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高中数学第八章 向量的数量积与三角恒等变换本章综合与测试优秀精练
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这是一份高中数学第八章 向量的数量积与三角恒等变换本章综合与测试优秀精练，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为( )
A．－eq \f(3,2) B．eq \f(3,2) C．2 D．6
D [a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]
2.设向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α，\f(1,2)))，若a的模长为eq \f(\r(2),2) ，则cs 2α等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,4)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
A [∵|a|＝eq \r(cs2α＋\f(1,4))＝eq \f(\r(2),2)，∴cs2α＝eq \f(1,4).∴cs 2α＝2cs2α－1＝－eq \f(1,2).]
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A．eq \r(3)B．2eq \r(3)
C．4D．12
B [∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cs 60°＋4×12＝12.
∴|a＋2b|＝2eq \r(3).]
4．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2) C．－1 D．1
D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°
＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°
＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.]
5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( )
A．6B．5
C．4D．3
C [∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(6,3)，∵(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30，
∴x＝4.]
6．要得到函数y＝sin x的图像，只需将函数y＝csx－eq \f(π,3)的图像( )
A．向右平移eq \f(π,6) 个单位B．向右平移eq \f(π,3) 个单位
C．向左平移eq \f(π,3) 个单位D．向左平移eq \f(π,6) 个单位
A [y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，向右平移eq \f(π,6)个单位即得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)＋\f(π,6)))＝sin x，故选A．]
7．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cs B)，则p与q的夹角是( )
A．锐角B．钝角
C．直角D．不确定
A [∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B>eq \f(π,2).∴eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0.
∵函数y＝sin x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))是递增函数，∴sin A>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B)).即sin A>cs B．
∴p·q＝sin A－cs B>0，∴p与q所成的角是锐角．]
8．若向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan15°，\f(1,cs 75°)))，b＝(1，sin 75°)，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
C [由向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan15°，\f(1,cs 75°)))，b＝(1，sin 75°)，
所以a·b＝tan 15°＋eq \f(sin 75°,cs 75°)＝eq \f(sin 15°,cs 15°)＋eq \f(cs 15°,sin 15°)＝eq \f(sin215°＋cs215°,sin 15°cs 15°)＝eq \f(2,sin 30°)＝4，故选C．]
9．若将函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4) ))(ω>0)的图像向右平移eq \f(π,6) 个单位长度后，与函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的图像重合，则ω的最小值为( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,2)
D [由题意知taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))，即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)－\f(πω,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6))).
∴eq \f(π,4)－eq \f(π,6)ω＝kπ＋eq \f(π,6)，得ω＝－6k＋eq \f(1,2)，则ωmin＝eq \f(1,2)(ω>0)．]
10．设函数f(x)＝asin xcs x－2sin2x，若直线x＝eq \f(π,6)是f(x)图像的一条对称轴，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为1
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为2
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为1
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为2
A [f(x)＝asin xcs x－2sin2x＝eq \f(a,2)sin 2x＋cs 2x－1＝eq \r(,\f(a2,4)＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 2x\f(\f(a,2),\r(,\f(a2,4)＋1))＋cs 2x\f(1,\r(,\f(a2,4)＋1))))－1，
令cs θ＝eq \f(\f(a,2),\r(,\f(a2,4)＋1))，sin θ＝eq \f(1,\r(,\f(a2,4)＋1))，则tan θ＝eq \f(2,a)，其中θ是参数，则f(x)＝eq \r(,\f(a2,4)＋1)sin(2x＋θ)－1，
则函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，∵直线x＝eq \f(π,6)是f(x)图像的一条对称轴，
