专题14 圆（二）-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版）

专题14 圆（二）

与圆有关的位置关系、正多边形与圆、弧长及扇形面积

【母题来源】2021年中考广东广州卷

【母题题文1】（2021·广东广州·中考真题）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（    ）

A． B． C． D．

【母题来源】2021年中考广东卷

【母题题文2】（2021·广东·中考真题）如图，等腰直角三角形中，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为____________．

【母题来源】2021年中考广东卷

【母题题文3】（2021·广东·中考真题）如图，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且．

（1）求证：；

（2）求证：以为直径的圆与相切；

（3）若，求的面积．

【母题来源】2020年中考广东卷

【母题题文4】（2020·广东·中考真题）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．

（1）求证：直线与相切；

（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值．

考点一、与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

设点与圆心的距离为，圆的半径为，

则点在圆外；     点在圆上；   点在圆内．

②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．  一个三角形有且只有一个外接圆．

③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．

要点：

(1)圆的确定：

①过一点的圆有无数个，如图所示．

②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．

③经过在同一直线上的三点不能作圆．

④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．

    (2)三角形的外接圆

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．

2.直线与圆的位置关系

①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．

①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，

则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．

    ②圆的切线．

    切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．

    切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

    切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．

    切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．

要点：

找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．

三角形外心、内心有关知识比较

①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．

②三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．

三角形的内心到三角形三边的距离相等．

3.圆与圆的位置关系

在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．

①圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．

    设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离

                                            两圆外切

                                            两圆相交

                                            两圆内切

                                         两圆内含

②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴．

由对称性知：两圆相切，连心线经过切点．两圆相交，连心线垂直平分公共弦．

③两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．

两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线．

两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线．

④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长． 

要点：

①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．

    ②同心圆是内含的特殊情况．

    ③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．

    ④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．

考点二、正多边形和圆

1.正多边形的有关概念

    正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于．

要点：

通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．

2.正多边形的性质

    任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．

3.正多边形的有关计算

    定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．

正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算．

，，，

，，．

考点三、圆中的计算问题

 1.弧长公式：，其中为n°的圆心角所对弧的长，R为圆的半径．

2.扇形面积公式：，其中．圆心角所对的扇形的面积，另外．

3.圆锥的侧面积和全面积：

    圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．

    圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．

要点：

在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．

考点四、求阴影面积的几种常用方法

    (1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．

一、单选题

1．（2021·广东·珠海市九洲中学一模）的半径为2，则它的内接正四边形的边长为（    ）

A．2 B． C． D．4

2．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校一模）如图，正六边形内接于圆，半径为4，则这个正六边形的边心距为（    ）

A．2 B． C． D．

3．（2021·宁夏·银川市第三中学一模）如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）如图，▱ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·江苏·连云港市新海实验中学三模）如图，以BC为直径的⊙O与ABC的另两边分别相交于D、E，若∠A=60°，BC=6，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．3π

6．（2016·山东岱岳·一模）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（   ）

A．20° B．30° C．40° D．50°

7．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，是的直径，切于点，线段交于点，连接．若，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图，点E为Rt△ABC的直角边AC上一点，以CE为直径的半圆与斜边AB相切于点D，连结DE．若∠B＝70°，则∠CED为（    ）

A．70° B．65° C．55° D．35°

9．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（　　）

A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）

10．（2021·湖南·长沙市北雅中学二模）如图，△ABC中，，，，以AB上的一点O为圆心的圆与AC相切于点G，与BC交于D，E两点，连接DF，EF若，则弦DE的长是（    ）

A． B． C． D．

11．（2019·浙江温州·三模）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连结G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（　　）

A．6≤C≤6 B．3≤C≤3 C．3≤C≤6 D．3≤C≤6

12．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圆心角为60°，点D为 上一动点，P为线段BD上的一点，且PB＝2PD，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．（2021·江苏·高港实验学校二模）如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等于________．

14．（2020·江苏滨湖·模拟预测）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是_________．

