初中鲁教版 (五四制)1 菱形的性质与判定同步达标检测题

第六章  特殊平行四边形

1  菱形的性质与判定

第3课时  菱形的性质与判定的综合应用

知识梳理

1.菱形的四条边_____________，已知菱形的一边，可以直接求出菱形的_____________.

2.菱形的对角线_____________，已知菱形的两条对角线，可以利用三角形的面积公式求出菱形的______________.

3.判定一个四边形是菱形，（1）从边考虑：有一组___________相等的平行四边形是菱形；_________边都相等的四边形是菱形.（2）从对角线考虑：对角线_____________的平行四边形是菱形.

基础练习

1.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（   ）

A.10       B.12       C.16      D.18

第1题                 第2题

2.如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB，分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，则OC的长为___________cm.

3.如图，两条笔直的公路，相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5km，村庄C到公路的距离为4km，则村庄C到公路的距离是___________km.

4.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E，F，使得AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形.

5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.

（1）求证：四边形BNDM是菱形；

（2）若BD＝24，MN＝10，求四边形BNDM的周长.

巩固提高

6.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点.若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（   ）

A.40      B.24      C.20      D.15

第6题              第7题

7.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD.若测得点A，C之间的距离为10cm，点B，D之间的距离为24cm，则线段AB的长为（   ）

A.13 cm      B.2cm      C.21.8 cm      D.8 cm

8.如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任意一点P作EF∥BC，GH∥AB.有下列结论：①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长.其中，正确的是____________（填序号）.

9.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形ABCD的面积.

10.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，P是AD上任意一点，过点P作EF∥AB，PM∥AC，连接MF.

（1）求证：四边形PFAM为菱形；

（2）当四边形PFAM的面积为四边形BEFM面积的一半时，点P在线段AD上的何处？

参考答案

［知识梳理］

1.都相等  周长    2.互相垂直  面积    3.（1）邻边  四条  （2）互相垂直

［基础练习］

1.C    2.4    3.4

4.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC＝DC，∠DCA＝∠BCA.∴∠DCF＝∠BCF.

∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF.∴DF＝BF.

∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.∴∠DAE＝∠BCF.

∵AE＝CF，DA＝BC，∴△DAE≌△BCF.∴DE＝BF.

同理，可得△DCF≌△BAE.∴DF＝BE.∴DF＝BF＝DE＝BE.∴四边形BEDF是菱形.

5.（1）∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.

∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD.

在△MOD和△NOB中，∴△MOD≌△NOB.∴OM＝ON.

∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形.∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形.

（2）∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5.

在Rt△BOM中，BM＝＝13，∴四边形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52.

［巩固提高］

6.B     7.A     8.①②④

9.（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.

∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.

∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD.∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形.

（2）如图，连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝

AC×6＝3.

∵AB＝5，AO＝3，∴在Rt△ABO中，BO＝＝4.

∴BD＝2BO＝8.∴S菱形ABCD·BD＝24.

10.（1）∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形PFAM为平行四边形.

∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD.

∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠FPA.∴∠CAD＝∠FPA.∴FA＝FP，∴四边形PFAM为菱形.

（2）过点F作FH⊥BC于点H，设FM与AD交于点G.

∵四边形PFAM为菱形，∴AD⊥FM，AP＝2GP.

∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴FM∥BC.

又∵EF∥AB，∴四边形BEFM为平行四边形，

∴S菱形PFAM＝FM·AP＝FM·GP，S四边形BEFM＝FM·FH，

∵S四边形PFAM＝S四边形BEFM，∴GP＝FH.

∵易得GD＝FH，∴GP＝GD.∴AP＝AD.∴点P在线段AD的三等分点处（近点D）.