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专题21 统计与概率-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版）
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这是一份专题21 统计与概率-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版），共15页。
专题21 统计与概率
【母题来源】2021年中考广东深圳卷
【母题题文1】（2021·广东深圳·中考真题）《你好，李焕英》的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中位数是（ ）
A．124 B．120 C．118 D．109
【母题来源】2021年中考广东卷
【母题题文2】．（2021·广东·中考真题）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
A． B． C． D．
【母题来源】2021年中考广东广州卷
【母题题文3】（2021·广东广州·中考真题）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【母题来源】2021年中考广东广州卷
【母题题文4】（2021·广东广州·中考真题）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）表格中的________，________；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为________，中位数为________；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
【母题来源】2021年中考深圳广东卷
【母题题文5】（2021·广东深圳·中考真题）随机调查某城市30天空气质量指数（），绘制成如下扇形统计图．
空气质量等级
空气质量指数
（）
频数
优
m
良
15
中
9
差
n
（1）____， ______；
（2）求良的占比；
（3）求差的圆心角；
（4）统计表是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9天．根据折线统计图，一个月（30天）中有_____天AQI为中，估测该城市一年（以365天计）中大约有_____天为中．
【母题来源】2021年中考广东卷
【母题题文6】（2021·广东·中考真题）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：
（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
知识要点归纳：
一、必然事件、不可能事件和随机事件
1.定义：
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
要点：
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事
件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
二、概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.
要点：
(1) 概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.
（1） 一次试验中，可能出现的结果是有限的；
（2） 一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.
古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.
要点：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.
四、用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
1.列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2.树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
五、、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
六、数据的收集与处理
⑴通过调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论．
⑵条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．
⑶我们把所要考察的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察对象叫做个体．从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本．样本中包含的个体的个数叫做样本容量．
⑷普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．
⑸用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样．
⑹在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数．每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)称为频率．
⑺绘制频数分布直方图的步骤是：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③决定分点；④画频数分布表；⑤画出频数分布直方图．
七、算术平均数和加权平均数
一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.
若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
八、中位数和众数
1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.
要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
九、平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.
区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.
十、方差和标准差
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：
要点：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：
；标准差的数量单位与原数据一致.
十一、用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.
要点：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.
一、单选题
1．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）下列判断正确的是（ ）
A．甲乙两组学生身高的平均数均为1.58，方差分别为S甲2=2.3，S乙2=1.8，则甲组学生的身高较整齐
B．了解某品牌灯泡的使用寿命用全面调查的方法
C．将油滴入水中，油会浮在水面上，属于随机事件
D．在一个不透明的袋子中装有2个红球，3个白球，搅匀后从中随机摸出1个球是红球，属于随机事件
2．（2020·山东莘县·一模）为了了解2021年我县七年级学生期中考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩进行分析，下列说法正确的是（ ）
A．2021年我县参加七年级数学考试的学生是总体
B．样本容量是1000
C．1000 名七年级学生是总体的一个样本
D．每一名七年级学生是个体
3．（2021·山东省诸城市树一中学三模）在对一组样本数据进行分析时，小莹列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ）
A．平均数是9 B．中位数是8.5 C．方差是3.25 D．样本容量是4
4．（2022·甘肃平凉·模拟预测）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植，2021年5月22日他离开了世界，但他的两个梦想已然实现．平凉市李大爷为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取了9株水稻苗，测得苗高分别是：25，23，26，25，23，24，22，24，23（单位cm），则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．23，23 B．24，24 C．24，23 D．24，25
