高中数学湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.3 三角函数的图象与性质练习题

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1．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，那么cs α等于( )
A．－eq \f(2,5) B．－eq \f(1,5)
C.eq \f(1,5) D．eq \f(2,5)
解析：选C sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝eq \f(1,5).
2．化简sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))的结果是( )
A．1 B．sin2α
C．－cs2α D．－1
解析：选C 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))＝－sin α，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))＝eq \f(cs α,sin α)，所以原式＝cs α(－sin α)eq \f(cs α,sin α)＝－cs2α，故选C.
3．已知tan θ＝2，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－θ)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－θ)))＝( )
A．2 B．－2
C．0 D．eq \f(1,2)
解析：选D ∵eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－cs（π－θ）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＋sin（π－θ）)＝eq \f(cs θ＋cs θ,sin θ＋sin θ)＝eq \f(1,tan θ)，又∵tan θ＝2，∴原式＝eq \f(1,2)，故选D.
4．已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cs α，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2 021π,2)))＝( )
A．－eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．eq \f(1,3)
解析：选C ∵3sin2α＝8cs α，∴sin2α＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3sin2α,8)))eq \s\up12(2)＝
1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，
解得sin2α＝eq \f(8,9)或sin2α＝－8(舍去)．
又∵α是第四象限角，
∴sin α＝－eq \f(2\r(2),3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2 021π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋1 010π＋\f(π,2)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin α＝eq \f(2\r(2),3).
5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cs(A＋B)＝cs C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cseq \f(A＋C,2)＝sin B D．sineq \f(B＋C,2)＝cseq \f(A,2)
解析：选D ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cs(A＋B)＝－cs C，sin(A＋B)＝sin C，故A、B错．
∵A＋C＝π－B，∴eq \f(A＋C,2)＝eq \f(π－B,2)，
∴cseq \f(A＋C,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(B,2)))＝sineq \f(B,2)，故C错．
∵B＋C＝π－A，∴sineq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cseq \f(A,2)，故D正确．
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,2)))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(\r(3),2)，则tan(2 020π－α)＝________．
解析：由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(\r(3),2)得sin α＝－eq \f(\r(3),2)，
又0<α所以cs α＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝－eq \f(1,2)，tan α＝eq \r(3).
所以tan(2 020π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－eq \r(3).
答案：－eq \r(3)
7．sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝________．
解析：sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋sin2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))))＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝1.
答案：1
8．化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))的结果为________．
解析：原式＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α)))·(－sin α)·eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·(－sin α)·eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin α,cs α)·(－sin α)·eq \f(cs α,sin α)＝－sin α.
答案：－sin α
9．在①角α的终边经过点P(4m，－3m)(m≠0)；②taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝eq \f(3,4)；③3sin α＋4cs α＝0，这三个条件中任选一个，求sin2α－sin αcs α－2cs2α的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：sin2α－sin αcs α－2cs2α
＝eq \f(sin2α－sin αcs α－2cs2α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(tan2α－tan α－2,tan2α＋1)，
若选①：角α的终边经过点P(4m，－3m)(m≠0)；
可得tan α＝eq \f(－3m,4m)＝－eq \f(3,4)，
原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))\s\up12(2)＋\f(3,4)－2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))\s\up12(2)＋1)＝－eq \f(11,25).
若选②：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝eq \f(3,4)，可得tan α＝eq \f(4,3)，
原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))\s\up12(2)－\f(4,3)－2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))\s\up12(2)＋1)＝－eq \f(14,25).
若选③：3sin α＋4cs α＝0，tan α＝－eq \f(4,3)，
原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))\s\up12(2)＋\f(4,3)－2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))\s\up12(2)＋1)＝eq \f(2,5).
10．化简：(1)eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),cs（π＋α）)＋eq \f(sin（π－α）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin（π＋α）)；
(2)eq \f(tan（3π－α）,sin（π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)))＋eq \f(sin（2π－α）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(7π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))cs（2π＋α）).
解：(1)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α，
cs(π＋α)＝－cs α，sin(π－α)＝sin α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，
∴原式＝eq \f(cs α·sin α,－cs α)＋eq \f(sin α·（－sin α）,－sin α)＝－sin α＋sin α＝0.
(2)∵tan(3π－α)＝－tan α，
sin(π－α)＝sin α，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cs α，sin(2π－α)＝－sin α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(7π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π－\f(π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝－cs α，cs(2π＋α)＝cs α，
∴原式＝eq \f(－tan α,sin α（－cs α）)＋eq \f(（－sin α）（－sin α）,（－cs α）·cs α)
＝eq \f(1,cs2α)－eq \f(sin2α,cs2α)＝eq \f(1－sin2α,cs2α)
＝eq \f(cs2α,cs2α)＝1.
[B级 综合运用]
11．如果f(sin x)＝cs 2x，那么f(cs x)的值为( )
A．－sin 2x B．sin 2x
C．－cs 2x D．cs 2x
解析：选C f(cs x)＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs(π－2x)＝－cs 2x.
12．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89 B．90
C.eq \f(89,2) D．45
解析：选C ∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cs21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cs22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cs244°＋cs243°＋…＋cs23°＋cs22°＋cs21°＝44＋eq \f(1,2)＝eq \f(89,2).
13．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))的值为________．
解析：因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＝π，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(π,2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))
＝eq \f(1,3)＋1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(4,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(11,9).
答案： eq \f(11,9)
14．是否存在角α，β，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件，
则由题可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β， ①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β， ②))
①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2.
∴cs2α＝eq \f(1,2)，∴cs α＝±eq \f(\r(2),2).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴cs α＝eq \f(\r(2),2).
由cs α＝eq \f(\r(2),2)，eq \r(3)cs α＝eq \r(2)cs β，得cs β＝eq \f(\r(3),2).
∵β∈(0，π)，∴β＝eq \f(π,6).
∴sin β＝eq \f(1,2)，结合①可知sin α＝eq \f(\r(2),2)，则α＝eq \f(π,4).
故存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．
[C级 拓展探究]
15．已知A，B，C为△ABC的内角．
(1)求证：cs2eq \f(A＋B,2)＋cs2eq \f(C,2)＝1；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．
证明：(1)∵在△ABC中，A＋B＝π－C，∴eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)，
∴cseq \f(A＋B,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq \f(C,2)，
∴cs2eq \f(A＋B,2)＋cs2eq \f(C,2)＝sin2eq \f(C,2)＋cs2eq \f(C,2)＝1.
(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
∴－sin A·(－cs B)·tan C＜0，即sin Acs Btan C＜0.
又A，B，C∈(0，π)，∴sin A＞0，∴cs Btan C＜0，
即cs B＜0，tan C＞0或tan C＜0，cs B＞0，
∴B为钝角或C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．