还剩35页未读，
继续阅读
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点3 圆锥曲线中的最值、范围问题综合训练试题及答案
展开
这是一份专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点3 圆锥曲线中的最值、范围问题综合训练试题及答案，共38页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点3 圆锥曲线中的最值、范围问题综合训练
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题
微点3 圆锥曲线中的最值、范围问题综合训练
一、单选题
（2022全国·模拟预测）
1．已知，是椭圆的左､右焦点，是上在第一象限内一点，关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，则的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．4
（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测）
2．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
（2022·重庆八中模拟预测）
3．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2022河南郑州·三模）
4．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2022广东汕头·二模）
5．已知椭圆C：的左､右焦点分别是､，过的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若，则四边形面积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
（2022浙江·模拟预测）
6．已知椭圆上有一动点M（异于顶点），点P，Q分别在x，y轴上，使得M为PQ的中点.若x轴上一点R满足，则（ ）
A．无最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值
C．无最小值，有最大值 D．有最小值，无最大值
（2022江西景德镇·模拟预测）
7．已知椭圆：上有一动点（异于顶点），点､分别在､轴上，使得为的中点，若轴上一点，满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
（2022·陕西咸阳·二模）
8．已知A､B是椭圆（）长轴的两端点，P､Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为，（），若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
（2022·河南郑州·三模）
9．斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
（2022·辽宁沈阳·三模）
10．已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
（2022·上海市实验学校模拟预测）
11．已知为椭圆的左顶点．如果存在过点的直线交椭圆于两点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2022·河南洛阳·三模）
12．已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二、多选题
（2022·河北保定·一模）
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个
C．若，则 D．的取值范围为
（2022·湖南·长郡中学模拟预测）
14．椭圆:的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的最大值为
C．过点的直线与椭圆只有一个公共点，此时直线方程为
D．的最小值为
（2022·辽宁大连·二模）
15．已知在平面直角坐标系中，，，，，，P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为和，且，设点P运动形成曲线F，点M，N是曲线F上位于x轴上方的点，且，则下列说法正确的有（ ）
A．动点P的轨迹方程为 B．△PAB面积的最大值为
C．的最大值为5 D．的最小值为
（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）
16．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)
B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5
C．若A(0，－)、B(0，)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为－
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：后，椭圆C'的蒙日圆方程为：
（2022·全国·模拟预测）
17．过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
（2022全国·模拟预测）
18．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．的最小值为2 B．面积的最大值为
C．直线的斜率为 D．为钝角
（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）
19．已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线CA的斜率为，BD的斜率，则
B．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形
C．取值范围为
D．周长的最大值为
（2022·山东枣庄·一模）
20．已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线交于A，B两点（点在轴的上方），过椭圆的右焦点的直线交于C，D两点，则（ ）
A．若，则的斜率
B．的最小值为
C．以为直径的圆与圆相切
D．若，则四边形面积的最小值为
三、填空题
（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）
21．已知为函数图象上第一象限内的一个动点，为坐标原点，则四边形的面积最大值为__________.
（2022·浙江·模拟预测）
22．椭圆上三点A，B，C，其中A位于第一象限，且A，B关于原点对称，C为椭圆右顶点．过A作x轴的垂线，交直线于D．当A在椭圆上运动时，总有，则该椭圆离心率e的最大值为_________．
（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）
23．过点作斜率为的直线交椭圆于两点，若上存在相异的两点使得，则外接圆半径的最小值为___________.
（2022·四川·宜宾市教科所三模）
24．已知点在曲线：上，斜率为的直线与曲线交于，两点，且，两点与点不重合，有下列结论：
（1）曲线有两个焦点，其坐标分别为，；
（2）将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线是一个圆；
（3）面积的最大值为；
（4）线段长度的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是______．
四、双空题
（2020·浙江·模拟预测）
25．已知椭圆.点E为椭圆在第一象限内一点，点F在椭圆上且与点E关于原点对称，直线与椭圆交于A，B两点，则点E，F到直线x+y-1=0的距离之和的最大值是________；此时四边形AEBF的面积是________.
26．设椭圆的右焦点为，则的坐标是______；若为椭圆的右顶点，为椭圆上的动点.则当最小时，点的横坐标是______
五、解答题
（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）
27．如图，为抛物线的焦点，直线与抛物线交于、两点，中点为，当，时，到轴的距离与到点距离相等.
(1)求的值；
(2)若存在正实数，使得以为直径的圆经过点，求的取值范围.
（2022·湖北武汉·模拟预测）
28．已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设不与y轴垂直的直线l过点且交曲线E于M，N两点，曲线E与x轴的交点为A，B，当时，求的取值范围．
（2022·湖南·长沙一中模拟预测）
29．已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
（2022·上海奉贤·二模）
30．椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
（2022·四川成都·模拟预测）
31．平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，过焦点的最短弦长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的点，求的面积的最大值.
（2022·上海·模拟预测）
32．设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为.
(1)，AM的中点在x轴上，求点M的坐标；
(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b；
(3)在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值.
参考答案：
1．D
【分析】由题意知，，故，即可求解．
【详解】由题意知，，，
当且仅当，，三点共线时取“=”.
故选：D
2．A
【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
3．C
【分析】根据平面垂直向量的数量积表示可得，利用平面向量的线性运算将变形为，设()，利用两点坐标求出，结合二次函数的性质即可求出最小值.
【详解】由题意得，由,得，
则,
设()，由，得，
则，
又，由二次函数的性质可知，
，
所以的最小值为.
故选：C.
4．B
【分析】设出点P坐标，并写出点Q，A，B坐标，计算及，再分析比对即可得解.
