初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除综合与测试单元测试同步达标检测题

北师大版初中数学七年级下册第一单元《整式的乘除》单元测试卷（标准）

考试范围：第一章；考试时间：100分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若，则的值为

A.  B.  C.  D.

2. 已知，，，均为正数，且，，，，那么，，，中最大的数是   

A.  B.  C.  D.

3. 下面四个整式中，不能表示下图中阴影部分面积的是   

A.
B.
C.
D.

4. 已知，，，，则比较、、、的大小结果是 

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，则   

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是

A.  B.
C.  D.

7. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，即，均为“和谐数”，在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为．

A.  B.  C.  D.

8. 若，则的值是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，将剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形不重叠且无缝隙，则长方形的面积为   

A.  B.  C.  D.

10. 如图是一个边长分别为，的长方形纸片，沿长方形纸片的两条对称轴剪开，得到四块形状和大小都相同的小长方形，拼成如图所示的一个正方形，则中间空白部分的面积是

A.  B.  C.  D.

11. 某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于：：：，各基地之间的距离之比：：：：：：：：因条件限制，只有图示中的五条运输渠道，当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为
     

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

12. 小亮在计算时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是   

A.  B.  C.  D. 无法计算

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知，则的值等于      ．
14. 如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形阴影部分的面积，验证了一个等式是          ．
     

15. 某种细胞的平均半径是，用科学记数法可表示为______
16. 我们知道，同底数幂的乘法法则为其中，、为正整数，类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：：比如，则，若，则的结果是_________．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 已知，求的值．       已知为正整数，且，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 若求的值；

规定．

求的值；

若，求的值．






 

19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 小明将一个底为正方形、高为的无盖盒子展开，如图所示，测得其边长为．
    
    
     

请你计算无盖盒子的表面展开图的面积即图中阴影部分的面积；

将阴影部分拼成一个长方形，如图所示，这个长方形的长和宽分别是多少？长方形面积是多少？

比较，的结果，你得出什么结论？






 

21. 已知，都是正实数，且满足，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 张长为，宽为的长方形纸片，按如图甲的方式拼成一个边长为的正方形．

学习整式的乘法时可以发现：我们常用两种不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图甲所示，得到的等式为________．

如图乙，空白部分的面积为，阴影部分的面积为．

求和结果用含，的代数式表示

若，求与之间的数量关系．






 

23. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
24. 小王家买了一套新房，其结构如图所示单位：他打算将卧室铺上木地板，其余部分铺上地砖．
    
    木地板和地砖分别需要多少平方米？
    如果地砖的价格为每平方米元，木地板的价格为每平方米元，那么小王一共需要花多少钱？
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】分析
本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法法则计算即可．
详解
解：因为，所以，
所以，
故选B．
 

2.【答案】
 

【解析】略
 

3.【答案】
 

【解析】略
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是数记相应的运算法则并灵活运用．
利用幂的乘方的法则对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行运算即可．
【解答】
解：，，
，，
．
  

6.【答案】
 

【解析】解：阴影部分的面积．
故选：．
根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积．
此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由，解得，
则在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为．
故选：．
由，解得，可得在不超过的正整数中，“和谐数”共有个，依此列式计算即可求解．
此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了完全平方公式在求值中的应用，解答此题由已知可得，然后将已知的等式两边同时除以，可得，然后将求的代数式配成完全平方式分解代入数值计算即可．
【解答】
解：由，得，由题知，不等于，两边同除得：，

又知，

将代入得，

原式．

故选B．

9.【答案】
 

【解析】解：矩形的面积为：
．
答：长方形的面积是．
故选D．
此题考查了图形的剪拼及完全平方公式．利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意完全平方公式的运用．据此解答．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