5．（2021·湖北宣恩·一模）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2021年4月份用电量的调查结果：
居民（户）
1
3
2
4
月用电量（度/户）
40
50
55
60
那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ）A．中位数是55 B．众数是60 C．方差是29 D．平均数是54
6．（2022·浙江宁波·模拟预测）从﹣2，，0，π，这五个数中任意抽取一个，抽到无理数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·广东禅城·二模）从甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式，随机选取两人打扫卫生，那么选中的两人是甲和乙的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·广东·东莞市东莞中学初中部二模）如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·江苏·景山中学一模）小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前 位，后三位由 ，， 这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·湖北洪山·模拟预测）袋中有三个小球，分别为1个红球和2个黄球，它们除颜色外完全相同．随机取出一个小球然后放回，则两次取出的小球颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·台湾·模拟预测）动物园准备了100张刮刮乐，打算送给开幕当日的前100位游客每人一张，其中可刮中奖品的刮刮乐共有32张，如表为奖品的种类及数量若小柏为开幕当日的第一位游客，且每张刮刮乐被小柏拿到的机会相等，则小柏刮中玩偶的机率为何？（ ）
奖品
数量
北极熊玩偶一个
1
狮子玩偶一个
1
造型马克杯一个
10
纪念钥匙圈一个
20
A． B． C． D．
12．（2021·四川成都·二模）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以闹息“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图（ ）
有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；③图2中，等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为；④图3中，在中随机以一点，则该点取自勒洛三角形部分的概率为，上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
二、填空题
13．（2021·上海浦东新·模拟预测）为了估计鱼塘中鱼的数量，我们从该鱼塘中捕捞40条鱼做上标记，然后放回鱼塘，再捕捞30条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，因此可估计鱼塘中约有鱼______条．
14．（2021·浙江拱墅·二模）某班40名学生分成5个学习小组，前四组的频数分别为13、10、6、7，则第5组的频率为___．
15．（2021·上海嘉定·二模）某校对部分学生家庭进行图书量调查，调查情况如图所示，如果本次调查中，有50本以下图书的学生家庭有24户，那么参加本次调查的学生家庭数有___________户．
16．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）已知一组数据，，的平均数为5，方差为4，那么数据，，的平均数和方差分别为 __．
17．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间．进行了统计，统计数据如表所示，则该班学生一周读书时间的中位数是_______________________．
读书时间（小时）
学生人数
18．（2021·浙江杭州·模拟预测）学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为 ________________．
19．（2020·重庆·模拟预测）从、、、四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为_________．
20．（2021·广东宝安·一模）有五张背面相同的卡片，正面分别印有圆、矩形、等边三角形、菱形、平行四边形，现将五张卡片正面朝下洗匀任意摆放，从中随机抽取一张，抽到的卡片恰好是中心对称图形的概率为________________．
21．（2018·广东南山·中考模拟）一个不透明的盒子中装有6个红球，3个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，则摸到的不是红球的概率为__________
三、解答题
22．（2021·广东花都·二模）为提高同学们学习兴趣，某校开展了五类社团课程：A．文学社，B．科创社，C．棋艺社，D．跳绳社，E．足球社，同学们可以选择其中的一类参加．现对某班全体同学的报名情况统计如下表：
课程
频数
百分比
A．文学社
11
22%
B．科创社
9
18%
C．棋艺社
10
20%
D．跳绳社
m
16%
E．足球社
12
24%
(1)表中的m值为 ；
(2)已知某4人学习小组中有3人选择了“科创社”，1人选择了“足球社”，从该小组中任选两名同学．求选中的学生恰好都是选择“科创社”的概率．
23．（2021·广东·东莞外国语学校一模）我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的不同型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 件，图2中D厂家对应圆心角的度数为 ；
（2）抽查C厂家的合格零件为 件，并将图1补充完整；
（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加国际工业产品博览会，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出A、D两个厂家同时被选中的概率．
24．（2021·广东·广州市第二中学三模）某校“演讲比赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并绘制成扇形统计图和频数分布直方图．
（1）求本次比赛的选手共有______人；
（2）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖，某选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖？并说明理由；
（3）现对成绩前3名的三位同学进行奖励，有、两种奖品供他们自由选择，（每人选择一件奖品），试求这三名同学恰好选择同一种奖品的概率．
25．（2021·广东江城·一模）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个小球，其中红球个，黑球个．
（1）先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件．当为何值时，事件是必然事件？
（2）先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，若随机摸出个球是黑球的概率等于，求的值．
26．（2021·广东南沙·一模）2020年，新冠肺炎疫情突如其来，各大中小幼学校延期开学，实行“停课不停教不停学”，网络直播教学成为其中最常见的教学方式，某区为了解九年级老师使用线上授课软件情况，在4月份某天随机抽查了若干名老师进行调查，其中A表示“一起中学”，B表示“腾讯会议”，C表示“腾讯课堂”，D表示“QQ群课堂”，E表示“钉钉”，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表：
组别
使用人数（人）
占调查人数的百分率
A
3
5%
B
12
20%
C
a
35%
D
15
c
E
b
15%
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）b＝ ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）已知该区共有九年级老师500人，请你估计该区使用“QQ群课堂”有多少人？
