2021学年6.3 实数学案及答案

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知识回顾
★★实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数：有理数正有理数0负有理数无理数正无理数负无理数 或 实数：正实数0负实数
★★实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．


类型一：实数的有关概念及其性质
◎【典例一】◎（2021春•禹王台区校级月考）−2的相反数是 ，π2的相反数是 ，−3绝对值是 ．
【答案】2，−π2，3．
【分析】根据相反数和绝对值的定义计算即可．
【解答】解；−2的相反数是2，π2的相反数是−π2，−3的绝对值是3．
故答案为：2，−π2，3．
■【变式1】下列说法正确的是（ ）
A.有理数、无理数和0统称为实数；
B.实数分为正实数和负实数两类；
C.无理数包括正无理数、负无理数和0；
D.绝对值最小的实数是0 .
【答案】D.
【分析】根据实数的分类，无理数的分类，绝对值的定义解答即可．
【解答】解：A.有理数和无理数统称为实数，原说法错误，故此选项不符合题意；
B.实数分为正实数、负实数和0三类，原说法错误，故此选项不符合题意；
C.无理数包括正无理数和负无理数，原说法错误，故此选项不符合题意；
D.由绝对值的性质可知，绝对值最小的实数是0，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
■【变式2】（2021秋•玄武区校级月考）在9.3，﹣24，0，﹣0.33，0.333…，141421356，2π，3.3030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0），﹣3.1415中属于整数集合的有 ，属于负分数集合的有 ，属于无理数集合的有 ．
【分析】根据实数的分类标准解决此题．
【解答】解：根据整数的定义，整数有﹣24、0；
根据负分数的定义，负分数有﹣0.33；
根据无理数的定义，无理数有2π、3.3030030003…．
故答案为：﹣24、0；﹣0.33；2π、3.3030030003…．
■【变式3】 （2021春•西乡塘区校级月考）已知实数m，n互为倒数，且|m|＝1，则m2﹣2mn的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．0D．1
【答案】A
【分析】直接利用互为倒数的定义得出mn＝1，再利用绝对值的性质得出m2＝1，进而得出答案．
【解答】解：∵实数m，n互为倒数，
∴mn＝1，
∵|m|＝1，∴m2＝1，
∴m2﹣2mn＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
●方法归纳●
无理数常见的三种类型：
（1）开方开不尽的数，如2，3，35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．
类型二：实数的运算
◎【典例二】◎（2022春•源汇区校级月考）计算：
（1）38+(−2)2−14； （2）25−3−8+1.21−3−16164．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）38+(−2)2−14
＝2+2−12
=72；
（2）25−3−8+1.21−3−16164
＝5﹣（﹣2）+1.1﹣（−54）
＝5+2+1.1+1.25
＝9.35．
■【变式4】（2022•椒江区校级开学）计算：
（1）−12+3−27−2×9； （2）2(3−1)−|3−2|−3−64．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）−12+3−27−2×9
＝﹣1+（﹣3）﹣6
＝﹣4﹣6
＝﹣10；
（2）2(3−1)−|3−2|−3−64
＝23−2﹣2+3−（﹣4）
＝23−2﹣2+3+4
＝33．
●方法归纳●实数的运算
1.实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
2.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”：①运算法则，②运算顺序，③运算律的使用．
类型三：实数与数轴
◎【典例三】◎（2022春•赵县月考）如图所示，数轴上表示1，2的对应点分别为A，B，沿过点A的直线折叠，点B落在数轴上点C处，设点C所表示的数为x，求x的值．
【分析】根据沿过点A的直线折叠，点B落在数轴上点C处，得出AC＝AB，结合图形，用B表示的数减去A表示的数求出AB的长，同理求出AC的长，即可得到x的值．
【解答】解：∵沿过点A的直线折叠，点B落在数轴上点C处，
∴AC＝AB，
∵点A、B表示的数为1、2，
∴AB=2−1，
∴AC＝1﹣x=2−1，
∴x＝2−2．
■【变式5】（2021秋•朝天区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
（1）比较大小：a 0，b 0，|b| |c|；（填“＞”或“＜”）
（2）若a是最大的负整数，a与b互为相反数，c到原点的距离为3，求﹣2（a+c）﹣b的值．
【分析】（1）根据有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置即可判断；
（2）根据题意可得：a＝﹣1，b＝1，c＝﹣3，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
c＜a＜0＜b，
∴a＜0，b＞0，|b|＜|c|，
故答案为：＜，＞，＜；
（2）因为a是最大的负整数，a与b互为相反数，c到原点的距离为3，
所以a＝﹣1，a+b＝0，|c|＝3，
所以b＝1，c＝±3．
又因为c＜0，
所以c＝﹣3，
所以﹣2（a+c）﹣b＝﹣2×（﹣1﹣3）﹣1＝7，
所以﹣2（a+c）﹣b的值为7．
■【变式6】（2021秋•垦利区期末）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|+1的值．
【分析】（1）根据数轴表示数的意义即可求出答案；
（2）将m的值代入，再根据绝对值的意义进行计算即可．
【解答】解：（1）∵点A表示−2，
∴点B所表示的数为−2+2，
即：m=−2+2；
（2）∵m=−2+2
∴原式=|−2+2−1|+1
=|−2+1|+1
=2−1+1
=2．
●方法归纳●实数与数轴
1.实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
2.在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
3.利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.