∴2×eq \f(π,6)＋θ＝kπ＋eq \f(π,2)，即θ＝kπ＋eq \f(π,6)，则tan θ
＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)))＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(,3),3)，
即eq \f(\r(,3),3)＝eq \f(2,a)，得a＝2eq \r(,3)，则函数f(x)的最大值为eq \r(,\f(a2,4)＋1)－1＝eq \r(,3＋1)－1＝eq \r(,4)－1＝2－1＝1，故选A．]
11.已知3cs 2α－4sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且α、β都是锐角，则α＋2β＝( )
A．eq \f(π,2) B．π
C．eq \f(π,6) D．eq \f(π,4)
A [由3cs 2α－4sin2β＝1得3cs 2α＋2cs 2β＝3，①
由3sin 2α－2sin 2β＝0得9sin22α－4sin22β＝0，得9cs22α－4cs22β＝5，得(3cs 2α－2cs 2β)(3cs 2α＋2cs 2β)＝5，得3cs 2α－2cs 2β＝eq \f(5,3)，②
①②联立解得cs 2α＝eq \f(7,9)，cs 2β＝eq \f(1,3)，
∵α，β为锐角，∴sin α＝eq \f(1,3)，cs α＝eq \f(2\r(,2),3)，sin 2β＝eq \f(2\r(,2),3)，
∴cs(α＋2β)＝cs αcs 2β－sin αsin 2β＝eq \f(2\r(,2),3)×eq \f(1,3)－eq \f(1,3)×eq \f(2\r(,2),3)＝0，
∵α＋2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,2)))，∴α＋2β＝eq \f(π,2).故选A．]
12.已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)和g(x)＝2cs(2x＋φ)＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))图像的对称轴完全相同；若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则y＝g(x)的值域是( )
A．[－1,2] B．[－1,3]
C．[0,2] D．[0.3]
A [∵函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)和g(x)＝2cs(2x＋φ)＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))图像的对称轴完全相同，
∴ω＝2，
∴函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
则2x－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，即x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，k∈Z，
由g(x)＝2cs(2x＋φ)＋1，则2x＋φ＝kπ，
即x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(φ,2)，k∈Z.
∵|φ|＜eq \f(π,2)，∴－eq \f(φ,2)＋eq \f(π,2)＝eq \f(π,3)，∴φ＝eq \f(π,3)，
∴g(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1，
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
∴g(x)∈[－1,2]，故选A．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13.若2sin(π＋x)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝1，则cs 2x＝________.
eq \f(7,9) [∵2sin(π＋x)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝1，∴－2sin x－sin x＝1，∴sin x＝－eq \f(1,3)，
∴cs 2x＝1－2sin2x＝eq \f(7,9).]
14．已知非零向量π，n满足4|π|＝3|n|，若n⊥(－4π＋n)，则π，n夹角的余弦值为________
eq \f(1,3) [∵非零向量π，n满足4|π|＝3|n|，
若n⊥(－4π＋n)，
∴|π|＝eq \f(3,4)|n|，且n·(－4π＋n)＝n2－4π·n＝0，
即π·n＝eq \f(n2,4).
设π，n夹角为θ，则cs θ＝eq \f(π·n,|π|·|n|)＝eq \f(\f(1,4)n2,\f(3,4)|n|·|n|)＝eq \f(1,3).]
15．已知向量a＝(cs θ，sin θ)，向量b＝(1，－2eq \r(,2))，则|3a－b|的最大值是________．
6 [向量3a＝(3cs θ，3sin θ)，其终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，
|b|＝eq \r(,12＋－2\r(,2)2)＝3，其终点也在此圆上，当3a与b反向时，|3a－b|为最大，最大值为3|a|＋|b|＝3＋3＝6.
如图所示：
]
16．已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))，函数f(x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \r(,3)sin2x＋eq \f(π,2)＋3m，若f(x)＜2恒成立，则m的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) [f(x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \r(,3)sin2x＋eq \f(π,2)＋3m＝1－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)\r(,)－2x))＋eq \r(,3)cs 2x＋3m
＝3m＋1－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
∵eq \f(π,4)≤x≤eq \f(2π,3)，∴eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,3)≤π，则3m－1≤f(x)≤3m＋1，
∵f(x)＜2恒成立，∴3m＋1＜2，解得m＜eq \f(1,3).∴m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))).]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(sin x,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，cs x))其中x∈(0，π)．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)若tan x＝－2，求|a＋b|的值．
[解](1)∵a∥b，∴sin xcs x＝eq \f(1,2)，即sin 2x＝1.
∵x∈(0，π)，∴x＝eq \f(π,4).
(2)∵tan x＝eq \f(sin x,cs x)＝－2，∴sin x＝－2cs x.