（3）该区计划在A组随机抽取两人了解使用情况，已知A组有理科老师2人，文科老师1人，请用列举法求出抽取两名老师都是理科老师的概率．
27．（2020·广东高明·二模）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．乒乓球，每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中D所取扇形的圆心角为72°．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1000名学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；
（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙3人平时的表现优秀，现决定从这3人中任选2人参加机器人大赛，用画树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
28．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）2021年6月26日是第34个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况．从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类．
请根据统计图回答下列问题：
(1)本次抽取调查的学生共有 人，估计该校1000名学生中“非常了解”的有 人；
(2)请补全条形统计图；
(3)“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
29．（2021·广东宝安·一模）某校对八年级学生进行一次垃圾分类知识竞赛，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制不完整的统计图表．
等级
频数（人数）
频率
A
a
20%
B
16
40%
C
b
m
D
4
10%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)上表中的a＝ ，b＝ ，m＝ ．
(2)本次调查共抽取了 名学生．请补全条形图．
(3)若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
30．（2019·甘肃·一模）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：
收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
整理数据：
年级
x＜60
60≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
0
10
4
1
八年级
1
5
8
1
（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）
分析数据：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
75
75
八年级
77.5
80
得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出 年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．
专题21 统计与概率
【母题来源】2021年中考广东深圳卷
【母题题文1】（2021·广东深圳·中考真题）《你好，李焕英》的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中位数是（ ）
A．124 B．120 C．118 D．109
【母题来源】2021年中考广东卷
【母题题文2】．（2021·广东·中考真题）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
A． B． C． D．
【母题来源】2021年中考广东广州卷
【母题题文3】（2021·广东广州·中考真题）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【母题来源】2021年中考广东广州卷
【母题题文4】（2021·广东广州·中考真题）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）表格中的________，________；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为________，中位数为________；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
【母题来源】2021年中考深圳广东卷
【母题题文5】（2021·广东深圳·中考真题）随机调查某城市30天空气质量指数（），绘制成如下扇形统计图．
空气质量等级
空气质量指数
（）
频数
优
m
良
15
中
9
差
n
（1）____， ______；
（2）求良的占比；
（3）求差的圆心角；
（4）统计表是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9天．根据折线统计图，一个月（30天）中有_____天AQI为中，估测该城市一年（以365天计）中大约有_____天为中．
【母题来源】2021年中考广东卷
【母题题文6】（2021·广东·中考真题）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：
（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
知识要点归纳：
一、必然事件、不可能事件和随机事件
1.定义：
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
要点：
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事
件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
二、概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.
要点：
(1) 概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.
（1） 一次试验中，可能出现的结果是有限的；
（2） 一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.
古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.
要点：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.
四、用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
1.列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2.树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
五、、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
六、数据的收集与处理
⑴通过调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论．
⑵条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．
⑶我们把所要考察的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察对象叫做个体．从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本．样本中包含的个体的个数叫做样本容量．
⑷普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．
⑸用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样．
⑹在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数．每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)称为频率．
⑺绘制频数分布直方图的步骤是：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③决定分点；④画频数分布表；⑤画出频数分布直方图．
七、算术平均数和加权平均数
一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.