【详解】设点，则椭圆的对称性知，不妨令，而点A(-a，0)，B(a，0)，
则，显然有，则，
因椭圆的离心率为，即，
，则，
因，所以，当且仅当时取“=”，
即的最小值为为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：涉及椭圆上动点的坐标设法问题，利用对称性处理是解题的关键.
5．B
【分析】由椭圆的方程得椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为, 代入椭圆方程中利用求得三角形面积关于表达式，令,转化为的函数，利用基本不等式求得三角形AOB的面积最大值，乘以2就是所求四边形的面积的最大值.
【详解】由已知得若，故四边形AOBE是平行四边形，其面积是△OAB面积的两倍，下面先求△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为,代入椭圆方程中并整理得：
,
，
令,,当,即k=0,也就是直线AB与x轴垂直时面积取得最大值为，∴四边形AOBE的面积最大值为.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆中四边形面积最值的求解问题，关键是能够将所求四边形面积转化为三角形面积，并表示为关于某一个变量的函数的形式，利用换元思想转化后利用基本不等式求得面积的最值.
6．A
【分析】设，求出的坐标，计算，由对称性不妨设在第一象限，并设，这样换元后利用函数的单调性判断最值情况．
【详解】在椭圆，设，且且且，
又点P，Q分别在x，y轴上，使得M为PQ的中点，则，，
，
设，所以，，
所以，
由对称性，只要讨论点在第一象限即可，即不妨设，
，设，，
，在上是减函数，因此在上无最大值也无最小值．
即无最大值也无最小值．
故选：A．
7．B
【分析】设且，可得，由点在椭圆上有，进而求坐标，由题设易知，最后利用基本不等式求最值，注意等号成立条件.
【详解】令且，则，又在椭圆上，
∴，则，
此时直线为，故，
由，即是垂直平分线，则.
综上，，
当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为.
故选：B
8．D
【分析】求出的值，推导出，所以当时，有最小值.
【详解】由已知可得，，
设点，则，且有，可得，
设点、，则
，因为在椭圆上，所以所以当时，的最小值为：.
故选：D.
9．D
【分析】设直线方程与椭圆方程联立，求得弦长，即可得到最大值.
【详解】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为，
由消去y得，
则，.
∴
，
∴当时，取得最大值，
故选:D.
10．D
【分析】设，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解.
【详解】设，由可知，，
，，
，
，时，的最小值为，解得.
当时，的最大值为.
故选：D
11．A
【分析】坐标系变换，将椭圆变为圆处理，利用圆的性质解题．
【详解】记Q为椭圆的右顶点，
将坐标系横向压缩到原来的，椭圆变为圆，
则，
面积比，线段长度比，不随坐标系拉升而改变，
设，
又由圆的相交弦定理：，
得（），
故，
又由于 ()，
故有，结合，
可化为：，解得.
故选：A
【关键点点睛】解决本题的关键一是将坐标系横向压缩到原来的，椭圆变为圆；二是不等关系的建立；三是解不等式.
12．B
【分析】由题，结合角平分线性质与椭圆的性质，，为到的距离，又是的中位线，故，结合余弦定理，设，即可表示出，即可讨论最值
【详解】
由图，，，故，，又平分，则到、的距离相等，设为，则
设，则，，由是的中位线，易得，即，由椭圆性质易知，存在点为椭圆上异于顶点的动点，使，此时最大，且为2
故选：B
13．ACD
【分析】首先求出椭圆方程，当点为该椭圆的上顶点时，求出，即可判断A；
再根据的范围判断B，利用余弦定理及三角形面积公式判断C，根据椭圆的定义及的范围判断D；
【详解】解：根据题意：可得，的最小值为1，所以，又，所以，，，所以椭圆方程为，
当点为该椭圆的上顶点时，，所以，此时，所在存在点，使得，所以选项A正确；
当点在椭圆的上、下顶点时，满足为等腰三角形，又因为，，∴满足的点有两个，同理满足的点有两个，所以选项B不正确；若，，，由余弦定理，即，又，所以，所以，所以选项C正确；对于选项D，，分析可得，，所以选项D正确，
故选：ACD．
14．BD
【分析】利用椭圆标准方程直接求离心率即可判断A；根据椭圆定义以及基本不等式即可判
断B；直接考虑直线斜率不存在的情况即可判断C；利用椭圆的定义将转化成
，进而根据几何关系求其最值即可判断D.
【详解】对于选项，由椭圆的方程知，
所以离心率，故选项不正确；
对于选项B， 由椭圆的定义可得，
所以，
即当且仅当时，的最大值为，故选项B正确；
对于选项C， 当直线的斜率不存在时，所求直线为，满足条件，故选项C错误；
对于选项D， 圆：，
所以，
故选项D正确；
故选：BD.
15．BCD
【分析】设，根据题意和两点求直线斜率公式计算化简求出点P的轨迹方程，即可判断A；结合焦点三角形的面积计算即可判断B；根据椭圆的定义和三角形三边的大小关系即可判断C；结合椭圆的焦半径公式可得，当时取得最小值，即可判断D.
【详解】由题意得，
设点，则，
由，得，
整理，得，
即动点P的轨迹方程为，故A错误；
当点运动到椭圆的上顶点时，的面积最大，
此时，故B正确；
由椭圆的定义，得，
而，
当且仅当三点共线且点P位于第四象限时等号成立，
所以，故C正确；
由椭圆的焦半径公式，得，
(其中)，有，
当即时，取得最小值，
此时，得，
所以，故D正确.
故选：BCD.
