2020-2021学年第五章 分式综合与测试单元测试课时训练

浙教版初中数学七年级下册第五章《分式》单元测试卷

考试范围：第五章； 考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知对任意实数，式子都有意义，则实数的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

2. 临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为元．出发时，乙厂有名同乡员工也随车返乡车费自付，总人数达到名．如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少多少元？则根据题意可列代数式为

A.  B.  C.  D.

3. 对于，，，，，，其中分式有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值   

A. 扩大倍 B. 不变 C. 扩大倍 D. 缩小

5. 若把分式中的和都扩大倍，且，那么分式的值

A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 缩小倍

6. 如果分式中的，都扩大到原来的倍，那么分式的值

A. 不变 B. 扩大到原来的倍
C. 扩大到原来的倍 D. 缩小到原来的倍

7. 下列约分：；；；；；其中正确的有   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 设实数，，满足，，则的值为     

A.  B.  C.  D.

9. 曹老师有一包糖果，若分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗；若分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗，则的值可能是

A.  B.  C.  D.

10. 对于下列说法，错误的个数是
    是分式；当时，成立；当时，分式的值是零；；；．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 甲、乙两队学生绿化校园．如果两队合作，天可以完成；如果单独工作，甲队比乙队少用天，两队单独工作各需多少天完成？若设甲队单独工作需天完成，则依题意得到的方程是

A.  B.  C.  D.

12. 施工队要铺设米的管道，因在中考期间需停工天，每天要比原计划多施工米才能按时完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 汛期将至，我军机械化工兵连的官兵为驻地群众办实事，计划加固驻地附近千米的河堤．根据气象部门预测，今年的汛期有可能提前，因此官兵们发扬我军不怕苦，不怕累的优良传统，早出晚归，使实际施工速度提高到计划的倍，结果比计划提前天完成，问该连实际每天加固河堤多少千米？列方程解此应用题时，若计划每天加固河堤千米，则实际每天加固千米，根据题意可列方程为______ ．
14. 若，则______．
15. 已知，，则          ．
16. 若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔整数小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人装卸的时间是第一个人的，则按改变的方式装卸，自始至终共需__________小时．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 已知不论取何值，分式的值总存在，求的取值范围．
18. 已知均不为，且，证明：．
19. 阅读下面的学习材料：
    在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”例如：这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为“带分式”即：整式与真分式的和的形式，
    例如：，．
    参考上面的方法解决下列问题：
    将分式化为带分式；
    当取什么整数值时，分式的值也为整数？
20. 阅读下列解题过程，然后解题：

题目：已知、、互不相等，求的值．

解：设，则，，，

，．

依照上述方法解答下列问题：

已知：，其中，求的值．

21. 给定下面一列分式：，，，，其中，．

从第二个分式开始，用任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律

根据你发现的规律，试写出题中给定的这列分式中的第个分式．

22. 化简式子，并求出当为何值时，该代数式的值为．
23. 南浔区某校组织学生乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有千米，队伍乘大巴车：从学校出发．苏老师因有事情，：从学校自驾小汽车以大巴车倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前分钟到达基地．问：

设大巴车的平均速度是，利用速度、时间和路程之间的关系填写下表．要求：填上适当的代数式，完成表格温馨提示：请填写在答题卷相对应的表格内

列出方程，并求出大巴车与小汽车的平均速度．

当苏老师追上大巴车时，大巴车离基地还有多远？

一项工程甲队单独完成所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由乙队先做天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天可以完成．
求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为万元，拟安排甲、乙两队同时合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查了分式有意义的条件，熟记分式有意义 分母不为零，并利用配方法对分母进行整理是解题的关键．先把分母配方，然后根据分母不等于 结合平方数非负数解答即可．
【解答】
解： ，
，对任意实数式子都有意义，
，解得 ．
故选 A ．

2.【答案】

【解析】解：由题意可得：
．
故选D．
关键描述语是：原有的员工每人分担的车费实际每人分担的车费，进而得出答案．
此题主要考查了列代数式，正确表示出平均每人分担的车费数是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，，，是分式，共个；
故选：．
根据分式的定义即可求出答案．
本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小 倍，只要将原数乘以或除以 ，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．
把分式中的分子，分母中的 ， 都同时变成原来的 倍，就是用 ， 分别代替式子中的 ， ，看得到的式子与原式子的关系．
【解答】
解：把分式 中的 和 都扩大 倍，
即 ，
所以分式 的值扩大 倍，   
故选 A ．   

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了分式的基本性质，把原式中的 、 分别换成 、 进行计算，再与原分式比较即可．
【解答】
解：把原式中的 、 分别换成 、 ，那么
，
则把分式 中的 和 都扩大 倍，且 ，那么分式的值缩小 倍．
故选 C ．   

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了分式的基本性质，解决这类题目的关键是正确的代入，并根据分式的性质进行分式的化简．
把分式中的分子，分母中的 ， 都同时变成原来的 倍，就是用 ， 分别代替式子中的 ， ，看得到的式子与原式子的关系即可解答．
【解答】
解：因为 ，所以分式的值变为原来的 ．
故选： ．   

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查的是约分，熟知约分是约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，据此解答即可．

【解答】

解：，正确；

，分子分母没有公因式不能约分，故此项错误；

分子分母没有公因式不能约分，故此项错误；

，正确；

，正确；

，正确．

正确的有个，

故选C．

8.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．由 ，得到 ， ， ，代入原式利用平方差公式化简，约分后将 代入计算即可求出值．
【解答】
解：由 ，得到 ， ， ，且 ，
代入得：原式 ，
故选： ．   

