湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.3 对数函数学案

4．3.3　对数函数的图象与性质

第一课时　对数函数的图象与性质

[问题]　(1)已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x，那么反过来，x是关于y的函数吗？

(2)如果用x表示自变量，用y表示函数，那么这个函数是什么？

知识点一　对数函数和它的反函数

1．对数函数：由于指数函数是严格单调的，等式x＝ay中不同的对应不同的，即每个x对应的y是确定的，从而对数运算y＝logax(x>0，a>0且a≠1)确定了一个函数，叫做对数函数．

2．反函数：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)中x，y互换位置就得到指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，因此称指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数．

3．互为反函数的图象与性质

(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；

(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)对数函数的定义域为R.(　　)

(2)函数y＝log2(2x)是对数函数．(　　)

(3)函数y＝logx是对数函数．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

2．若函数f(x)＝(a－1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．

答案：2

3．若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为________．

解析：设函数解析式为y＝logax，

∵函数的图象过点(4，2)，∴loga4＝2，∴a＝2，

∴y＝log2x.

答案：y＝log2x

4．y＝log2x的反函数是________．

解析：y＝log2x的反函数是y＝2x.

答案：y＝2x

知识点二　对数函数的图象及性质

对比指数函数和对数函数图象与性质．

解：

[例1]　指出下列函数哪些是对数函数？

(1)y＝3log2x；　　　　 (2)y＝log6x；

(3)y＝logx5;   (4)y＝log2x＋1.

[解]　(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．

(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．

(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．

(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．

判断一个函数是对数函数的方法

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．

解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.

又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.

答案：1

2．若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2，1)，则f(8)＝________．

解析：依题意知1＝loga2，所以a＝2，所以f(x)＝log2x，故f(8)＝log28＝3.

答案：3

[例2]　(链接教科书第119页例10)(1)求下列函数的定义域：

①y＝log5(1－x)；②y＝；

③y＝.

(2)求函数f(x)＝log2(4x)·log，x∈的值域．

[解]　(1)①要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域为(－∞，1)．

②要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域为(－∞，3)∪(3，4)．

③要使函数有意义，需满足即解得－1＜x＜0，因此函数y＝的定义域为(－1，0)．

(2)f(x)＝log2(4x)·log

＝(log2x＋2)·

＝－[(log2x)2＋log2x－2]．

设log2x＝t.

∵x∈，∴t∈[－1，2]，

则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，

因此二次函数图象的对称轴为t＝－，

∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，

∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝.

当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.

∴f(x)的值域为.

1．求对数型函数定义域的原则

(1)分母不能为0；

(2)根指数为偶数时，被开方数非负；

(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

2．求对数型函数的值域(最值)

(1)对数型函数的单调性与底数的范围有关；可以利用单调性求值域(最值)；

(2)对于一些复合函数，有时可以通过换元，转化为求外函数的值域(最值)．　　　　

[跟踪训练]

已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0，且a≠1)．

(1)求函数f(x)的定义域和值域；

(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．

解：(1)由得－3<x<1，

所以函数的定义域为{x|－3<x<1}，

f(x)＝loga(1－x)(x＋3)，

设t＝(1－x)(x＋3)＝4－(x＋1)2，

所以t≤4，又t>0，则0<t≤4.

当a>1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}．

当0<a<1时，y≥loga4，值域为{y|y≥loga4}．

(2)由题设及(1)知当0<a<1时，函数有最小值，所以loga4＝－2，解得a＝.

[例3]　(1)当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)

(2)作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．

(1)[解析]　y＝a－x＝，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0)．故选C.

[答案]　C

(2)[解]　第一步：作y＝log2x的图象，如图①所示．

第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示．

第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示．

有关对数型函数图象问题的应用技巧

(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)；

(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法；

(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．　　　　

[跟踪训练]

1．函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是(　　)

A．c<d<1<a<b  B．1<d<c<a<b

C．c<d<1<b<a  D．d<c<1<a<b

解析：选A　在图中作出直线y＝1(图略)，则1＝logax1，1＝logbx2，1＝logcx3，1＝logdx4，解得x1＝a，x2＝b，x3＝c，x4＝d，由图可知x2>x1>1>x4>x3，即c<d<1<a<b，故选A.

2．若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b，c的值分别为________．

解析：∵函数的图象恒过定点(3，2)，

∴将(3，2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.

又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，

∴c＝2，3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.

答案：－2，2

1．给出下列函数：①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.

其中是对数函数的有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：选A　①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．

2．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)

A．(0，1)  B．[0，1]

C．(－∞，0)∪(1，＋∞)  D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

解析：选C　由x2－x＞0，解得x＜0或x＞1，则定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C.

3．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)

A．0＜a＜b＜1  B．0＜b＜a＜1

C．a＞b＞1  D．b＞a＞1

解析：选B　作直线y＝1(图略)，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.