2022高考圆锥曲线的四心、光学性质、离心率、最值范围问题专题突破

专题6 圆锥曲线离心率及范围问题

离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．

关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：利用圆锥曲线的定义解决；利用题中的几何关系来解决问题。

另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．

一、圆锥曲线的离心率

方法1：利用定义法求离心率

知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。

方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！

例1.（2015年浙江15题）椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是         ．

例2.（2020成都市高三模拟）. 已知点P是双曲线 左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为

A                B         C              D  

例3. （2018年新课标Ⅱ卷11题）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ）

A． B． C． D．

方法2：利用几何关系求离心率：

知识储备：初高中平面几何的全部知识都可以涉及。

例1、（2019年新课标II文12）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A．     B．               C．2     D．

例2、(2018年新课标Ⅱ12题)已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A.    B．    C．       D．

例3. （2020年湖南永州市高三三模11题）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点（异于，），与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

例4.已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

方法3：定义法+几何关系结合

例1．（2020年衡水中学高三模拟16题）设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为__________．

例2、（2019绵阳南山中学模拟）已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（   ）

A. B. C. D.

例3、（2019年长郡中学高三模拟12题）已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为，若. 则该双曲线的离心率为（   ）

A. 2     B. 3     C.     D.

二、圆锥曲线离心率的取值范围

方法1：利用三角形三边关系建立不等式。

例1、（2018年衡水金卷16题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．

例2、已知椭圆：的左、右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（   ）.

A.              B.                C.              D.

方法2：利用判别式建立不等式

例3、(2020广东佛山市高三上期检测)已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于，两点，使，则双曲线离心率的取值范围是     ．

方法3：利用角度的余弦值或数量级建立不等式

例4、（2020年长沙市雅礼中学高三模拟11题）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ）

A．    B．   C．   D．

例5、已知为坐标原点，双曲线的右焦点，以为圆心，为半径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点、，若，则双曲线的离心率的取值范围为（    ）

A.          B.           C.        D.

方法4：利用点与圆锥曲线的位置关系建立不等式

例6、（2019年成都市树德中学高三模拟11题）已知分别是双曲线的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（    ）

A．(1, 2)         B．(2, +∞)          C．         D．

例7、（2020年绵阳市三台中学二诊模拟）椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（　　　）

A．　　　B．　　　C．　　　D．

方法5：利用已知的角度关系建立不等式

例8、已知椭圆的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若，则C的离心率的取值范围为______________．

例9、设，是椭圆上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（   ）.

（A）          (B)            (C)           (D)

方法6：利用已知长度（面积）关系建立不等式

例10、已知直线过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆截得的弦长为，若，则椭圆离心率的取值范围是（   ）

A．             B．             C．              D．

玩转练习

1、（2019年成都市石室中学高三模拟 11题）如图，双曲线的左、右焦点分别为，过作线段与交于点，且为的中点．若等腰△的底边的长等于的半焦距，则的离心率为

A.         B.          C.           D.

2、（2019年河北衡水中学高三模拟12题）已知椭圆的左焦点为轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）

A．         B．       C.         D．

3．（2019年成外半期11题）已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为（     ）

A．      B．      C．2       D．

4、如图，在中，，、边上的高分别为、，若以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的值为          ．

5、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率为2的直线交椭圆于，两点，若为直角三角形且，则椭圆的离心率为（   ）.

A.        B.         C.         D.

6、以双曲线的两焦点为直径作圆，且该圆在轴上方交双曲线于，两点；再以线段为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为      .

7、（2015年浙江理）如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是   （　　）

A．      B．         C．       D．

8.（绵阳一诊11题）已知为双曲线的右支上一点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，线段的垂直平分线过点，，则的离心率为（     ）

A．6      B．4      C．3      D．2

9、(2017年新课标Ⅰ16题)已知双曲线：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线的一条渐近线交于M、N两点。若，则的离心率为________．

10.（2019年衡水中学高三下期中11题）已知是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（   ）.

（A）           （B）         （C）          （D）2

11.（2020年湖南长郡中学高三月考11题）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别是的左、右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与 轴交于点.若直线经过的三等分点（靠近点），则的离心率为（   ）.

（A）            （B）               （C）                （D）

12、（2020年江苏省启东中学校考）设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点,使得的内切圆半径为,圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为_______

13、已知双曲线与椭圆：具有相同的焦点，则两条曲线相交于四个交点形成四边形面积最大时双曲线的离心率为__________．

14、已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的值为（    ）

A．1 B． C．4 D．16

15. 设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（   ）.

 A．   B.    C.    D.

16.过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．

17.已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，，则双曲线的离心率为（    ）.

A．             B．            C．              D．

18．已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为

A.   B.   C.   D.    

19．（2019年河南联考12题）已知双曲线:的左右焦点分别为，.双曲线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A．         B．         C．          D．

20．(2020届绵阳南山中学高三月考)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

21．（2020届河南天一大联考11题）过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐进线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（　　　）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

22．已知双曲线的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得，则E的离心率的取值范围是（　　）

A．（1，2） B．（1，] C． D．（2，+∞）

23．已知双曲线C的两个顶点分别为A1，A2，若C的渐近线上存在点P，使得，则C的离心率的取值范围是（　　）

A．（1，3] B．[3，+∞） C．（1，2] D．[2，+∞）

24．已知双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(     )

(A)(1，3]      (B)[3，＋∞)        (C)(0，3)        (D)(0，3]