专题04 圆锥曲线中的最值（范围）问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题4 圆锥曲线中的最值（范围）问题  

解析几何中的最值（范围）问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的进行命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关最值问题.从高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力.

圆锥曲线中的最值（范围）问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法（在选填题部分已重点讲解），即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、均值不等式方法等进行求解.而解答题部分主要使用代数法。  

题型1 线段（距离）类的最值（范围）问题

1．（2021·四川成都市·高三三模）已知椭圆的长轴长为，其离心率为．

（1）求椭圆的方程；（2）若A、B是椭圆上两点，且，求线段中点到原点的最大距离．

2．（2021·浙江高三期末）如图，已知抛物线在点处的切线与椭圆相交，过点作的垂线交抛物线于另一点，直线（为直角坐标原点）与相交于点，记、，且．（1）求的最小值；（2）求的取值范围．

3．（2021·全国高三专题练习（理））设为坐标原点，是轴上一点，过点的直线交抛物线：于点，，且．（1）求点的坐标；（2）求的最大值．

4．（2021·山西临汾市·高三二模（理））已知点在椭圆上，且点Q到C的两焦点的距离之和为．（1）求C的方程；（2）设圆上任意一点P处的切线l交C于点M，N，求的最小值．

题型2面积类的最值（范围）问题

1、（2021江西南昌高三模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，直线：与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．

2．（2021·浙江高三模拟）已知：抛物线，曲线，过上一点作的两条切线，切点分别为．（1）若，求两条切线的方程；（2）求面积的取值范围．

3．（2021·浙江高三其他模拟）如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，，，线段（为坐标原点）交椭圆于点，在线段上（不包括端点），连接并延长，交椭圆于另一点，连接并延长，交椭圆于另一点，连接，．记，分别为和的面积．

（1）求的值；（2）求的最大值．

4．（2021·全国高三其他模拟）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，点到直线的距离为，椭圆过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线过点，且与轴垂直，，为直线上关于轴对称的两点，直线与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面积之差取得最大值时，求直线的方程．

题型3斜率类的最值（范围）问题

1．（2021·成都市高三模拟）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为．已知，其中为原点，为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点．若，且，求直线的斜率的取值范围．

2．（2020·上海高三其他模拟）已知椭圆长轴的两顶点为、，左右焦点分别为、，焦距为且，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3．（1）求椭圆的方程；（2）在双曲线上取点（异于顶点），直线与椭圆交于点，若直线、、、的斜率分别为、、、．试证明：为定值；（3）在椭圆外的抛物线：上取一点，、的斜率分别为、，求的取值范围．

3．（2021·广东茂名市·高三月考）已知点为圆：上一动点，圆心关于轴的对称点为，点､分别是线段，上的点，且，.

（1）求点的轨迹方程；（2）过点且斜率为的直线与点的轨迹交于，两点，点在点的轨迹上，，当时，证明：.

4．（2021·全国高三月考（文））已知椭圆的两个焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点(点位于轴上方)，，的周长分别为，.

（1）求椭圆的方程；（2）若，且，设直线的倾斜角为，求的取值范围.

题型4向量类的最值（范围）问题

1．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知分别是椭圆短轴两端点，离心率为，是椭圆上异于､的任一点，的面积最大值为.（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，为坐标原点，求的取值范围.

2．（2021·安徽高三月考（理））已知椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线轴时，，.（1）求椭圆的方程；（2）设直线，直线与直线､轴､轴分别交于点、、，当点为线段中点时，求的取值范围.

3．（2021·浙江高三其他模拟）如图，椭圆的左顶点为，离心率为，长轴长为4，椭圆和抛物线有相同的焦点，直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．（1）求抛物线的方程；（2）若点，满足，，求的取值范围．

4．（2021·海南海口市·高三模拟）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴正半轴上，过的直线与抛物线交于、两点，且满足.（1）求抛物线的方程；（2）在轴负半轴上一点，使得是锐角，求的取值范围.

题型5坐标类的最值（范围）问题

1．（2021·上海静安区·高三二模）已知椭圆的左焦点为，为坐标原点．

（1）求过点、，并且与抛物线的准线相切的圆的方程；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围．

2．（2021·新疆高三其他模拟（理））已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为6，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）若，为抛物线上的两个动点(异于点)且，求点纵坐标的取值范围.

3．（2021·上海金山区·高三一模）已知点在抛物线上，过点作圆()的两条切线，与抛物线分别交于､两点，切线､与圆分别相切于点､.

（1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标；（2）若点的坐标为，且时，求的值；（3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标，求的取值范围.

4．（2021·全国高三专题练习（理））在平面直角坐标系，已知点(2,1)，动点到直线的距离为，满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过轨迹上的纵坐标为2的点作两条直线，，分别与轨迹交于点，，且点(3,0)到直线，的距离均为()，求线段中点的横坐标的取值范围.