16．BCD
【分析】选项A需要对曲线C中x分5类讨论，由x判断对应y的范围，从而得到整数点个数；选项B借助参数方程求解椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．
【详解】对于A：曲线中，，当时，
分5类讨论：，分别代入曲线方程，可得：
整数点为(－1，1)，(－1，0)，(－1，－1)．(－1，－2)，(0，0)，(1，1)，(1，0)、(1，－1)，(1，－2)，
所以：整数点有9个，选项A错误；
对于B：曲线C中，当时，此时与原点距离为2，
当，时，设半椭圆上动点P坐标为(2cosθ，3sinθ)，
则，
最大值与最小值之和为5，选项B正确；
对于C：又A(0，－)、B(0，)恰为椭圆的两个焦点．
那么，
当且仅当，即P在x轴上时，等号成立，
在△PAB中，，由余弦定理知：
，选项C正确；
对于D：由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为(2，3)，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为：，选项D正确．
故选：BCD．
17．AC
【分析】A由椭圆对称性及定义有周长为，根据椭圆性质即可判断；B根据圆的性质，结合椭圆方程与已知判断正误；C、D设，利用斜率两点式可得，进而判断C正误，应用向量数量积的坐标表示列关于的表达式，结合椭圆有界性求最值.
【详解】A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确；
B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误；
C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确；
D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误.
故选：AC．
18．BC
【分析】A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值，A项错误； B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值； C项，由对称性，可设，则，，则可得直线的斜率与k的关系； D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得，又由C项可知， 得，即，排除D项.
【详解】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，
则四边形为平行四边形，
，
，
当且仅当时等号成立，A错误；
对于B，由得，
，
的面积，
当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，设，则，，
故直线的斜率，C正确；
对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，
则，
又点和点在椭圆上，①，②，
①②得，易知，
则，得，
，，D错误.
故选：BC.
【点睛】椭圆常用结论：
已知椭圆，AB为椭圆经过原点的一条弦，P是椭圆上异于A、B的任意一点，若都存在，则.
19．BD
【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出；B选项，验证出，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出，求出；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线经过焦点时，此时的周长最大.
【详解】将代入椭圆方程，求出，其中，
则，A错误；
由题意得：，当时，，此时，
所以当，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，
当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形，B正确；
不妨设，则，
因为，所以，C错误；
如图，当直线经过焦点时，此时的周长最大，
等于，其他位置都比小，
例如当直线与椭圆相交于，与x轴交于C点时，
连接，由椭圆定义可知：，显然，
同理可知：，
故周长的最大值为，D正确
故选：BD
20．BCD
【分析】A选项，由得到，再联立直线和椭圆，结合韦达定理即可求出斜率；B选项先联立直线和椭圆求出，再结合基本不等式求解即可；C选项由椭圆的定义结合两圆相切的圆心距和半径关系即可判断；D选项斜率存在和不存在时分别计算面积，求出面积范围即可判断.
【详解】易知：，对于A，若，显然直线的斜率存在且大于0，设直线，联立椭圆方程，化简整理得，显然，，又，故，整理得，由解得，又，故，A错误；
对于B，易知直线的斜率不为0，设直线，联立椭圆方程，化简整理得，显然，，由点在轴的上方，显然，又，，故，当且仅当，即时取等，B正确；
对于C，设， 的中点为，则，又，由椭圆定义知：，即，又的圆心为，半径为2，故以为直径的圆与圆内切，C正确；
对于D，当直线的斜率存在时，由上知：，同理，故四边形面积为，令，则，又，故，故；又当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，易得，此时，故，D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题关键点在于A选项由和韦达定理解方程即可；B选项要先求出求出，再结合基本不等式的知识求解；C选项要结合椭圆的定义得到圆心距和半径之间的关系；D选项斜率存在时求出面积的范围，斜率不存在时直接求出面积.
21．
【分析】利用三角代换可得，然后利用辅助角公式及三角函数的性质即得.
【详解】由可得，
易得在椭圆的第一象限内动点，
可设，,又，
则
，其中，
当时，，
即四边形的面积最大值为.
故答案为：.
22．
【分析】设，，，根据椭圆的方程得到，即可得到①，②，再由弦长公式得到③，整理可得，即可求出离心率的最大值；
【详解】解：依题意可得，设，，，，
所以， 则，
又，①，②，
由得③，
将①②代入③式，消去，得，
因为，，则要求，即，
所以，即e的最大值为．
故答案为：
23．
【分析】根据题意可知在同一个阿氏圆上，可设设 为线段AB的外分点，由此可根据外接圆的直径为 ,列出等量关系，并表示出外接圆半径，设直线AB的参数方程，联立椭圆的方程，根据参数的几何意义，进行化简，可得答案.
【详解】由题意知点在椭圆内，故，
则可设，不妨设，
故可知在同一个阿氏圆上，设其半径为 ，不妨设A,B位置如图：
则由阿氏圆的定义可知， 为线段AB的分比为 的内分点，设 为分比为的外分点，
则 ,
则 ,
故,即 ,
故 ；
设直线AB的方程为 （t为参数，为倾斜角， ），
代入到中得到： ，
，设其两根为 ，则 ，
故，
由于，其中为锐角，
故 ，当时，取到最大值 ，
故 的最小值为 ，
当时，同理可解得的最小值为，
故答案为：
24．（2）（3）
【分析】将点代入曲线中，即可求出曲线的方程，即可判断（1）；将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），代入化简后为以原点为圆心，半径为2的圆，即可判断（2）；设直线为：，椭圆与直线联立，韦达定理，表示出，当时，即可求出的最大值；求出到直线直线：的距离，表示出面积，由均值不等式即可求出最大值，即可判断（4）.