若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
八、中位数和众数
1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.
要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
九、平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.
区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.
十、方差和标准差
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：
要点：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：
；标准差的数量单位与原数据一致.
十一、用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.
要点：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.
一、单选题
1．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）下列判断正确的是（ ）
A．甲乙两组学生身高的平均数均为1.58，方差分别为S甲2=2.3，S乙2=1.8，则甲组学生的身高较整齐
B．了解某品牌灯泡的使用寿命用全面调查的方法
C．将油滴入水中，油会浮在水面上，属于随机事件
D．在一个不透明的袋子中装有2个红球，3个白球，搅匀后从中随机摸出1个球是红球，属于随机事件
2．（2020·山东莘县·一模）为了了解2021年我县七年级学生期中考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩进行分析，下列说法正确的是（ ）
A．2021年我县参加七年级数学考试的学生是总体
B．样本容量是1000
C．1000 名七年级学生是总体的一个样本
D．每一名七年级学生是个体
3．（2021·山东省诸城市树一中学三模）在对一组样本数据进行分析时，小莹列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ）
A．平均数是9 B．中位数是8.5 C．方差是3.25 D．样本容量是4
4．（2022·甘肃平凉·模拟预测）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植，2021年5月22日他离开了世界，但他的两个梦想已然实现．平凉市李大爷为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取了9株水稻苗，测得苗高分别是：25，23，26，25，23，24，22，24，23（单位cm），则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．23，23 B．24，24 C．24，23 D．24，25
5．（2021·湖北宣恩·一模）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2021年4月份用电量的调查结果：
居民（户）
1
3
2
4
月用电量（度/户）
40
50
55
60
那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ）A．中位数是55 B．众数是60 C．方差是29 D．平均数是54
6．（2022·浙江宁波·模拟预测）从﹣2，，0，π，这五个数中任意抽取一个，抽到无理数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·广东禅城·二模）从甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式，随机选取两人打扫卫生，那么选中的两人是甲和乙的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·广东·东莞市东莞中学初中部二模）如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·江苏·景山中学一模）小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前 位，后三位由 ，， 这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·湖北洪山·模拟预测）袋中有三个小球，分别为1个红球和2个黄球，它们除颜色外完全相同．随机取出一个小球然后放回，则两次取出的小球颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·台湾·模拟预测）动物园准备了100张刮刮乐，打算送给开幕当日的前100位游客每人一张，其中可刮中奖品的刮刮乐共有32张，如表为奖品的种类及数量若小柏为开幕当日的第一位游客，且每张刮刮乐被小柏拿到的机会相等，则小柏刮中玩偶的机率为何？（ ）
奖品
数量
北极熊玩偶一个
1
狮子玩偶一个
1
造型马克杯一个
10
纪念钥匙圈一个
20
A． B． C． D．
12．（2021·四川成都·二模）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以闹息“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图（ ）
有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；③图2中，等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为；④图3中，在中随机以一点，则该点取自勒洛三角形部分的概率为，上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
二、填空题
13．（2021·上海浦东新·模拟预测）为了估计鱼塘中鱼的数量，我们从该鱼塘中捕捞40条鱼做上标记，然后放回鱼塘，再捕捞30条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，因此可估计鱼塘中约有鱼______条．
14．（2021·浙江拱墅·二模）某班40名学生分成5个学习小组，前四组的频数分别为13、10、6、7，则第5组的频率为___．
15．（2021·上海嘉定·二模）某校对部分学生家庭进行图书量调查，调查情况如图所示，如果本次调查中，有50本以下图书的学生家庭有24户，那么参加本次调查的学生家庭数有___________户．
16．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）已知一组数据，，的平均数为5，方差为4，那么数据，，的平均数和方差分别为 __．
17．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间．进行了统计，统计数据如表所示，则该班学生一周读书时间的中位数是_______________________．
读书时间（小时）
学生人数
18．（2021·浙江杭州·模拟预测）学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为 ________________．
19．（2020·重庆·模拟预测）从、、、四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为_________．