∵a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,2)，1＋cs x))，
∴|a＋b|＝eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋1＋cs x2)
＝eq \r(,\f(9,4)＋sin x＋2cs x)＝eq \f(3,2).
18．(本小题满分12分)已知向量a＝(2cs α，2sin α)，b＝(cs α－sin α，cs α＋sin α)．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)若(λb－a)⊥a，求实数λ的值．
[解](1)|a|＝2，|b|＝eq \r(,2)，a·b＝2cs2α－2sin αcs α＋2sin αcs α＋2sin2α＝2；
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\r(,2),2)；又0≤〈a，b〉≤π；∴a与b的夹角为eq \f(π,4).
(2)∵(λb－a)⊥a；∴(λb－a)·a＝λa·b－a2＝2λ－4＝0，∴λ＝2.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cs x(eq \r(3)sin x－cs x)＋eq \f(1,2).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))的值；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，不等式c
[解](1)f(x)＝eq \r(3)sin xcs x－cs 2x＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1.
(2)因为0≤x≤eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6).
所以－eq \f(1,2)≤sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1.
由不等式c1)) ，
解得 －1
所以实数c的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))).
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞ ，＋∞)，0<φ<π)在x＝eq \f(π,12) 时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3) α＋\f(π,12) ))＝eq \f(12,5) ，求sin α.
[解](1)∵f(x)＝Asin(3x＋φ)，∴T＝eq \f(2π,3)，即f(x)的最小正周期为eq \f(2π,3).
(2)∵当x＝eq \f(π,12)时，f(x)有最大值4，∴A＝4.
∴4＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(π,12)＋φ))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋φ))＝1.
即eq \f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，得φ＝2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．
∵0<φ<π，∴φ＝eq \f(π,4).∴f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4))).
(3)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＝4sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＋\f(π,4)))
＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝4cs 2α.
由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＝eq \f(12,5)，得4cs 2α＝eq \f(12,5)，∴cs 2α＝eq \f(3,5)，
∴sin2α＝eq \f(1,2)(1－cs 2α)＝eq \f(1,5)，∴sin α＝±eq \f(\r(5),5).
21.(本小题满分12分)已知向量a＝(eq \r(,3)sin x,1)，b＝(cs x，－1)．
(1)若a∥b，求tan 2x的值；
(2)若f(x)＝(a＋b)·b，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求函数f(x)的最大值．
[解](1)∵向量a＝(eq \r(,3)sin x,1)，b＝(cs x，－1)．
又a∥b，∴1×cs x＝－1×(eq \r(,3)sin x)，∴tan x＝－eq \f(\r(,3),3)，∴tan 2x＝eq \f(2tan x,1－tan2x)＝－eq \r(,3).
(2)∵f(x)＝(a＋b)·b，∴f(x)＝eq \r(,3)sin xcs x＋cs2x＝eq \f(\r(,3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，函数取最大值为eq \f(3,2)，
故函数的周期为π，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时的最大值为eq \f(3,2).
22.(本小题满分12分)如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ)．
(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；
(2)当θ为何值时，投资费用最低？并求出f(θ)的最小值．
[解](1)连结OM(图略)．在Rt△OPN中，OP＝2，∠POA＝∠PON＝θ，
故NP＝2tan θ.据平面几何知识可知，MB＝MP，∠BOM＝eq \f(1,2)∠BOP＝eq \f(π,4)－eq \f(θ,2)，
在Rt△BOM中，OB＝2，∠BOM＝eq \f(π,4)－eq \f(θ,2)，故BM＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(θ,2))).
所以f(θ)＝NP＋2BM＝2tan θ＋4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(θ,2))).
显然θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以函数f(θ)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(2)令α＝eq \f(π,4)－eq \f(θ,2)，则θ＝eq \f(π,2)－2α，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
所以f(θ)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＋4tan α＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)))＋4tan α
＝eq \f(2cs 2α,sin 2α)＋4tan α＝eq \f(2,tan 2α)＋4tan α＝eq \f(1－tan2α,tan α)＋4tan α＝eq \f(1,tan α)＋3tan α≥2eq \r(,3)，
当且仅当eq \f(1,tan α)＝3tan α，即tan α＝eq \f(\r(,3),3)等号成立．故θ＝eq \f(π,6)时，投资最低f(θ)＝2eq \r(,3).