【详解】点在曲线：上，所以，所以曲线：，所以曲线为焦点在轴上的椭圆，所以，所以（1）错误；
将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），设曲线上任意一点设为，扩大后的坐标设为，所以，所以，因为在上，所以，所以化简后为：，表示以原点为圆心，半径为2的圆，所以（2）正确；
设直线为：，所以联立得：，
即，
，所以
，因为，所以
当时，，所以（4）错误；
到直线直线：的距离为：，
，当且仅当时取等，即时取等，故（3）正确.
故选：（2）（3）.
25．
【分析】根据题意，设出两点坐标，利用点到直线的距离公式，求得距离之和的表达式，结合点在椭圆上坐标满足椭圆方程，利用柯西不等式即可求得距离之和的最大值；联立椭圆方程和，求得两点坐标，即可求得，则四边形的面积可得.
【详解】根据题意，作图如下：
不妨设，则，
故到直线的距离之和
因为点是椭圆上位于第一象限的点，根据直线划分平面，以及点位于直线的右上侧，
故可得：，且，
则.
又因为点在椭圆上，故，
由柯西不等式可得：，
即，解得，当且仅当时取得等号.
故；
联立椭圆方程与直线方程，
可得，解得，
故可得.
故四边形的面积.
故答案为：；.
【点睛】本题考查椭圆中四边形面积的求解，涉及椭圆中范围问题的求解，涉及柯西不等式的利用，属综合中档题.
26．
【分析】由椭圆标准方程即可得右焦点为的坐标，由， 利用两点距离公式，结合椭圆方程即有，应用导数研究函数的单调性，即可求得其最小值，进而得到横坐标x的值
【详解】由椭圆方程知：右焦点的坐标为(1,0)
由题意，知：，，令，
则
令，则
当有，即单调递减；
当有，即单调递增，而有
∴当时，有最小值，即最小
故答案为：；
【点睛】本题考查了椭圆，根据标准方程求焦点坐标，利用两点距离公式并结合椭圆方程可得关于关于动点横坐标的函数式，应用导数研究其单调性求最值并确定横坐标值
27．(1)
(2)
【分析】（1）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，根据已知条件可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知可得，可得出，令，根据二次函数的零点分布可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围.
（1）
解：当，时，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，所以，，，
即点，由已知可得，解得.
（2）
解：因为存在正实数，使得以为直径的圆经过点，且，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，
易得，，同理可得，
因为，
所以，
所以，
化简得，
令，则函数的对称轴为直线，
若方程有正根，则，又因为，解得.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
28．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，结合双曲线的定义，即可求解；
（2）设直线方程为，联立方程组求得，利用弦长公式和，求得或，结合向量的数量积的运算公式，化简得到，进而求得其范围，即可求解．
（1）
解：依题意，P是平面上的动点，且点与的距离之差的绝对值为．
即，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹E是以为焦点，
其中，所以，则，
所以轨迹的方程为．
（2）
解：设直线方程为，点，
联立方程组，整理得，
可得且．
由弦长公式，可得
因为，可得，解得或
因为，
所以
，
因为或，所以，
所以的取值范围是．
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据通径，直接求得，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；
（2）通过对转化为，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）依题意，，当l垂直于x轴时，，
即，即，
解得，，因此；
（2）设，联立双曲线方程，
得：，
当时，，
，
当时，设，
因为直线与双曲线右支相交，
因此，即，同理可得，
依题意，
同理可得，，
而，
代入，，
，
分离参数得，，
因为，
当时，由，
，
所以，
综上可知，的取值范围为.
30．(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3)
【分析】（1）先求得两点坐标，进而可得直线的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点坐标；
（2）假设存在符合条件的点，列方程去求点坐标，再以点在椭圆内部去判别是否存在；
（3）先求得的表达式，再去求的值域，进而求得的取值范围．
（1）
由点和点在椭圆上
可得，，则直线方程为，
又点在直线上，则，解之得，则
（2）
椭圆的两焦点
假设存在一个点，满足，
则点一定在双曲线的左半支上，
由，可得
又，则，
又因为点在椭圆内部，所以，得
所以满足条件的点不存在．
（3）
两点、和在椭圆上，
点在椭圆内部，
则直线的方程为，
点到直线的距离
则，
同理直线的方程为，
点到直线的距离
则
令，则
由，可得，，，即
由，可得，，，即
综上，的取值范围为
则的取值范围为
31．(1)
(2)
【分析】(1)由条件列方程求，可得椭圆方程；(2) 设直线的方程为，利用设而不求法求出的面积的解析式，再求其最值.
（1）
由题意得，
故椭圆的标准方程为；
（2）
设直线的方程为，则
，，
，设，
，
当时，
当到的距离最大时，点在第二象限且过点的切线正好与平行，
设切线方程为，，
，
由得，此时，
到的距离最大为，
故的面积，
则，
故，当且仅当时取等号.
当时，
当到的距离最大时，点在第四象限且过点的切线正好与平行，
设切线方程为，，
，
由得，此时，
到的距离最大为，
故的面积，
则，
故，当且仅当时取等号.
所以的面积的最大值为.
【点睛】解决直线与椭圆的三角形面积问题的关键在于利用设而不求法表示三角形的面积，再利用基本不等式或导数求其最值.
32．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标；
（2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可；
（3）设，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得即可确定的最小值．
【详解】（1）解：由题意可得，所以，
的中点在轴上，
的纵坐标为，代入得；
（2）解：由直线方程可知，，
①若，则，即，
，
.
②若，则，
，，
，，即，
，.