15．（2021·河南·郑州外国语中学模拟预测）如图，AC的半圆O的一条弦，将弧AC沿弦AC为折线折叠后过圆心O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为 ________．

16．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若AD＝BD＝，∠BDC＝，则弧BC的长是_________．

17．（2021·重庆八中二模）在边长为的正方形OABC中，D为边BC上一点，且CD＝1，以O为圆心，OD为半径作圆，分别与OA、OC的延长线交于点E、F，则阴影部分的面积为________．

18．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）如图，在边长为6cm的正六边形中，点P在边AB上，连接PD、PE．则PDE的面积为______cm2．

19．（2021·江苏·常州实验初中二模）如图，AB为圆O的切线，点A为切点，OB交圆O于点C，点D在圆O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=25°，则∠B的度数为____．

20．（2021·山西孝义·二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R，圆内接正n边形的边长、面积分别为an，Sn，圆内接正2n边形边长、面积分别为a2n，S2n．刘徽用以下公式求出a2n和S2n．，．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为________．

21．（2021·河南·郑州外国语中学模拟预测）如图，已知A、B两点的坐标分别为(-8，0)、(0，8)，点C、F分别是直线x=5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD=______．

三、解答题

22．（2021·广东·珠海市紫荆中学桃园校区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径．

23．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．

（1）求证：AE为⊙O的切线；

（2）当BC＝4，AC＝6时，求线段BG的长．

24．（2021·广东·珠海市九洲中学三模）如图，在中，，以为直径作，在上一点，．

（1）求证：是的切线；

（2）过作分别与、和交于点、、，若，．求的半径长．

25．（2021·广东·江门市第二中学二模）是△ABC的外接圆，AC为的直径，过点A作的切线AP，过点O作AB的垂线分别交AP，AB于点P，D，连接PB．

（1）求证：PB与相切；

（2）延长AC，PB相交于点G，若，CG=2，求直径的长．

26．（2021·广东澄海·一模）如图，在中，为的直径，为上一点，是弧的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

27．（2021·广东·广州市第十六中学二模）如图，内接于半圆，是直径，过作直线，使，

（1）求证：是半圆的切线；

（2）作弧的中点，连结交于，过作于，交于．（尺规作图，并保留作图痕迹），并求证：．

（3）若，，求．

28．（2021·广东河源·一模）如图，在的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若，，求⊙O的半径．

29．（2021·广东·北大附中深圳南山分校三模）如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点．

（1）求证：直线是的切线；

（2）求证：；

（3）若的半径为2，，求图中阴影部分的面积．

30．（2021·广东花都·一模）已知抛物线的顶点为．

（1）当时，求点的坐标；

（2）经过探究发现，随着的变化，顶点在某直线上运动，直线与轴，轴分别交于，两点，求的面积；

（3）若抛物线与直线的另一交点为，以为直径的圆与坐标轴相切，求的值．

31．（2021·广东惠州·二模）如图，已知是的直径，是上一点（不与、重合），为的中点，过点作弦于，是延长线上一点，且．

（1）求证：是的切线；

（2）连接与相交于点，的延长线交于，求证：；

（3）若，试求的值．

32．（2021·广东·西南中学三模）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C，顶点为D，对称轴与x轴相交于点E．

（1）直接写出tan∠ABC的值　　；

（2）点P在射线ED上，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）点M在线段BC下方的抛物线上，当△MBC为锐角三角形时，求M点横坐标的取值范围．

33．（2021·广东·南山实验教育集团南海中学三模）如图，是的直径，点是上一点，点是延长线上一点，，是的弦，．

（1）求证：直线是的切线；

（2）若，求的半径；

（3）若于点，点为弧ABE上一点，连接，，，请找出，，之间的关系，并证明．

34．（2021·广东·珠海市九洲中学一模）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点．连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点．

（1）求证：直线是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求的值．

35．（2021·广东·珠海市紫荆中学一模）如图，在中，，为边上的一点，以为直径的⊙O交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点（不是直径），点为弦的中点，连接，恰好为⊙O的切线．

（1）求证：是⊙O的切线；

（2）若，，求四边形的面积．