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为( )
A．－eq \f(3,2) B．eq \f(3,2) C．2 D．6
D [a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]
2.设向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α，\f(1,2)))，若a的模长为eq \f(\r(2),2) ，则cs 2α等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,4)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
A [∵|a|＝eq \r(cs2α＋\f(1,4))＝eq \f(\r(2),2)，∴cs2α＝eq \f(1,4).∴cs 2α＝2cs2α－1＝－eq \f(1,2).]
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A．eq \r(3)B．2eq \r(3)
C．4D．12
B [∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cs 60°＋4×12＝12.
∴|a＋2b|＝2eq \r(3).]
4．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2) C．－1 D．1
D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°
＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°
＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.]
5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( )
A．6B．5
C．4D．3
C [∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(6,3)，∵(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30，
∴x＝4.]
6．要得到函数y＝sin x的图像，只需将函数y＝csx－eq \f(π,3)的图像( )
A．向右平移eq \f(π,6) 个单位B．向右平移eq \f(π,3) 个单位
C．向左平移eq \f(π,3) 个单位D．向左平移eq \f(π,6) 个单位
A [y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，向右平移eq \f(π,6)个单位即得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)＋\f(π,6)))＝sin x，故选A．]
7．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cs B)，则p与q的夹角是( )
A．锐角B．钝角
C．直角D．不确定
A [∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B>eq \f(π,2).∴eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0.
∵函数y＝sin x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))是递增函数，∴sin A>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B)).即sin A>cs B．
∴p·q＝sin A－cs B>0，∴p与q所成的角是锐角．]
8．若向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan15°，\f(1,cs 75°)))，b＝(1，sin 75°)，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
C [由向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan15°，\f(1,cs 75°)))，b＝(1，sin 75°)，
所以a·b＝tan 15°＋eq \f(sin 75°,cs 75°)＝eq \f(sin 15°,cs 15°)＋eq \f(cs 15°,sin 15°)＝eq \f(sin215°＋cs215°,sin 15°cs 15°)＝eq \f(2,sin 30°)＝4，故选C．]
9．若将函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4) ))(ω>0)的图像向右平移eq \f(π,6) 个单位长度后，与函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的图像重合，则ω的最小值为( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,2)
D [由题意知taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))，即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)－\f(πω,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6))).
∴eq \f(π,4)－eq \f(π,6)ω＝kπ＋eq \f(π,6)，得ω＝－6k＋eq \f(1,2)，则ωmin＝eq \f(1,2)(ω>0)．]
10．设函数f(x)＝asin xcs x－2sin2x，若直线x＝eq \f(π,6)是f(x)图像的一条对称轴，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为1
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为2
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为1
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为2
A [f(x)＝asin xcs x－2sin2x＝eq \f(a,2)sin 2x＋cs 2x－1＝eq \r(,\f(a2,4)＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 2x\f(\f(a,2),\r(,\f(a2,4)＋1))＋cs 2x\f(1,\r(,\f(a2,4)＋1))))－1，
令cs θ＝eq \f(\f(a,2),\r(,\f(a2,4)＋1))，sin θ＝eq \f(1,\r(,\f(a2,4)＋1))，则tan θ＝eq \f(2,a)，其中θ是参数，则f(x)＝eq \r(,\f(a2,4)＋1)sin(2x＋θ)－1，
则函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，∵直线x＝eq \f(π,6)是f(x)图像的一条对称轴，
∴2×eq \f(π,6)＋θ＝kπ＋eq \f(π,2)，即θ＝kπ＋eq \f(π,6)，则tan θ
＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)))＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(,3),3)，