综上，或；
（3）解：设，结合已知条件，由椭圆的定义及点到直线距离公式可得，
显然椭圆在直线的左下方，则，即，
，，即，
，整理可得，即，
，即的最小值为．
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点3 圆锥曲线中的最值、范围问题综合训练
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题
微点3 圆锥曲线中的最值、范围问题综合训练
一、单选题
（2022全国·模拟预测）
1．已知，是椭圆的左､右焦点，是上在第一象限内一点，关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，则的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．4
（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测）
2．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
（2022·重庆八中模拟预测）
3．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2022河南郑州·三模）
4．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2022广东汕头·二模）
5．已知椭圆C：的左､右焦点分别是､，过的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若，则四边形面积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
（2022浙江·模拟预测）
6．已知椭圆上有一动点M（异于顶点），点P，Q分别在x，y轴上，使得M为PQ的中点.若x轴上一点R满足，则（ ）
A．无最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值
C．无最小值，有最大值 D．有最小值，无最大值
（2022江西景德镇·模拟预测）
7．已知椭圆：上有一动点（异于顶点），点､分别在､轴上，使得为的中点，若轴上一点，满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
（2022·陕西咸阳·二模）
8．已知A､B是椭圆（）长轴的两端点，P､Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为，（），若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
（2022·河南郑州·三模）
9．斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
（2022·辽宁沈阳·三模）
10．已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
（2022·上海市实验学校模拟预测）
11．已知为椭圆的左顶点．如果存在过点的直线交椭圆于两点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2022·河南洛阳·三模）
12．已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二、多选题
（2022·河北保定·一模）
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个
C．若，则 D．的取值范围为
（2022·湖南·长郡中学模拟预测）
14．椭圆:的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的最大值为
C．过点的直线与椭圆只有一个公共点，此时直线方程为
D．的最小值为
（2022·辽宁大连·二模）
15．已知在平面直角坐标系中，，，，，，P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为和，且，设点P运动形成曲线F，点M，N是曲线F上位于x轴上方的点，且，则下列说法正确的有（ ）
A．动点P的轨迹方程为 B．△PAB面积的最大值为
C．的最大值为5 D．的最小值为
（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）
16．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)
B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5
C．若A(0，－)、B(0，)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为－
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：后，椭圆C'的蒙日圆方程为：
（2022·全国·模拟预测）
17．过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
（2022全国·模拟预测）
18．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．的最小值为2 B．面积的最大值为
C．直线的斜率为 D．为钝角
（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）
19．已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线CA的斜率为，BD的斜率，则
B．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形
C．取值范围为
D．周长的最大值为
（2022·山东枣庄·一模）
20．已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线交于A，B两点（点在轴的上方），过椭圆的右焦点的直线交于C，D两点，则（ ）
A．若，则的斜率
B．的最小值为
C．以为直径的圆与圆相切
D．若，则四边形面积的最小值为
三、填空题
（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）
21．已知为函数图象上第一象限内的一个动点，为坐标原点，则四边形的面积最大值为__________.
（2022·浙江·模拟预测）
22．椭圆上三点A，B，C，其中A位于第一象限，且A，B关于原点对称，C为椭圆右顶点．过A作x轴的垂线，交直线于D．当A在椭圆上运动时，总有，则该椭圆离心率e的最大值为_________．
（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）
23．过点作斜率为的直线交椭圆于两点，若上存在相异的两点使得，则外接圆半径的最小值为___________.
（2022·四川·宜宾市教科所三模）
24．已知点在曲线：上，斜率为的直线与曲线交于，两点，且，两点与点不重合，有下列结论：
（1）曲线有两个焦点，其坐标分别为，；
（2）将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线是一个圆；
（3）面积的最大值为；
（4）线段长度的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是______．
四、双空题
（2020·浙江·模拟预测）
25．已知椭圆.点E为椭圆在第一象限内一点，点F在椭圆上且与点E关于原点对称，直线与椭圆交于A，B两点，则点E，F到直线x+y-1=0的距离之和的最大值是________；此时四边形AEBF的面积是________.
26．设椭圆的右焦点为，则的坐标是______；若为椭圆的右顶点，为椭圆上的动点.则当最小时，点的横坐标是______
五、解答题
（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）
27．如图，为抛物线的焦点，直线与抛物线交于、两点，中点为，当，时，到轴的距离与到点距离相等.
(1)求的值；
(2)若存在正实数，使得以为直径的圆经过点，求的取值范围.
（2022·湖北武汉·模拟预测）
28．已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设不与y轴垂直的直线l过点且交曲线E于M，N两点，曲线E与x轴的交点为A，B，当时，求的取值范围．
（2022·湖南·长沙一中模拟预测）
29．已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
（2022·上海奉贤·二模）
30．椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
（2022·四川成都·模拟预测）
31．平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，过焦点的最短弦长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的点，求的面积的最大值.
（2022·上海·模拟预测）
32．设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为.
(1)，AM的中点在x轴上，求点M的坐标；
(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b；
(3)在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值.
参考答案：
1．D
【分析】由题意知，，故，即可求解．
【详解】由题意知，，，
当且仅当，，三点共线时取“=”.
故选：D
2．A
【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
3．C
【分析】根据平面垂直向量的数量积表示可得，利用平面向量的线性运算将变形为，设()，利用两点坐标求出，结合二次函数的性质即可求出最小值.
【详解】由题意得，由,得，
则,
设()，由，得，
则，
又，由二次函数的性质可知，
，
所以的最小值为.
故选：C.
4．B
【分析】设出点P坐标，并写出点Q，A，B坐标，计算及，再分析比对即可得解.
【详解】设点，则椭圆的对称性知，不妨令，而点A(-a，0)，B(a，0)，
则，显然有，则，
因椭圆的离心率为，即，
，则，
因，所以，当且仅当时取“=”，
即的最小值为为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：涉及椭圆上动点的坐标设法问题，利用对称性处理是解题的关键.
5．B
【分析】由椭圆的方程得椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为, 代入椭圆方程中利用求得三角形面积关于表达式，令,转化为的函数，利用基本不等式求得三角形AOB的面积最大值，乘以2就是所求四边形的面积的最大值.