复 习 专 题 突 破 练
基础练
1．﹣的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ．
【答案】9，，9；
【分析】根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义，可得答案．
【解答】解：﹣的相反数是 9，倒数是﹣，绝对值是 9，
故答案为：9，，9．
2．在−π3，−2，227，−214，38，0.3232，33，0，﹣213中，有理数有 个，负无理数有 个．
【答案】6，2．
【分析】根据有理数和无理数的概念来分析即可．
【解答】解：∵227=3.1⋅4⋅2⋅8⋅5⋅7⋅，−214=−32，38=2，−213=−2.3⋅
∴有理数有227，−214，38，0.3232，0，−213，共6个；
负无理数有−π3，−2，共2个．
故答案填6，2．
3．（2021秋•渌口区期末）四个实数5，0，8，3，中，最大的无理数是（ ）
A．3B．0C．8D．5
【答案】C．
【分析】将两个无理数进行比较大小即可，根号下的数比较大小即可．
【解答】解：5和0为有理数，先排除，
∵8＞3，
∴8＞3，
∴最大的无理数为8．
故选：C．
4．（2021秋•成都期末）下列说法正确的是（ ）
A．不带根号的数都是有理数； B．两个无理数的和还是无理数；
C．平方根等于本身的数是0； D．立方根等于本身的数是0.
【答案】C．
【分析】依据有理数的概念，无理数的意义，平方根和立方根的概念，对于错误的说法，利用举出反例说明其不正确的方法解答即可．
【解答】解：∵π不带根号，但π是无理数，∴不带根号的数都是有理数的说法错误，∴A选项不正确；
∵2+(−2)=0，∴两个无理数的和还是无理数的说法错误，∴B选项不正确；
∵0的平方根等于0，∴平方根等于本身的数是0的说法正确，∴C选项正确；
∵1的立方根等于1，﹣1的立方根等于﹣1，∴立方根等于本身的数是0或1或﹣1，∴D选项说法不正确．
综上，说法正确的是：平方根等于本身的数是0，
故选：C．
5．（2021秋•海阳市期末）下列计算正确的是（ ）
A．9=±3B．3−27=−3C．(−3)2=−3D．32+22=5
【答案】B．
【分析】根据算术平方根的含义和求法，立方根的含义和求法，有理数的乘方的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵9=3，∴选项A不符合题意；
∵3−27=−3，∴选项B符合题意；
∵(−3)2=3，∴选项C不符合题意；
∵32+22=13，∴选项D不符合题意．
故选：B．
6．（2021秋•惠州期末）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中①b+c＞0；
②a+b＞a+c；③bc＜ac；④ab＞ac正确的有 （填序号）．
【答案】②④．
【分析】根据有理数的加法法则判断①；根据不等式的基本性质判断②③④即可得出答案．
【解答】解：∵b＞0，c＜0，|b|＜|c|，
∴b+c＜0，故①不符合题意；
∵b＞c，
∴a+b＞a+c，故②符合题意；
∵b＜a，c＜0，
∴bc＞ac，故③不符合题意；
∵b＞c，a＞0，
∴ab＞ac，故④符合题意；
故答案为：②④．
7．把下列各数分别填入相应的集合里．
﹣3.1415926，0，，π，﹣，，﹣，﹣1.414，，﹣0.2121121112…（每相邻两个2之间依次多一个1）
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
负实数集合：{ …}．
【分析】实数包括有理数和无理数，根据概念填空即可．
【解答】解：有理数集合：{﹣3.1415926，0，﹣，，﹣，﹣1.414}；
无理数集合：{，π，，﹣0.2121121112…（每相邻两个2之间依次多一个1）}；
负实数集合：{﹣3.1415926，﹣，﹣，﹣1.414，﹣0.2121121112…（每相邻两个2之间依次多一个1）}；
故答案为：﹣3.1415926，0，﹣，，﹣，﹣1.414；，π，，﹣0.2121121112…（每相邻两个2之间依次多一个1）；﹣3.1415926，﹣，﹣，﹣1.414，﹣0.2121121112…（每相邻两个2之间依次多一个1）．
8．比较下列各组数的大小；
（1）与； （2）﹣与﹣；
（3）5与； （4）与1.5．
【分析】（1）比较两数平方后的值，即可得出结论；（2）比较两数平方后的值，再结合绝对值大的
负数反而小即可得出结论；
（3）比较两数平方后的值，即可得出结论；（4）比较与4的平方，再结合实数的运算法则，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵12＜14，∴＜．
（2）∵5＜7，∴＜，∴﹣＞﹣．
（3）∵52＝25＞24＝，5＞．
（4）∵＝24＞16＝42，∴＞＝1.5．
提升练
