专题13 圆（一）-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版）

专题13 圆（一）圆的有关概念及性质

【母题来源】2021年中考广东卷

【母题题文1】（2021·广东·中考真题）如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（    ）

A． B． C．1 D．2

【母题来源】2021年中考广东卷

【母题题文2】（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ）

A． B． C． D．1

【母题来源】2021年中考广东卷

【母题题文3】（2021·广东·中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．

【母题来源】2021年中考广东广州卷

【母题题文4】（2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．

【母题来源】2021年中考广东深圳卷

【母题题文5】（2021·广东深圳·中考真题）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【母题来源】2021年中考广东广州卷

【母题题文6】（2021·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点

（1）求A、B两点的坐标；

（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；

（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．

考点一、圆的有关概念

1. 圆的定义

如图所示，有两种定义方式：

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；

②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．

要点：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

2.与圆有关的概念

    ①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．

    ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．

③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作，．

    ④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如是半圆．

    ⑤劣弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．

    ⑥优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．

    ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．

    ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

    ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．

    ⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

    圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．

    圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角．

考点二、圆的有关性质

1.圆的对称性

    圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．

2.垂径定理

    ①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：

 要点：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．

    注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．

3.弧、弦、圆心角之间的关系

    ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

    ②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．

4.圆周角定理及推论

    ①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

    ②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

要点：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．

一、单选题

1．（2022·浙江长兴·九年级期末）下列说法正确的是（    ）

A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦

C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心

2．（2017·湖北武汉·中考模拟）过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（    ）

A．9cm B．6cm C．3cm D．cm

3．（2021·广东·珠海市文园中学三模）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（　　）

A．64° B．58° C．68° D．55°

4．（2022·广东天河·九年级期末）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法错误的是（　　）

A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内

C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外

5．（2021·湖南·台州市书生中学一模）如图，是的直径，弦，若的度数为，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

6．（2021·广东实验中学三模）如图，四边形内接于，如果，则的度数是（    ）

A．115° B．130° C．65° D．50°

7．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）如图，为的直径，为的一条弦，半径于点E，连接，，若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，AB为的直径，AC为的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若，，则DE=（    ）

A． B．5 C． D．

9．（2021·广东深圳·模拟预测）已知，，是等圆，内接于，点C，E分别在，上．如图，①以C为圆心，长为半径作弧交于点D，连接；②以E为圆心，长为半径作弧交于点F，连接；下面有四个结论：①；②；③；④，所有正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．（2021·广东华侨中学二模）如图，已知的半径为3，弦，为上一动点（点与点、不重合），连接并延长交于点，交于点，为上一点，当时，则的最大值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

二、填空题

11．（2022·广东天河·九年级期末）如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝_____．

12．（2021·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是_______（填序号）．

①半径不等的圆叫做同心圆；           ②优弧一定大于劣弧； 

③不同的圆中不可能有相等的弦；       ④直径是同一个圆中最长的弦．

13．（2021·黑龙江香坊·九年级期末）如图，为的直径，弦于点，，，则的长为________．

14．（2022·黑龙江前进·九年级期末）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为______．

15．（2021·浙江温州·九年级阶段练习）永嘉瓯北第一中学是一所百年老校，屹立在校门口的雕塑激励历届学子奋发向上．底座圆形图案中，AB是⊙O的直径，且BA＝BC，，DC∥AB，AC＝米，则该圆形图案的直径AB为_________米．

16．（2017·安徽·宣城市第六中学一模）如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为______

17．（2019·江苏扬州·一模）如图，在△ABC中，∠A70°，∠B55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，则的度数为________°．

18．（2015·广东番禺·中考模拟）如图，若是⊙的直径，是⊙的弦，∠ABD=58°，则 的度数为__________°．

19．（2021·广东·佛山市南海区石门实验学校一模）如图所示，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，的最小值为__________．

20．（2021·江苏建邺·一模）如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交、于点、，是线段上一点，若，，则__________．

三、解答题

21．（2021·广东天河·二模）如图，为半圆O的直径，且为半圆上的一点，．

（1）请用尺规作图在上作一点D，使得；（不写作法，保留痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接，若，求的面积．

22．（2021·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，延长至点，使，连接，和．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的半径．

23．（2021·广东番禺·一模）如图，中，是斜边的中线．

（1）尺规作图：画出以为直径的，与交于点，与交于点；

（2）若；，求的长：

（3）连接，交于点，若，求的值．

24．（2021·广东深圳·一模）如图，⊙是的外接圆，弦AE交BC于点D，且．

（1）求证：AB＝AC；

（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．

25．（2020·广东·模拟预测）在△ACD中，CD＝1，AC＝3．以AD为直径作⊙O，点C恰在圆上，点B为射线CD上一点，连接BA交⊙O于点E，连接CE交AD于点G，过点A作AF∥CD交DE的延长线于点F．

（1）若∠DAE＝30°，求DE的长；

（2）求证：△AEC∽△FAD；

（3）当△GEA∽△FAD时，求DF的长．

26．（2019·广东潮阳·一模）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．

（1）求证：DC=DP；

（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

27．（2020·广东·一模）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，∠CAF＝2∠B．

（1）求证：AE＝AC；

（2）若⊙O的半径为4，E是OB的中点，求EF的长．

28．（2019·广东·执信中学一模）已知AB是的直径，C，E是上的点，于点D，于点F，过点E作于点，延长EG交OA于点H．

（1）求证：；

（2）求证：．

29．（2020·广东韶关·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且＝，连接FB，FD，FD交AB于点N．

（1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径；

（2）求证：△BNF为等腰三角形；

（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON•OP＝OE•OM．

30．（2021·广东深圳·一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，连接OC，过点C作CF⊥AD，垂足为F．过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点G．

（1）若∠G=50°，求∠ACB的度数；

（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；

（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为，若求的值．

31．（2020·广东·福田翰林实验学校模拟预测）如图，已知点C在⊙O上，AC=AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．

（1）如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；

（2）求证：△PCD∽△ABC；

（3）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC=2时，求△BPC的周长．

32．（2021·广东·广州大学附属中学模拟预测）为的直径，点、为上的两个点，交于点，点在上，交于点，且．

（1）如图1．求证：．

（2）如图2．若平分．求证：．

（3）如图3．在（2）的条件下，连接，若，，求的长．

33．（2021·广东南海·一模）已知，内接于圆O，过点C作的垂线，垂足为点E，交圆O于点D．

（1）如图1，连接，求证：；

（2）如图2，过点O作的垂线，垂足为G，交于F，若，求证；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点M，过点B作的垂线交于点N，垂足为H，连接，若，，求的长．