−2=m，整理得y02=mx02+1−2m，则x02+y02=(m+1)x02+1−2m，
∴|PO|=x02+y02=(m+1)x02+1−2m，
易知：当x0=0时，有u=|PO|min=1−2m，
∵-1⩽m⩽-12，
∴2⩽u⩽3，即u的取值范围是[2,3]．
【解析】本题以直线与椭圆为载体，以椭圆的双切线(切点弦)性质为背景，利用代数方法解决几何问题，考查逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力，属于较难题．
(1)利用椭圆和圆的性质求出a，b，即可得椭圆方程；(2)设过Px0,y0的切线l:y-y0=kx-x0，联立椭圆方程，表示出k1·k2，得到|PO|=x02+y02=(m+1)x02+1-2m，即可得解．
19.【答案】解：(1)因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，
则ca=2，c=2a，可得a=b，
由已知，将xB=c=2a代入x2a2−y2b2=1，可得|yB|=a，
由12×|BF|×|AF|=2(2+1)，即12×a×(a+c)=2(2+1)，
所以a=2，故双曲线的方程为x2−y2=4；
(2)依题意，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由x2−y2=4,y=kx−1,可得(1−k2)x2+2kx−5=0，
所以1−k2≠0,△=2k2−4(1−k2)×(−5)>0,x1x2=−51−k2<0,解得−1
所以|MN|=1+k2x1−x2=1+k2(−2k1−k2)2−4×−51−k2=21+k2·5−4k21−k2，
设P(x3,y3)，Q(x4,y4)，
由y=x,y=kx−1,得x3=1k−1，同理x4=1k+1，
所以|PQ|=1+k2x3−x4=1+k21k−1−1k+1=21+k21−k2，
所以λ=|MN||PQ|=21+k2·5−4k21−k221+k21−k2=5−4k2，其中−1
【解析】本题主要考查的是双曲线的标准方程及直线与双曲线位置关系的综合应用，难度较大．
(1)由离心率为2得a=b，再结合点B满足双曲线方程及△ABF的面积求出方程；
(2)联立直线y=kx−1与双曲线方程及渐近线方程，结合弦长公式求出|MN|、|PQ|，进而求出λ值，再求范围．
20.【答案】解：(1)根据题意，由离心率e=ca=2，又c2=a2+b2，所以a2=b2，
又右顶点为2,0，即a2=4，所以b2=a2=4，故双曲线C的标准方程为x24−y24=1．
(2)设直线l的方程为y=kx+1，设M(x1,y1)、N(x2,y2)，则由y=kx+1x2−y2=4，消去y整理得到(1−k2)x2−2kx−5=0，
则{1−k2≠0Δ=20−16k2>0x1+x2=2k1−k2x1x2=−51−k2>0，解得1
∵0
故EM⋅EN=5(1+2k2−1)>45，
故EM⋅EN的取值范围是(45,+∞)．
【解析】本题考查双曲线的几何性质及直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算能力，属于较难题．
(1)依题意可得关于a，b，c的等式，求出a2、b2，从而求出双曲线方程；
(2)设直线l的方程为y=kx+1，联立直线与双曲线方程，可得关于k的不等式组，即可求出k2的范围，根据向量数量积的坐标表示得到EM⋅EN，即可求出EM⋅EN的范围；
21.【答案】解：(Ⅰ)根据题意|PQ|min=p2=1，
解得p=2，
因此抛物线C的方程为x2=4y；
(Ⅱ)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
∵y=x24，∴y′=x2，
∴l1:y−y1=x12x−x1,l2:y−y2=x22x−x2，
整理得l1:2y+2y1=xx1,l2:2y+2y2=xx2，
设P(m,−1)，
代入上述方程，得−2+2y1=mx1，−2+2y2=mx2，
因此直线MN的方程为mx−2y+2=0，
所以直线MN过定点D(0,1)，
由x2=4ymx−2y+2=0，整理得x2−2mx−4=0，
∴x1x2=−4，x1+x2=2m，
∴MN=x1−x22+y1−y22
=1+m24·x1−x2
=1+m24·x1+x22−4x1x2=m2+4，
点P到直线MN的距离为d=m2+4m2+4=m2+4，
∴S△PMN=12m2+432≥12×432=4，
当且仅当m=0时，S△PMN取得最小值4．
【解析】本题考查抛物线的方程、点到直线的距离及直线与抛物线的关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于较难题．
(Ⅰ)根据题意可得|PQ|min=p2=1，求得p的值，进而即可求得结果；
(Ⅱ)根据题意求得直线MN的方程为mx−2y+2=0，可得直线MN过定点D(0,1)，由x2=4ymx−2y+2=0，整理得x2−2mx−4=0，求得|MN|及点P到直线MN的距离，进而即可求得结果．
22.【答案】(1)证明：因为抛物线C方程为x2=2py(p>0)，所以y=12px2，∴y′=xp，∴切线l1的斜率为x1p，
又点A(x1,x122p)，∴l1的方程为：y−x122p=x1p(x−x1)，即l1:x1x−py−x122=0，∴E点坐标是(0,−x122p)，
又焦点F坐标为(0,p2)，于是|EF|=x122p+p2，
又抛物线C的准线方程为y=−p2，则|FA|=x122p+p2，∴|EF|=|FA|，∴ΔAFE为等腰三角形，
设O为坐标原点，A，E的纵坐标分别为yA，yE，
则有yA+yE=0，于是D为AE中点，∴FD⊥AE，
∴当|FD|=2时，∠AFD=60∘，此时∠FDO=30∘，|OF|=1=p2，
∴抛物线C的方程为x2=4y．
(2)解：设B(x2,x224)，x2<0，显然x1>x2，
由(1)得l1方程：y=x12x−x124①
同理l2方程y=x22x−x224②，联立①②⇒xP=x1+x22，所以yP=x1x24，
因为直线l的方程为：y=1，所以M(2x1+x12,1)，N(2x2+x22,1)，
所以|MN|=2x1+x12−2x2−x22，
所以S△PMN=12⋅(2x1+x12−2x2−x22)⋅(1−x1x24)=12⋅[2(x1−x2)−x1x2+12(x1−x2)](1−x1x24)，
=12[x1+(−x2)](12−2x1x2)(1−x1x24)⩾−x1x2(12−2x1x2)(1−x1x24)，
当且仅当x1=−x2时取等号，
令−x1x2=t(t>0)，
∴S△PMN⩾t(12+2t)(1+t4)=t(12+t8+2t+12)=t(t8+2t+1)，
令t=m，S=m38+2m+m(m>0)，
S′=38m2−2m2+1=3m4+8m2−168m2=(3m2−4)(m2+4)8m2
当0
∴Smin=S(43)=1639，当且仅当x1x2=−43x1=−x2时取“=”，此时x1=233．
所以△PMN面积的最小值为1639，此时x1的值为x1=233．
【解析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，属于较难题．
(1)设A的坐标，可得l1的方程，从而可得E的坐标，进而可得|FE|=|FA|，即△AFE为等腰三角形，且D为AE的中点，利用|DF|=2，∠AFD=60°，即可求抛物线方程；
(2)设B(x2,x224)，联立l1与l2的方程，可得P的坐标，求出M，N的坐标，可得△PMN面积，再利用导数的方法，可求面积的最小值，从而可得结论．
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