【详解】由已知得若，故四边形AOBE是平行四边形，其面积是△OAB面积的两倍，下面先求△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为,代入椭圆方程中并整理得：
,
，
令,,当,即k=0,也就是直线AB与x轴垂直时面积取得最大值为，∴四边形AOBE的面积最大值为.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆中四边形面积最值的求解问题，关键是能够将所求四边形面积转化为三角形面积，并表示为关于某一个变量的函数的形式，利用换元思想转化后利用基本不等式求得面积的最值.
6．A
【分析】设，求出的坐标，计算，由对称性不妨设在第一象限，并设，这样换元后利用函数的单调性判断最值情况．
【详解】在椭圆，设，且且且，
又点P，Q分别在x，y轴上，使得M为PQ的中点，则，，
，
设，所以，，
所以，
由对称性，只要讨论点在第一象限即可，即不妨设，
，设，，
，在上是减函数，因此在上无最大值也无最小值．
即无最大值也无最小值．
故选：A．
7．B
【分析】设且，可得，由点在椭圆上有，进而求坐标，由题设易知，最后利用基本不等式求最值，注意等号成立条件.
【详解】令且，则，又在椭圆上，
∴，则，
此时直线为，故，
由，即是垂直平分线，则.
综上，，
当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为.
故选：B
8．D
【分析】求出的值，推导出，所以当时，有最小值.
【详解】由已知可得，，
设点，则，且有，可得，
设点、，则
，因为在椭圆上，所以所以当时，的最小值为：.
故选：D.
9．D
【分析】设直线方程与椭圆方程联立，求得弦长，即可得到最大值.
【详解】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为，
由消去y得，
则，.
∴
，
∴当时，取得最大值，
故选:D.
10．D
【分析】设，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解.
【详解】设，由可知，，
，，
，
，时，的最小值为，解得.
当时，的最大值为.
故选：D
11．A
【分析】坐标系变换，将椭圆变为圆处理，利用圆的性质解题．
【详解】记Q为椭圆的右顶点，
将坐标系横向压缩到原来的，椭圆变为圆，
则，
面积比，线段长度比，不随坐标系拉升而改变，
设，
又由圆的相交弦定理：，
得（），
故，
又由于 ()，
故有，结合，
可化为：，解得.
故选：A
【关键点点睛】解决本题的关键一是将坐标系横向压缩到原来的，椭圆变为圆；二是不等关系的建立；三是解不等式.
12．B
【分析】由题，结合角平分线性质与椭圆的性质，，为到的距离，又是的中位线，故，结合余弦定理，设，即可表示出，即可讨论最值
【详解】
由图，，，故，，又平分，则到、的距离相等，设为，则
设，则，，由是的中位线，易得，即，由椭圆性质易知，存在点为椭圆上异于顶点的动点，使，此时最大，且为2
故选：B
13．ACD
【分析】首先求出椭圆方程，当点为该椭圆的上顶点时，求出，即可判断A；
再根据的范围判断B，利用余弦定理及三角形面积公式判断C，根据椭圆的定义及的范围判断D；
【详解】解：根据题意：可得，的最小值为1，所以，又，所以，，，所以椭圆方程为，
当点为该椭圆的上顶点时，，所以，此时，所在存在点，使得，所以选项A正确；
当点在椭圆的上、下顶点时，满足为等腰三角形，又因为，，∴满足的点有两个，同理满足的点有两个，所以选项B不正确；若，，，由余弦定理，即，又，所以，所以，所以选项C正确；对于选项D，，分析可得，，所以选项D正确，
故选：ACD．
14．BD
【分析】利用椭圆标准方程直接求离心率即可判断A；根据椭圆定义以及基本不等式即可判
断B；直接考虑直线斜率不存在的情况即可判断C；利用椭圆的定义将转化成
，进而根据几何关系求其最值即可判断D.
【详解】对于选项，由椭圆的方程知，
所以离心率，故选项不正确；
对于选项B， 由椭圆的定义可得，
所以，
即当且仅当时，的最大值为，故选项B正确；
对于选项C， 当直线的斜率不存在时，所求直线为，满足条件，故选项C错误；
对于选项D， 圆：，
所以，
故选项D正确；
故选：BD.
15．BCD
【分析】设，根据题意和两点求直线斜率公式计算化简求出点P的轨迹方程，即可判断A；结合焦点三角形的面积计算即可判断B；根据椭圆的定义和三角形三边的大小关系即可判断C；结合椭圆的焦半径公式可得，当时取得最小值，即可判断D.
【详解】由题意得，
设点，则，
由，得，
整理，得，
即动点P的轨迹方程为，故A错误；
当点运动到椭圆的上顶点时，的面积最大，
此时，故B正确；
由椭圆的定义，得，
而，
当且仅当三点共线且点P位于第四象限时等号成立，
所以，故C正确；
由椭圆的焦半径公式，得，
(其中)，有，
当即时，取得最小值，
此时，得，
所以，故D正确.
故选：BCD.