20．（2021·广东宝安·一模）有五张背面相同的卡片，正面分别印有圆、矩形、等边三角形、菱形、平行四边形，现将五张卡片正面朝下洗匀任意摆放，从中随机抽取一张，抽到的卡片恰好是中心对称图形的概率为________________．
21．（2018·广东南山·中考模拟）一个不透明的盒子中装有6个红球，3个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，则摸到的不是红球的概率为__________
三、解答题
22．（2021·广东花都·二模）为提高同学们学习兴趣，某校开展了五类社团课程：A．文学社，B．科创社，C．棋艺社，D．跳绳社，E．足球社，同学们可以选择其中的一类参加．现对某班全体同学的报名情况统计如下表：
课程
频数
百分比
A．文学社
11
22%
B．科创社
9
18%
C．棋艺社
10
20%
D．跳绳社
m
16%
E．足球社
12
24%
(1)表中的m值为 ；
(2)已知某4人学习小组中有3人选择了“科创社”，1人选择了“足球社”，从该小组中任选两名同学．求选中的学生恰好都是选择“科创社”的概率．
23．（2021·广东·东莞外国语学校一模）我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的不同型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 件，图2中D厂家对应圆心角的度数为 ；
（2）抽查C厂家的合格零件为 件，并将图1补充完整；
（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加国际工业产品博览会，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出A、D两个厂家同时被选中的概率．
24．（2021·广东·广州市第二中学三模）某校“演讲比赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并绘制成扇形统计图和频数分布直方图．
（1）求本次比赛的选手共有______人；
（2）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖，某选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖？并说明理由；
（3）现对成绩前3名的三位同学进行奖励，有、两种奖品供他们自由选择，（每人选择一件奖品），试求这三名同学恰好选择同一种奖品的概率．
25．（2021·广东江城·一模）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个小球，其中红球个，黑球个．
（1）先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件．当为何值时，事件是必然事件？
（2）先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，若随机摸出个球是黑球的概率等于，求的值．
26．（2021·广东南沙·一模）2020年，新冠肺炎疫情突如其来，各大中小幼学校延期开学，实行“停课不停教不停学”，网络直播教学成为其中最常见的教学方式，某区为了解九年级老师使用线上授课软件情况，在4月份某天随机抽查了若干名老师进行调查，其中A表示“一起中学”，B表示“腾讯会议”，C表示“腾讯课堂”，D表示“QQ群课堂”，E表示“钉钉”，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表：
组别
使用人数（人）
占调查人数的百分率
A
3
5%
B
12
20%
C
a
35%
D
15
c
E
b
15%
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）b＝ ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）已知该区共有九年级老师500人，请你估计该区使用“QQ群课堂”有多少人？
（3）该区计划在A组随机抽取两人了解使用情况，已知A组有理科老师2人，文科老师1人，请用列举法求出抽取两名老师都是理科老师的概率．
27．（2020·广东高明·二模）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．乒乓球，每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中D所取扇形的圆心角为72°．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1000名学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；
（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙3人平时的表现优秀，现决定从这3人中任选2人参加机器人大赛，用画树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
28．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）2021年6月26日是第34个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况．从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类．
请根据统计图回答下列问题：
(1)本次抽取调查的学生共有 人，估计该校1000名学生中“非常了解”的有 人；
(2)请补全条形统计图；
(3)“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
29．（2021·广东宝安·一模）某校对八年级学生进行一次垃圾分类知识竞赛，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制不完整的统计图表．
等级
频数（人数）
频率
A
a
20%
B
16
40%
C
b
m
D
4
10%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)上表中的a＝ ，b＝ ，m＝ ．
(2)本次调查共抽取了 名学生．请补全条形图．
(3)若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
30．（2019·甘肃·一模）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：
收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
整理数据：
年级
x＜60
60≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
0
10
4
1
八年级
1
5
8
1
（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）
分析数据：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
75
75
八年级
77.5
80
得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出 年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．
相关试卷
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