9.【答案】

【解析】解：根据分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗可得共有颗糖，
根据分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗，可得共有颗糖，
，
，
，为正整数，
或，
当时，
，
当时，，没有这个选项，舍弃．
故选：．
根据分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗可得共有颗糖，根据分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗，可得共有颗糖，根据糖果数量相等列出等式即可解答．
本题考查了列代数式的应用，关键是能根据题意表示出糖果的数量．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了分式的混合运算有关知识， 不是分式，本选项错误； 当 时，原式成立，本选项正确； 当 时，分式 没有意义，错误； 原式先计算除法运算，再计算乘法运算得到结果，即可做出判断； 原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断； 原式先计算乘法运算，相减得到结果，即可做出判断．
【解答】
解： 不是分式，本选项错误；
当 时， ，本选项正确；
当 时，分式 分母为 ，没有意义，错误；
，本选项错误；
，本选项错误；
，本选项错误，
则错误的选项有 个．
故选 B ．   

11.【答案】

【解析】

【分析】
要求的未知量是工作效率，有工作时间，一定是根据工作总量来列等量关系的．关键描述语是：“两队合作 天可以完工”；等量关系为：甲每天的工作量 乙每天的工作量 ．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
【解答】

解：设甲队单独工作需 天完成，则依题意得到的方程是：
．
故选： ．

12.【答案】

【解析】解：设原计划每天施工米，则实际每天施工米，
根据题意，可列方程：，
故选：．
设原计划每天施工米，则实际每天施工米，根据：原计划所用时间实际所用时间，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
 

13.【答案】

【解析】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：所列方程为：．
要求的未知量是工作效率，有工作总量，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“比计划提前天完成”；等量关系为：原计划用的时间实际用的时间．
题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：由得




．
故答案为．
由得．
本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的混合运算法则是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了解三元一次方程组和求代数式的值的应用，解此题的关键是把 作为已知数，求出 、 的值．再代入通过约分即可求出答案．
【解答】
解：解：
得： ，
解得： ，
把 代入 得：
解得： ，
原式 ；
故答案为 ．   

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题需要正确理解题目中各个量之间的关系，正确列出相等关系是解题的关键．根据第一个人与最后一个人的工作时间的平均值就是所有工人的工作时间的平均值，即可列方程求得工作时间．然后设共有 人参加装卸工作，根据最后参加的一个人装卸的时间是第一个人的 ，即可列方程求解．
【解答】
解：设装卸工作需 小时完成，则第一人干了 小时，最后一个人干了 小时，两人共干活 小时，平均每人干活 小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人， ，
平均每人干活的时间也是 小时，
根据题设，得 ，
解得 小时 ；
设共有 人参加装卸工作，由于每隔 小时增加一人，因此最后一人比第一人少干 小时，按题意，
得 ，
即 ，
，
解此不定方程得 ， ， ， ， ， ，
即参加的人数 或 或 或 或 或 ．
故答案为 ．   

17.【答案】解：．

若使分式的值总存在，则有

，

．

【解析】见答案
 

18.【答案】证明：令
则
故
同理得：
则
所以，

【解析】本题考查分式的值，整体思想，令
则是关键
通过中介“”将题干中的字母进行转化，最终得出复杂式子间的关系；进而告诉我们，当题目中的式子比较复杂时，需要注意观察式子的特征，选择合适的方法进行转化求值即可解答．
 

19.【答案】解：，；
，
当，，，，即，，，时，分式的值也为整数．

【解析】两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：设，
则
得．
，
，
原式．

【解析】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“”法．根据提示，先设比值为，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出的值是，然后把代入所求代数式求解即可．
 

21.【答案】解：


观察上述任意一个分式除以前面一个分式所得的结果，容易发现：从第二个分式开始，用任意一个分式除以前面一个分式，它的值都等于．
第个分式为，则第个分式即为．

【解析】见答案
 

22.【答案】解：原式


令，
解得：
经检验，是方程的根
当时，该代数式的值为

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

23.【答案】解：

设大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时，
根据题意，得： ，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时；
设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有公里，
根据题意，得： ，
解得：，
答：苏老师追上大巴车的地点到基地的路程有公里．

【解析】

【分析】
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．
根据路程 速度 时间，即可解答；
根据“大巴车行驶全程所需时间 小车行驶全程所需时间 小车晚出发的时间 小车早到的时间”列分式方程求解可得；
根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间 小车晚出发时间 大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
【解答】
解： 大巴车的平均速度是 ，路程为 ，
大巴车所需时间为 ；
又 小汽车速度是大巴车的 倍，
小巴车速度为 ，
小巴车所需时间为   ．
故答案为 ； ； ；
见答案；
见答案 ．   

24.【答案】解：设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天．
根据题意得：．
解得：．
经检验：是所列方程的根．且符合题意，
天．
答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要天和天．

设甲、乙两队合作完成这项工程需要天．
可得：．
解得：．
需要施工费用：万元．
，万元
工程预算的施工费用不够用．需追加预算万元．

【解析】设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天，工程任务是，工作效率分别是：，；工作量时间工作效率，等量关系为：前天乙的工作量后天甲乙合作工作量，即甲天工作量乙天工作量，据此可列方程求解．
在的基础上，求得甲乙单独完成这项需要的天数，得到甲乙的工作效率，用甲的工作效率乙的工作效率合作天数，得出合作天数，再进一步计算出总费用，回答题目的问题．
本题考查了分式方程的应用，通过第一问可以得出甲、乙两队单独完成这项工程各需要天数，也就知道了甲乙的工作效率，在第二问中甲乙工作效率是没有变的，要充分运用这个结论．找到合适的等量关系是解决问题的关键．