16．BCD
【分析】选项A需要对曲线C中x分5类讨论，由x判断对应y的范围，从而得到整数点个数；选项B借助参数方程求解椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．
【详解】对于A：曲线中，，当时，
分5类讨论：，分别代入曲线方程，可得：
整数点为(－1，1)，(－1，0)，(－1，－1)．(－1，－2)，(0，0)，(1，1)，(1，0)、(1，－1)，(1，－2)，
所以：整数点有9个，选项A错误；
对于B：曲线C中，当时，此时与原点距离为2，
当，时，设半椭圆上动点P坐标为(2cosθ，3sinθ)，
则，
最大值与最小值之和为5，选项B正确；
对于C：又A(0，－)、B(0，)恰为椭圆的两个焦点．
那么，
当且仅当，即P在x轴上时，等号成立，
在△PAB中，，由余弦定理知：
，选项C正确；
对于D：由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为(2，3)，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为：，选项D正确．
故选：BCD．
17．AC
【分析】A由椭圆对称性及定义有周长为，根据椭圆性质即可判断；B根据圆的性质，结合椭圆方程与已知判断正误；C、D设，利用斜率两点式可得，进而判断C正误，应用向量数量积的坐标表示列关于的表达式，结合椭圆有界性求最值.
【详解】A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确；
B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误；
C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确；
D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误.
故选：AC．
18．BC
【分析】A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值，A项错误； B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值； C项，由对称性，可设，则，，则可得直线的斜率与k的关系； D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得，又由C项可知， 得，即，排除D项.
【详解】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，
则四边形为平行四边形，
，
，
当且仅当时等号成立，A错误；
对于B，由得，
，
的面积，
当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，设，则，，
故直线的斜率，C正确；
对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，
则，
又点和点在椭圆上，①，②，
①②得，易知，
则，得，
，，D错误.
故选：BC.
【点睛】椭圆常用结论：
已知椭圆，AB为椭圆经过原点的一条弦，P是椭圆上异于A、B的任意一点，若都存在，则.
19．BD
【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出；B选项，验证出，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出，求出；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线经过焦点时，此时的周长最大.
【详解】将代入椭圆方程，求出，其中，
则，A错误；
由题意得：，当时，，此时，
所以当，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，
当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形，B正确；
不妨设，则，
因为，所以，C错误；
如图，当直线经过焦点时，此时的周长最大，
等于，其他位置都比小，
例如当直线与椭圆相交于，与x轴交于C点时，
连接，由椭圆定义可知：，显然，
同理可知：，
故周长的最大值为，D正确
故选：BD
20．BCD
【分析】A选项，由得到，再联立直线和椭圆，结合韦达定理即可求出斜率；B选项先联立直线和椭圆求出，再结合基本不等式求解即可；C选项由椭圆的定义结合两圆相切的圆心距和半径关系即可判断；D选项斜率存在和不存在时分别计算面积，求出面积范围即可判断.
【详解】易知：，对于A，若，显然直线的斜率存在且大于0，设直线，联立椭圆方程，化简整理得，显然，，又，故，整理得，由解得，又，故，A错误；
对于B，易知直线的斜率不为0，设直线，联立椭圆方程，化简整理得，显然，，由点在轴的上方，显然，又，，故，当且仅当，即时取等，B正确；
对于C，设， 的中点为，则，又，由椭圆定义知：，即，又的圆心为，半径为2，故以为直径的圆与圆内切，C正确；
对于D，当直线的斜率存在时，由上知：，同理，故四边形面积为，令，则，又，故，故；又当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，易得，此时，故，D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题关键点在于A选项由和韦达定理解方程即可；B选项要先求出求出，再结合基本不等式的知识求解；C选项要结合椭圆的定义得到圆心距和半径之间的关系；D选项斜率存在时求出面积的范围，斜率不存在时直接求出面积.
21．
【分析】利用三角代换可得，然后利用辅助角公式及三角函数的性质即得.
【详解】由可得，
易得在椭圆的第一象限内动点，
可设，,又，
则
，其中，
当时，，
即四边形的面积最大值为.
故答案为：.
22．
【分析】设，，，根据椭圆的方程得到，即可得到①，②，再由弦长公式得到③，整理可得，即可求出离心率的最大值；
【详解】解：依题意可得，设，，，，
所以， 则，
又，①，②，
由得③，
将①②代入③式，消去，得，
因为，，则要求，即，
所以，即e的最大值为．
故答案为：
23．
【分析】根据题意可知在同一个阿氏圆上，可设设 为线段AB的外分点，由此可根据外接圆的直径为 ,列出等量关系，并表示出外接圆半径，设直线AB的参数方程，联立椭圆的方程，根据参数的几何意义，进行化简，可得答案.
【详解】由题意知点在椭圆内，故，
则可设，不妨设，
故可知在同一个阿氏圆上，设其半径为 ，不妨设A,B位置如图：
则由阿氏圆的定义可知， 为线段AB的分比为 的内分点，设 为分比为的外分点，
则 ,
则 ,
故,即 ,
故 ；
设直线AB的方程为 （t为参数，为倾斜角， ），
代入到中得到： ，
，设其两根为 ，则 ，
故，
由于，其中为锐角，
故 ，当时，取到最大值 ，
故 的最小值为 ，
当时，同理可解得的最小值为，
故答案为：
24．（2）（3）
【分析】将点代入曲线中，即可求出曲线的方程，即可判断（1）；将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），代入化简后为以原点为圆心，半径为2的圆，即可判断（2）；设直线为：，椭圆与直线联立，韦达定理，表示出，当时，即可求出的最大值；求出到直线直线：的距离，表示出面积，由均值不等式即可求出最大值，即可判断（4）.
【详解】点在曲线：上，所以，所以曲线：，所以曲线为焦点在轴上的椭圆，所以，所以（1）错误；
将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），设曲线上任意一点设为，扩大后的坐标设为，所以，所以，因为在上，所以，所以化简后为：，表示以原点为圆心，半径为2的圆，所以（2）正确；
设直线为：，所以联立得：，
即，
，所以
，因为，所以
当时，，所以（4）错误；
到直线直线：的距离为：，
，当且仅当时取等，即时取等，故（3）正确.
故选：（2）（3）.