即eq \f(\r(,3),3)＝eq \f(2,a)，得a＝2eq \r(,3)，则函数f(x)的最大值为eq \r(,\f(a2,4)＋1)－1＝eq \r(,3＋1)－1＝eq \r(,4)－1＝2－1＝1，故选A．]
11.已知3cs 2α－4sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且α、β都是锐角，则α＋2β＝( )
A．eq \f(π,2) B．π
C．eq \f(π,6) D．eq \f(π,4)
A [由3cs 2α－4sin2β＝1得3cs 2α＋2cs 2β＝3，①
由3sin 2α－2sin 2β＝0得9sin22α－4sin22β＝0，得9cs22α－4cs22β＝5，得(3cs 2α－2cs 2β)(3cs 2α＋2cs 2β)＝5，得3cs 2α－2cs 2β＝eq \f(5,3)，②
①②联立解得cs 2α＝eq \f(7,9)，cs 2β＝eq \f(1,3)，
∵α，β为锐角，∴sin α＝eq \f(1,3)，cs α＝eq \f(2\r(,2),3)，sin 2β＝eq \f(2\r(,2),3)，
∴cs(α＋2β)＝cs αcs 2β－sin αsin 2β＝eq \f(2\r(,2),3)×eq \f(1,3)－eq \f(1,3)×eq \f(2\r(,2),3)＝0，
∵α＋2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,2)))，∴α＋2β＝eq \f(π,2).故选A．]
12.已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)和g(x)＝2cs(2x＋φ)＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))图像的对称轴完全相同；若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则y＝g(x)的值域是( )
A．[－1,2] B．[－1,3]
C．[0,2] D．[0.3]
A [∵函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)和g(x)＝2cs(2x＋φ)＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))图像的对称轴完全相同，
∴ω＝2，
∴函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
则2x－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，即x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，k∈Z，
由g(x)＝2cs(2x＋φ)＋1，则2x＋φ＝kπ，
即x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(φ,2)，k∈Z.
∵|φ|＜eq \f(π,2)，∴－eq \f(φ,2)＋eq \f(π,2)＝eq \f(π,3)，∴φ＝eq \f(π,3)，
∴g(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1，
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
∴g(x)∈[－1,2]，故选A．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13.若2sin(π＋x)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝1，则cs 2x＝________.
eq \f(7,9) [∵2sin(π＋x)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝1，∴－2sin x－sin x＝1，∴sin x＝－eq \f(1,3)，
∴cs 2x＝1－2sin2x＝eq \f(7,9).]
14．已知非零向量π，n满足4|π|＝3|n|，若n⊥(－4π＋n)，则π，n夹角的余弦值为________
eq \f(1,3) [∵非零向量π，n满足4|π|＝3|n|，
若n⊥(－4π＋n)，
∴|π|＝eq \f(3,4)|n|，且n·(－4π＋n)＝n2－4π·n＝0，
即π·n＝eq \f(n2,4).
设π，n夹角为θ，则cs θ＝eq \f(π·n,|π|·|n|)＝eq \f(\f(1,4)n2,\f(3,4)|n|·|n|)＝eq \f(1,3).]
15．已知向量a＝(cs θ，sin θ)，向量b＝(1，－2eq \r(,2))，则|3a－b|的最大值是________．
6 [向量3a＝(3cs θ，3sin θ)，其终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，
|b|＝eq \r(,12＋－2\r(,2)2)＝3，其终点也在此圆上，当3a与b反向时，|3a－b|为最大，最大值为3|a|＋|b|＝3＋3＝6.
如图所示：
]
16．已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))，函数f(x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \r(,3)sin2x＋eq \f(π,2)＋3m，若f(x)＜2恒成立，则m的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) [f(x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \r(,3)sin2x＋eq \f(π,2)＋3m＝1－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)\r(,)－2x))＋eq \r(,3)cs 2x＋3m
＝3m＋1－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
∵eq \f(π,4)≤x≤eq \f(2π,3)，∴eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,3)≤π，则3m－1≤f(x)≤3m＋1，
∵f(x)＜2恒成立，∴3m＋1＜2，解得m＜eq \f(1,3).∴m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))).]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(sin x,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，cs x))其中x∈(0，π)．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)若tan x＝－2，求|a＋b|的值．
[解](1)∵a∥b，∴sin xcs x＝eq \f(1,2)，即sin 2x＝1.
∵x∈(0，π)，∴x＝eq \f(π,4).
(2)∵tan x＝eq \f(sin x,cs x)＝－2，∴sin x＝－2cs x.
∵a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,2)，1＋cs x))，
∴|a＋b|＝eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋1＋cs x2)
＝eq \r(,\f(9,4)＋sin x＋2cs x)＝eq \f(3,2).