先求出一个小长方形的长和宽，再求出拼成的正方形的边长，然后根据空白部分的边长，再根据正方形的面积公式列式即可．

【详解】

解：分成的四块小长方形形状和大小都一样，

每一个小长方形的长为，宽为，

中间空的部分正方形的边长为，

中间空的部分的面积．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何背景，观察图形表示出空白部分正方形的边长是解题的关键．

11.【答案】
 

【解析】解：甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于：：：，
设甲基地的产量为吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为吨、吨、吨，
各基地之间的距离之比：：：：：：：：，
设千米，则、、、分别为千米、千米、千米、千米，
设运输的运费每吨为元千米，
设在甲处建总仓库，
则运费最少为：；
设在乙处建总仓库，
，，
，
则运费最少为：；
设在丙处建总仓库，
则运费最少为：；
设在丁处建总仓库，
则运费最少为：；
由以上可得建在甲处最合适，
故选：．
设甲基地的产量为吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为吨、吨、吨，设千米，则、、、分别为千米、千米、千米、千米，设运输的运费每吨为元千米，
设在甲处建总仓库，则运费最少为：；
设在乙处建总仓库，则运费最少为：；
设在丙处建总仓库，则运费最少为：；
设在丁处建总仓库，则运费最少为：；
进行比较运费最少的即可．
本题考查了整式运算的应用；设出未知数，表示出各个运费是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】正确结果：原式，
错误结果：原式 ，
，故选C．
 

13.【答案】 
 

【解析】略
 

14.【答案】
 

【解析】解：左边图形中，阴影部分的面积，
右边图形中，阴影部分的面积，
两个图形中的阴影部分的面积相等，
．
故答案为：．
分别表示出两个图形中的阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解．
本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了新定义运算，同底数幂的乘法，关键是正确理解新定义把新运算化成常规运算．根据新的运算定义，将原式化成，再根据同底数幂的乘法计算即可．
【解答】
解：
，
故答案为：．  

17.【答案】解：，
；
解：，且为正整数，
．
 

【解析】本题考查积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的乘法．
把原式化为，把代入计算；
根据幂的乘方的法则将式子中全部化为的形式，然后代入即可求解
 

18.【答案】解：

；

；

，

，

，

解得：．

【解析】此题主要考查整式的混合运算及整体代入法和代数式求值，先化简原式，再整体代入化简得结果求值．
主要考查新定义型问题．
根据规定求值解
根据规定化简，根据同底数幂的除法得到，再根据等式左右两边的底数相同，得到指数相等，构造一元一次方程求解．
 

19.【答案】解：原式，当时，原式．
 

【解析】略
 

20.【答案】解：无盖纸盒的表面展开图的面积；
长是：，宽是：，则面积；
，验证了平方差公式．
 

【解析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
大正方形的面积与小正方形的面积的差；
利用矩形的面积公式即可求解；
根据表示的面积相等即可得到．
 

21.【答案】解：，

．

．

，都是正实数，．．

．

，
的最小值是．

【解析】此题考查了配方法的应用和因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．已知等式左边变形后，分解因式得到，然后根据条件可得，整理可得关于的代数式，利用配方法即可求出最小值．
 

22.【答案】解：甲图中大正方形的边长为，小正方形的边长为，
三个代数式之间的等量关系是：；
，
，
由结果，可得，
，
整理得，，
即，
，
 

【解析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据大正方形的面积小正方形的面积小长方形的面积得出三个代数式之间的等量关系是解题的关键．
根据大正方形的面积小正方形的面积小长方形的面积即可得出三个代数式之间的等量关系；
根据题目条件用、的代数式分别表示，即可
由题意列式并整理即可．
 

23.【答案】解：原式

，
当，时，原式．
 

【解析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

24.【答案】解：木地板的面积为
平方米；
地砖的面积为平方米；
元，
答：小王一共需要花元钱．
 

【解析】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
根据矩形的面积公式将卧室和卧室的面积相加可得卧室的面积，用大矩形的面积减去卧室的面积可得其余部分的面积；
用面积乘以单价，再相加即可得．