全称量词命题和存在量词命题的否定

[A级　新教材落实与巩固]

一、选择题

1．命题p：∃x>0，3x－4>0，则命题p的否定为(　D　)

A．∃x>0，3x－4≤0

B．∀x≤0，3x－4≤0

C．∀x>0，3x－4<0

D．∀x>0，3x－4≤0

2．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“  p”形式的命题是(　C　)

A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根

3．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为(　C　)

A．所有实数的平方都不是正数

B．有的实数的平方是正数

C．至少有一个实数的平方不是正数

D．至少有一个实数的平方是正数

4．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　C　)

A．命题p的否定是：∃x∈R，x2＋1≠0

B．命题p的否定是：∀x∈R，x2＋1＝0

C．p是真命题，命题p的否定是假命题

D．p是假命题，命题p的否定是真命题

5．已知命题p：∀x∈R，2x2<1，命题q：∃a∈R，函数y＝x2－x＋a的图象与x轴有交点，则下列判断正确的是(　D　)

A．p是真命题　　　　　B．q是假命题

C．p是假命题    D．q是假命题

【解析】 在命题p中，当x＝1时，2x2＝2，故p为假命题；在命题q中，当a＝0时，函数y＝x2－x的图象与x轴有交点，故q为真命题，则q是假命题．故选D.

6．下列命题的否定为假命题的是(　A　)

A．∀x∈R，－x2≤0

B．∀x∈R，|x|>x

C．∀x，y∈Z，2x－5y≠12

D．∃x∈R，＋＋1＝0

【解析】 命题的否定为假命题，即原命题为真命题．选项A中，因为x2≥0，所以命题为真命题；选项B中，x＝0时，|x|＝x，所以命题是假命题；选项C中，x＝6，y＝0时，2x－5y＝12，所以命题为假命题；选项D中，＋＋1＝＋>0对x∈R且x≠0恒成立，命题为假命题．故选A.

二、填空题

7．命题“存在实数x，使x>1”的否定是__对任意实数x，都有x≤1__．

8．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是__对任意正实数x，都有x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0__．

9．命题“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为__存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根__．

10．已知命题p：“∃x∈R，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为__－2≤a≤2__．

【解析】 因为命题p为假命题，则它的否定为“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”是真命题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2.

三、解答题

11．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)正方形都是菱形；

(2)∃x∈R，使4x－3>x；

(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；

(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．

解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．

(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．

(3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．

(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．

[B级　素养养成与评价]

12．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则p为(　D　)

A．∀x∈A，2x∈B

B．∀x∉A，2x∉B

C．∀x∉A，2x∈B

D．∃x∈A，2x∉B

【解析】 命题p：∀x∈A，2x∈B是全称量词命题，其命题的否定p应为∃x∈A，2x∉B，故选D.

13．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　D　)

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

【解析】 原命题是全称量词命题，其否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．

14．若“∃x∈R，x2＋4x<m”是假命题，求实数m的取值范围．

解：∵“∃x∈R，x2＋4x<m”是假命题，∴“∀x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，

∴不等式x2＋4x－m≥0对于任意实数x恒成立，

∴Δ＝16＋4m≤0，解得m≤－4，

∴实数m的取值范围为m≤－4.

15．已知命题p：∀x∈，a－2x≥0，命题q：∃x∈R，x2＋x＋2a－1＝0，若p为真命题，q是假命题，求实数a的取值范围．

解：p为真命题，q是假命题

⇔

所以

解得a≥1，所以实数a的取值范围是a≥1.