题型6参数类的最值（范围）问题

1．（2021·河南高三一模）已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，(点为坐标原点)的面积为2.（1）求抛物线的方程；（2）若过点的两直线，的倾斜角互补，直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，与的面积相等，求实数的取值范围.

2．（2021·全国高三专题练习已知抛物线的焦点为，且点是抛物线上的动点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于，两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）当直线垂直于直线时，求实数的取值范围．

3．（2021·四川省内江市高三月考）如图所示，已知圆，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，，点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；（2）若过定点的直线交曲线于不同的两点、（点在点、之间），且满足，求的取值范围．

4．（2021·上海高三二模）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于、两个不同的点．

（1）求椭圆的标准方程；（2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；（3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．

课后训练：

1．（2021·全国高三其他模拟）在平面直角坐标系中，的两个顶点，的坐标分别为，，平面内两点，同时满足以下3个条件：①是三条边中线的交点；②是的外心；③．（Ⅰ）求的顶点的轨迹方程；（Ⅱ）若点与（Ⅰ）中轨迹上的点，三点共线，求的取值范围．

2．（2021·湖南高三三模）已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；（2）若，求四边形的面积的最大值．

3.（2021届广西南宁一模）如图，已知抛物线：与圆： （）相交于， ， ，四个点，（1）求的取值范围；（2）设四边形的面积为，当最大时，求直线与直线的交点的坐标.

4.（2020河北邯郸一模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上的一个动点，且的最大值为，的离心率与椭圆的离心率相等.求的方程；直线与交于两点（在轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值.

5．（2020福建宁德一中月考）已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围．

6.（2020河北衡水十三中月考）已知点是圆：上的一动点，点，点在线段上，且满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）设曲线与轴的正半轴，轴的正半轴的交点分别为点，，斜率为的动直线交曲线于、两点，其中点在第一象限，求四边形面积的最大值.

7．（2021届江西赣州高三月考）已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为．（1）求抛物线和双曲线的标准方程；（2）已知直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，，求的最大值．

8.（2021.浙江绍兴诸暨期末）已知椭圆，点为椭圆上的点，长轴，，为椭圆的上，下顶点，直线交椭圆于，（点在点左侧，且与不重合）.（1）求证：直线，的倾斜角互补；（2）记的斜率为，的斜率为，求的取值范围.

10．（2021·全国高三专题练习（文））已知椭圆：()，椭圆短轴的端点.与椭圆的左.右焦点.构成边长为的菱形，是经过椭圆右焦点的椭圆的任意一条弦，点是椭圆上一点，且(为坐标原点).（1）求椭圆的标准方程；（2）求的最小值.

11．（2020·浙江高三其他模拟）已知抛物线的方程为，，为抛物线上两点，且，其中过，分别作抛物线的切线，，设，交于点.（1）如果点的坐标为(-2，0)，求弦长（2）为坐标原点，设抛物线的焦点为，求取值范围.

12．（2021·湖南高三二模）已知椭圆的上顶点为，且T与椭圆E的两个焦点构成一个等腰直角三角形．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若不过点的动直线与E交于点A，B，点满足求T到直线距离的最大值．

14．（2020·全国高三模拟）若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.

15．（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））已知抛物线及点.（1）以抛物线焦点为圆心，为半径作圆，求圆与抛物线交点的横坐标；（2）、是抛物线上不同的两点，且直线与轴不垂直，弦的垂直平分线恰好经过点，求的范围.

16．（2021·浙江高三月考）已知点到抛物线的准线的距离为，设过点的直线与相交于两点，(异于坐标原点).（1）求实数的值；（2）求的取值范围.

17．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（理））如图所示，已知圆，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过定点的直线交曲线于不同的两点､(点在点､之间)，且满足，求的取值范围.

18．（2021·江西赣州市·高三期末（理））已知动圆与直线相交于两点，且．

（1）当动圆过定点时，求动圆圆心的轨迹方程；

（2）过点的直线交（1）中动圆圆心的轨迹于两点，点为的中点，过点垂直于直线的直线交轴于点，求点的横坐标的取值范围．

19．（2020·江苏泰州市·高二期中）已知抛物线的焦点坐标为

（1）求抛物线方程；（2）过直线上一点作抛物线的切线切点为A，B

①设直线PA、AB、PB的斜率分别为，求证：成等差数列；②若以切点B为圆心r为半径的圆与抛物线C交于D，E两点且D，E关于直线AB对称，求点P横坐标的取值范围．

20．（2021·北京通州区·高三一模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且，点Q是P关于x轴的对称点，直线与椭圆C的另一个交点为.（ⅰ）证明：直线，的斜率之比为定值；（ⅱ）求直线的斜率最小值．