2022-2023学年人教B版（2019）必修三第八章 向量的数量积与三角函数恒等变换 单元测试卷
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学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共50分)
1、(5分)在菱形ABCD中，，，，P是菱形ABCD内部及边界上一点，则的最大值是( )
A. B. C.13 D.
2、(5分)已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为( )
A. B. C.2 D.3
3、(5分)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为．根据以上性质，已知，P为内一点，记，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4、(5分)若平面向量a与b的夹角为60°，，，则等于( ).
A. B. C.4 D.12
5、(5分)若，则( ).
A.2 B. C. D.1
6、(5分)已知的三个顶点及平面内一点满足,则与的面积比为( )
A. B. C. D.
7、(5分)已知向量a，b满足，，，则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
8、(5分)在平面直角坐标系Oxy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
9、(5分)设抛物线的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10、(5分)点P在平面上做匀速直线运动，速度，(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(共25分)
11、(5分)若，且满足，，，则__________.
12、(5分)设向量a，b的夹角的余弦值为，且，，则_________.
13、(5分)设，且，则________.
14、(5分)平面内单位向量a，b，c满足，则_______.
15、(5分)在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为_________千米/时.
三、解答题(共25分)
16、(8分)已知的坐标分别为.
(1) .若, 求角的值;
(2) .若, 求的值.
17、(8分)三角形中，,点E是边上的动点，当E为中点时，
（1）求和;
（2）是延长线上的点，，当在上运动时,求的最大值.
18、(9分)在平面直角坐标系xOy中，点.
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.
(2)设实数t满足，求t的值.
参考答案
1、答案：B
解析：
2、答案：B
解析：
3、答案：B
解析：设为坐标原点，由，，，知且为锐角三角形，因此，费马点M在线段OC上，设，如图，
则为顶角是120°的等腰三角形，故，所以，则的最小值为.故选：B.
4、答案：B
解析：因为，所以，又因为向量a与b的夹角为60°，，
所以，所以.
5、答案：D
解析：，故选D.
6、答案：B
解析：因为,
所以, 即,
所以点P 是边 上靠近点A 的三等分点,
所以,
因为 的边 与 的边 上的高相等,
所以,
故选：B
7、答案：C
解析：由，可得，又，，所以，故选C.
8、答案：B
解析：设，，则，故选B.
9、答案：D
解析：设，.由已知可得直线的方程为，即，由得.
由根与系数的关系可得，，
，，，，故选D.
10、答案：C
解析：设运动5秒后点P在点处，则，所以.
11、答案：略
解析：
12、答案：11
解析：.
13、答案：0
解析：因为，所以，
因此.
故答案为：0
14、答案：
解析：由 得 ，两边平方并利用单位向量的长度可求得结果.
因为 为单位向量，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，得.
故答案为:
15、答案：
解析：用表示水流速度，表示与水流垂直的方向的速度，则表示船实际航行速度..
16、答案： (1) (2)
解析：(1) , ∴点C在上, 则.
(2)
则
原式＝
17、答案：（1）（2）
解析： （1）当E为中点时，设，则由余弦定理得
，解得
此时
由余弦定理得
（2）由得
所以
所以，当最小即时上式最大
此时，所以的最大值为
18、答案：(1)分别为
(2)
解析：(1)由题设知，则.
所以.
故所求的两条对角线的长分别为.
(2)由题设知，，
由，得，
从而，所以.