25．
【分析】根据题意，设出两点坐标，利用点到直线的距离公式，求得距离之和的表达式，结合点在椭圆上坐标满足椭圆方程，利用柯西不等式即可求得距离之和的最大值；联立椭圆方程和，求得两点坐标，即可求得，则四边形的面积可得.
【详解】根据题意，作图如下：
不妨设，则，
故到直线的距离之和
因为点是椭圆上位于第一象限的点，根据直线划分平面，以及点位于直线的右上侧，
故可得：，且，
则.
又因为点在椭圆上，故，
由柯西不等式可得：，
即，解得，当且仅当时取得等号.
故；
联立椭圆方程与直线方程，
可得，解得，
故可得.
故四边形的面积.
故答案为：；.
【点睛】本题考查椭圆中四边形面积的求解，涉及椭圆中范围问题的求解，涉及柯西不等式的利用，属综合中档题.
26．
【分析】由椭圆标准方程即可得右焦点为的坐标，由， 利用两点距离公式，结合椭圆方程即有，应用导数研究函数的单调性，即可求得其最小值，进而得到横坐标x的值
【详解】由椭圆方程知：右焦点的坐标为(1,0)
由题意，知：，，令，
则
令，则
当有，即单调递减；
当有，即单调递增，而有
∴当时，有最小值，即最小
故答案为：；
【点睛】本题考查了椭圆，根据标准方程求焦点坐标，利用两点距离公式并结合椭圆方程可得关于关于动点横坐标的函数式，应用导数研究其单调性求最值并确定横坐标值
27．(1)
(2)
【分析】（1）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，根据已知条件可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知可得，可得出，令，根据二次函数的零点分布可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围.
（1）
解：当，时，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，所以，，，
即点，由已知可得，解得.
（2）
解：因为存在正实数，使得以为直径的圆经过点，且，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，
易得，，同理可得，
因为，
所以，
所以，
化简得，
令，则函数的对称轴为直线，
若方程有正根，则，又因为，解得.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
28．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，结合双曲线的定义，即可求解；
（2）设直线方程为，联立方程组求得，利用弦长公式和，求得或，结合向量的数量积的运算公式，化简得到，进而求得其范围，即可求解．
（1）
解：依题意，P是平面上的动点，且点与的距离之差的绝对值为．
即，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹E是以为焦点，
其中，所以，则，
所以轨迹的方程为．
（2）
解：设直线方程为，点，
联立方程组，整理得，
可得且．
由弦长公式，可得
因为，可得，解得或
因为，
所以
，
因为或，所以，
所以的取值范围是．
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据通径，直接求得，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；
（2）通过对转化为，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）依题意，，当l垂直于x轴时，，
即，即，
解得，，因此；
（2）设，联立双曲线方程，
得：，
当时，，
，
当时，设，
因为直线与双曲线右支相交，
因此，即，同理可得，
依题意，
同理可得，，
而，
代入，，
，
分离参数得，，
因为，
当时，由，
，
所以，
综上可知，的取值范围为.
30．(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3)
【分析】（1）先求得两点坐标，进而可得直线的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点坐标；
（2）假设存在符合条件的点，列方程去求点坐标，再以点在椭圆内部去判别是否存在；
（3）先求得的表达式，再去求的值域，进而求得的取值范围．
（1）
由点和点在椭圆上
可得，，则直线方程为，
又点在直线上，则，解之得，则
（2）
椭圆的两焦点
假设存在一个点，满足，
则点一定在双曲线的左半支上，
由，可得
又，则，
又因为点在椭圆内部，所以，得
所以满足条件的点不存在．
（3）
两点、和在椭圆上，
点在椭圆内部，
则直线的方程为，
点到直线的距离
则，
同理直线的方程为，
点到直线的距离
则
令，则
由，可得，，，即
由，可得，，，即
综上，的取值范围为
则的取值范围为
31．(1)
(2)
【分析】(1)由条件列方程求，可得椭圆方程；(2) 设直线的方程为，利用设而不求法求出的面积的解析式，再求其最值.
（1）
由题意得，
故椭圆的标准方程为；
（2）
设直线的方程为，则
，，
，设，
，
当时，
当到的距离最大时，点在第二象限且过点的切线正好与平行，
设切线方程为，，
，
由得，此时，
到的距离最大为，
故的面积，
则，
故，当且仅当时取等号.
当时，
当到的距离最大时，点在第四象限且过点的切线正好与平行，
设切线方程为，，
，
由得，此时，
到的距离最大为，
故的面积，
则，
故，当且仅当时取等号.
所以的面积的最大值为.
【点睛】解决直线与椭圆的三角形面积问题的关键在于利用设而不求法表示三角形的面积，再利用基本不等式或导数求其最值.
32．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标；
（2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可；
（3）设，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得即可确定的最小值．
【详解】（1）解：由题意可得，所以，
的中点在轴上，
的纵坐标为，代入得；
（2）解：由直线方程可知，，
①若，则，即，
，
.
②若，则，
，，
，，即，
，.
综上，或；
（3）解：设，结合已知条件，由椭圆的定义及点到直线距离公式可得，
显然椭圆在直线的左下方，则，即，
，，即，
，整理可得，即，
，即的最小值为．
相关试卷
圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题： 这是一份圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题，文件包含圆锥曲线的方程及计算证明最值与范围问题-解析1pdf、圆锥曲线的方程及计算证明最值与范围问题-学生版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
专题30 圆锥曲线中的最值、范围问题： 这是一份专题30 圆锥曲线中的最值、范围问题，共140页。
专题14 圆锥曲线常考题型02——圆锥曲线中的范围、最值问题 （解析版)： 这是一份专题14 圆锥曲线常考题型02——圆锥曲线中的范围、最值问题 （解析版)，共17页。
