第七讲：三角恒等变换综合(知识与方法构建)

一、与三角函数性质有关的综合问题

(一)例题

【例1】(2017秋•赣州期末)设奇函数(ω＞0)在x∈[﹣1，1]内有9个零点，则ω的取值范围为(　　)

A．[4π，5π)；B．[4π，5π]；C．；D．

【例2】(2020•郴州二模)已知函数．则f(1)+f(2)+…+f(2020)的值等于(　　)

A．2018；B．1009；C．1010；D．2020

【例3】(2019春•沈河区校级期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边，两个锐角α，β的终边分别与单位圆相交于A，B两点．

(Ⅰ)若tanα，sinβ，求α+2β的值；

(Ⅱ)若角α+β的终边与单位圆交于C点，设角α，β，α+β的正弦线分别为，试问：以|作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由．

【例4】(2018春•沈阳期中)如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(x1，y1)在单位圆O上，∠xOA＝α，且

(1)若，求x1的值；

(2)若B(x2，y2)是单元圆O上在第二象限的一点，且．过点B作x轴的垂线，垂足为C，记△BOC的面积为f(α)，求函数f(α)的取值范围．

【例5】(2017秋•南京期末)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧上(异于点P，Q)，过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C．记∠AOB＝θ，四边形ACOB的周长为l．

(1)求l关于θ的函数关系式；

(2)当θ为何值时，l有最大值，并求出l的最大值．

(二)练习

1．(2019秋•扬州期末)在△ABC中，若sinB+cosB，则的最大值为______．

2．(2020春•红岗区校级期末)已知f(x)＝[sin(π﹣x)+sin(x)]2+2cos(x)cos(x)．

(1)求f(x)的最小正周期；(2)若g(x)＝f(x)﹣a(a为常数)在上有两个不同的零点x1和x2，求x1+x2．

3．(2018•江苏模拟)函数和射线交点从左至右依次为P1，P2…Pn，则|P2P20|＝______．

4．(2019秋•江苏月考)如图，某同学在素质教育基地通过自己设计、选料、制造，打磨出了一个作品．作品由三根木棒OA，OB，OC组成，三根木棒有相同的端点O(粗细忽略不计)，且O，A，B，C四点在同一平面内，OC＝2OA＝2OB＝20cm，∠AOB，木棒OC可绕点O任意旋转，设BC的中点为D．

(1)当∠BOC时，求OD的长；

(2)当木棒OC绕点O任意旋转时，求AD的长的范围．

二、与二次函数有关的综合问题

(一)例题

【例6】(2018春•黄浦区校级月考)正方形S1和S2内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设∠A＝α，若S1＝441，S2＝440，则sin2α的值为(　　)

A．；B．；C．；D．

【例7】(2020秋•河南期末)已知α，β∈(0，2π)，且满足sinα﹣cosα，cosβ﹣sinβ，则sin(α+β)＝(　　)

A．1；B．或1；C．或1；D．1或﹣1

【例8】(2020秋•巴中期末)已知函数cos(2ωx)﹣1(ω＞0)，f(x)的最小正期为π．

(1)求f(x)的值域；

(2)方程f(x)﹣n+1＝0在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；

(3)是否存在实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，使成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．

(二)练习

5．(2020秋•全国月考)函数f(x)＝2sinx﹣3cos2x﹣cosx﹣2sin2x+3在的最小值为(　　)

A．；B．；C．；D．﹣1

6．(2020•福州模拟)已知α，β是函数f(x)＝sinx+cosx在[0，2π)上的两个零点，则cos(α﹣β)＝(　　)

A．﹣1；B．；C．；D．0

三、与基本不等式有关的综合问题

(一)例题

【例9】(2018•浙江三模)若x)，y∈(0，)且sin2x＝6tan(x﹣y)cos2x，则x+y的取值不可能是(　　)

A．；B．；C．；D．

【例10】(2020•江苏模拟)某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B．现规划修建一条新路(由线段MP，，线段QN三段组成)，其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为．记∠PCA＝2θ(道路宽度均忽略不计)．

(1)若，求QN的长度；(2)求新路总长度的最小值．

(二)练习

7．(2020秋•苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，α、β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A、B两点．若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且cos(α﹣β)≤0，则a+b的最大值为(　　)

A．1；B．；C．2；D．不存在

8．(2019•南京四模)在△ABC中，若cos2A+cos2B+cos2C＜1，sinB，则(tan2A﹣2)•sin2C的最小值为______．