18．(本小题满分12分)已知向量a＝(2cs α，2sin α)，b＝(cs α－sin α，cs α＋sin α)．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)若(λb－a)⊥a，求实数λ的值．
[解](1)|a|＝2，|b|＝eq \r(,2)，a·b＝2cs2α－2sin αcs α＋2sin αcs α＋2sin2α＝2；
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\r(,2),2)；又0≤〈a，b〉≤π；∴a与b的夹角为eq \f(π,4).
(2)∵(λb－a)⊥a；∴(λb－a)·a＝λa·b－a2＝2λ－4＝0，∴λ＝2.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cs x(eq \r(3)sin x－cs x)＋eq \f(1,2).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))的值；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，不等式c
[解](1)f(x)＝eq \r(3)sin xcs x－cs 2x＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1.
(2)因为0≤x≤eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6).
所以－eq \f(1,2)≤sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1.
由不等式c
解得 －1
所以实数c的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))).
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞ ，＋∞)，0<φ<π)在x＝eq \f(π,12) 时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3) α＋\f(π,12) ))＝eq \f(12,5) ，求sin α.
[解](1)∵f(x)＝Asin(3x＋φ)，∴T＝eq \f(2π,3)，即f(x)的最小正周期为eq \f(2π,3).
(2)∵当x＝eq \f(π,12)时，f(x)有最大值4，∴A＝4.
∴4＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(π,12)＋φ))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋φ))＝1.
即eq \f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，得φ＝2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．
∵0<φ<π，∴φ＝eq \f(π,4).∴f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4))).
(3)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＝4sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＋\f(π,4)))
＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝4cs 2α.
由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＝eq \f(12,5)，得4cs 2α＝eq \f(12,5)，∴cs 2α＝eq \f(3,5)，
∴sin2α＝eq \f(1,2)(1－cs 2α)＝eq \f(1,5)，∴sin α＝±eq \f(\r(5),5).
21.(本小题满分12分)已知向量a＝(eq \r(,3)sin x,1)，b＝(cs x，－1)．
(1)若a∥b，求tan 2x的值；
(2)若f(x)＝(a＋b)·b，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求函数f(x)的最大值．
[解](1)∵向量a＝(eq \r(,3)sin x,1)，b＝(cs x，－1)．
又a∥b，∴1×cs x＝－1×(eq \r(,3)sin x)，∴tan x＝－eq \f(\r(,3),3)，∴tan 2x＝eq \f(2tan x,1－tan2x)＝－eq \r(,3).
(2)∵f(x)＝(a＋b)·b，∴f(x)＝eq \r(,3)sin xcs x＋cs2x＝eq \f(\r(,3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，函数取最大值为eq \f(3,2)，
故函数的周期为π，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时的最大值为eq \f(3,2).
22.(本小题满分12分)如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ)．
(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；
(2)当θ为何值时，投资费用最低？并求出f(θ)的最小值．
[解](1)连结OM(图略)．在Rt△OPN中，OP＝2，∠POA＝∠PON＝θ，
故NP＝2tan θ.据平面几何知识可知，MB＝MP，∠BOM＝eq \f(1,2)∠BOP＝eq \f(π,4)－eq \f(θ,2)，
在Rt△BOM中，OB＝2，∠BOM＝eq \f(π,4)－eq \f(θ,2)，故BM＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(θ,2))).
所以f(θ)＝NP＋2BM＝2tan θ＋4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(θ,2))).
显然θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以函数f(θ)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(2)令α＝eq \f(π,4)－eq \f(θ,2)，则θ＝eq \f(π,2)－2α，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
所以f(θ)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＋4tan α＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)))＋4tan α
＝eq \f(2cs 2α,sin 2α)＋4tan α＝eq \f(2,tan 2α)＋4tan α＝eq \f(1－tan2α,tan α)＋4tan α＝eq \f(1,tan α)＋3tan α≥2eq \r(,3)，
当且仅当eq \f(1,tan α)＝3tan α，即tan α＝eq \f(\r(,3),3)等号成立．故θ＝eq \f(π,6)时，投资最低f(θ)＝2eq \r(,3).
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