9.（2021秋•滦南县期中）若31−2x和33x−5互为相反数，则（1−x）2018的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2018
【分析】根据题意，可得：（1﹣2x）+（3x﹣5）＝0，据此求出x的值，再把求出的x的值代入（1−x）2018计算即可．
【解答】解：∵31−2x和33x−5互为相反数，
∴（1﹣2x）+（3x﹣5）＝0，
解得：x＝4，
（1−x）2018
＝（1−4）2018
＝（1﹣2）2018
＝（﹣1）2018
＝1．
故选：B．
10．（2021春•巴南区校级月考）计算：
（1）(−1)2+(−2)3×18−3−27×(−19)； （2）|3−2|+2(3−1)+3−64．
【分析】（1）先利用有理数的乘方，立方根的意义，算术平方根的意义化简，再做乘除，最后作加减．
（2）利用绝对值的意义，立方根的意义化简，再合并二次根式即可．
【解答】解：（1）原式＝1+（﹣8）×18−（﹣3）×（−13）
＝1﹣1﹣1
＝﹣1；
（2）原式＝2−3+23−2﹣4
＝﹣4+3．
按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（ ）

A．a＝0，b＝3B．a＝1，b＝2C．a＝4，b＝1D．a＝9，b＝0
【答案】D；
【分析】对于每个选项，先判断a，b的大小，若a＜b，结果=a+b；若a＞b，结果=a−b．
【解答】解：A选项，∵0＜3，∴0+3=3，故该选项不符合题意；
B选项，∵1＜2，∴1+2=1+2，故该选项不符合题意；
C选项，∵4＞1，∴4−1=2﹣1＝1，故该选项不符合题意；
D选项，∵9＞0，∴9−0=3，故该选项符合题意；
故选：D．
12．（2021春•江油市期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示．化简：|a﹣b|﹣+（）2﹣2．
【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，求出a﹣b＞0，﹣b＞0，再根据绝对值，二次根式的性质，立方根进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
所以a﹣b＞0，﹣b＞0，
所以|a﹣b|﹣+（）2﹣2
＝a﹣b﹣a+（﹣b）﹣2b
＝a﹣b﹣a﹣b﹣2b
＝﹣4b，
故答案为：﹣4b．
13．（2021秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为49，
求代数式（a+b+cd）x+a+b−3cd的值．
【分析】根据题意可得a+b＝0，cd＝1，x＝±7，然后代入代数式求值即可．
【解答】解：49=7，
∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，∴cd＝1，
∵x的绝对值为49．∴x＝±7，
当x＝7时，原式＝（0+1）×7+0−31＝7﹣1＝6，
当x＝﹣7时，原式＝（0+1）×（﹣7）+0−31＝﹣7﹣1＝﹣8，
∴所求代数式的值为6或﹣8．
培优练
14．观察例题：∵即
∴的整数部分为2，小数部分为．
请你观察上述规律后解决下面的问题：
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分例如：，[3.14]＝3，按此规定[+1]＝ .
（2）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求|a|﹣|b|的值．
【分析】（1）估算出的取值范围可以得到答案；
(2)由例题看出，知道了一个数的取值范围可以求出它的整数部分和小数部分，的小数部分为
﹣1，的小数部分为﹣2，据此可以得到答案．
【解答】解：（1）因为3＜＜4，
所以[+1]＝4．
（2）因为1＜＜2，2＜＜3
所以的小数部分为a＝﹣1，的小数部分为b＝﹣2，
所以|a|﹣|b|＝﹣1﹣（﹣2）＝﹣+1．
15．（2021秋•诸暨市期末）定义：有A、B两只电子跳蚤在同一条数轴上跳动，它们在数轴上对应的实数分别为a、b．若实数a、b满足b＝3a+2时，则称A、B处于“和谐位置”，A、B之间的距离为“和谐距离”．
（1）当A在原点位置，且A、B处于“和谐位置”时，“和谐距离”为 ．
（2）当A、B之间的“和谐距离”为2022时，求a、b的值．
【分析】（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和谐距离为2；
（2）根据A，B的和谐距离为2022列出方程即可求解．
【解答】解：（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，
所以和谐距离为2；
故答案为：2；
（2）∵A，B处于和谐位置，
∴b＝3a+2，
∴|AB|＝|b﹣a|＝|2a+2|＝2022，
∴2a+2＝±2022，
∴a＝1010，b＝3032或a＝﹣1012，b＝﹣3034．