专题12 二次函数压轴题-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版）

专题12 二次函数压轴题

【母题来源】2021年中考广东卷

【母题题文1】（2021·广东·中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【母题来源】2021年中考广东卷

【母题题文2】（2020·广东·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．

（1）求，的值；

（2）求直线的函数解析式；

（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．

【母题来源】2021年中考广东卷

【母题题文3】（2019·广东·中考真题）如图所示抛物线过点，点，且

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；

（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.

1、和最小，差最大   在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标。

在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标。

解决方案：识别模型，

A、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据问题同侧异侧相互转化”；

B、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最值）。

2、求面积最大  连接AC,在第四象限抛物线上找一点P，使得面积最大，求出P坐标。

解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重不漏）。】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲变量的最值问题转化为：”定值+变量的最值“

3、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，求出P坐标。或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．

解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的”直角边“”和“斜边”不确定而展开讨论。在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。

4、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，求出P坐标。

解决方案：分析同上4，在能组成△的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。

5、讨论平行四边形  1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。

解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。

6、相似三角形  问抛物线上是否存在一动点D，使得△ABD∽△ABC。

解决方案：从边的关系找相似（勿忘全等△）或从角的关系找相似，建立数量关系，解方程并验证是否合符题意。

7、与圆有关的问题【关系：由不在同一直线上的三点可确定唯一一个圆（三角形外接圆）且在直角坐标系中，三个不同的点可确定一条唯一的抛物线】：判断点与圆的位置关系；判断圆与直线的位置关系；判断圆与圆的位置关系；

解决方案：抓住圆的必要条件：圆心和半径，根据圆的性质，涉及到根与系数的关系（中点问题--->圆心有关）。

A、直线和圆的位置关系

B、圆换圆的位置关系

五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)

8、公式补充：平面内两点间距离公式：

（1）平面上两点之间的距离公式为     

．

（2）中点坐标公式：对于平面上两点，线段的中点是，则．
此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.

点到直线的距离公式：

点到直线的距离为.
此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离.

一、解答题

1．（2022·广东越秀·九年级期末）已知抛物线yx2+mx+m与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．

2．（2021·广东·西南中学三模）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C，顶点为D，对称轴与x轴相交于点E．

（1）直接写出tan∠ABC的值　　；

（2）点P在射线ED上，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）点M在线段BC下方的抛物线上，当△MBC为锐角三角形时，求M点横坐标的取值范围．

3．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；

（3）已知E，F分别是x轴和抛物线上的动点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的F点的坐标．

4．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点．

（1）求该拋物线的解析式；

（2）若点为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标；

（3）已知，分别是轴和拋物线上的动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，宜接写出所有符合条件的点的坐标．

5．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，在矩形ABCD中，BC=1，∠CBD=60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．

（1）求证：△ADE∽△CDF；

（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；

（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．

6．（2021·广东·珠海市紫荆中学一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）为轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，连接．

①点在线段上运动，若直角三角形，求点的坐标；

②点在轴的正半轴上运动，若，请直接写出的值．

7．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，，三点，且，点在抛物线上，轴．

（1）请求出抛物线的解析式．

（2）点为轴右侧抛物线上一点．

①如图①，若平分，交于点，求点的坐标．

②如图②，抛物线上一点的横坐标为2，直线交轴于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求点的坐标．

8．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）抛物线（，为常数，且）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．

（1）若点的横坐标为4，抛物线的对称轴为．

ⅰ）求该抛物线的函数表达式；

ⅱ）如图1，在直线上方的抛物线上取点，连接，交于点，若，求点的横坐标．

（2）如图2，当时，过点作的平行线，与轴交于点，将抛物线在直线上方的图象沿折叠，若折叠后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值．

9．（2021·广东·珠海市九洲中学三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的动点．

（1）求、、的值；

（2）连接、、，求面积的最大值；

（3）过作，垂足为，是否存在这样的点、，使得与相似，若存在，请写出所有符合条件的点坐标，并选其中一个写出证明过程；若不存在，请说明理由．

10．（2021·广东·江门市第二中学二模）如图1，抛物线与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．

（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；

（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；

（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB=2∠ACO，求点Q的坐标．

11．（2021·广东罗湖·三模）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A（0，2），C（2，0），点D是对角线AC上一点（不与A、C重合），连接BD，作DE⊥BD，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF．

（1）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长；若不存在，请说明理由；

（2）求证：；

（3）设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出当x取何值时，y有最小值？

12．（2020·广东·江义初中三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为点Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；

（3）探索：线段BM上是否存在点P，使PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

13．（2021·广东黄埔·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的二次函数解析式：

（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）如图2，点H是直线下方抛物线上的动点，连接，，当的面积最大时，求点H的坐标．

14．（2021·广东光明·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，其对称轴直线交轴于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，线段的两端点，都在抛物线上（点在对称轴左侧，点在对称轴右侧），且，求四边形面积的最大值和此时点的坐标；

（3）如图2，点是直线：上一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，确定点的坐标和的值．

15．（2021·广东罗湖·三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）直接写出抛物线的解析式：　　；

（2）点D为第一象限内抛物线上一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H，设点D横坐标为m．

①求DF+HF的最大值；

②连接EG，若∠GEH＝45°时，求m的值．

16．（2021·广东南沙·一模）已知，抛物线y＝mx2＋x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线1⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．

（1）求m的值和直线AC的解析式．

（2）若点D在运动过程中，AD＋CD取得最小值时，求此时n的值．

（3）若点△ADM的周长与△MNP的周长的比为5∶6时，求AE＋CE的最小值．

17．（2021·广东东莞·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点、，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使得点的对应点恰好落在对角线上，交于点．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）求点的坐标；

（3）如图2，矩形从点出发，沿方向移动，得到矩形，当移动到点与点重合时，停止运动，设矩形与重叠部分的面积为，，求关于的函数关系式．

18．（2021·广东南海·二模）如图1，抛物线与轴交于、两点，点、分别位于原点左、右两侧，且，过点的直线交轴于点．

（1）求、、的值；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点为线段上一点，连接，求的最小值．

19．（2021·广东龙岗·二模）如图1，直线：与轴、轴分别交于、两点，二次函数的图像经过点，交轴于点．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）已知点是抛物线上的一个动点，经过点作轴的垂线，交直线于点，过点作，垂足为，连接．设点的横坐标为．

①若，求的值．

②如图2，将绕点顺时针旋转得到，且旋转角．当点的对应点落在坐标轴上时，求的值．

20．（2021·广东阳西·二模）如图，点，分别在轴和轴的正半轴上，，的长分别为的两个根，点在轴的负半轴上，且，连接．

（1）求过，，三点的抛物线的函数解析式；

（2）点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动到点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，连接，当点到达点时，点停止运动，求的最大值；

（3）是抛物线上一点，是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．