第02讲 向量的运算(知识与方法构建)-2022年春季高一数学辅导讲义（苏教版2019必修第二册）练习题

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第二讲 向量的运算(知识与方法构建) 一、向量的线性运算 在理解向量线性运算法则的基础上，更应做到的是能够熟练识别和运用几何图形中向量的线性运算关系．如下图，依向量加法的三角形法则，我们有BC=BA+AC(结合多边形法则，体会向量加法运算的特点)，依向量减法的三角形法则，又有BC=AC-AB，注意：-AB=BA．又如，AD=AB+BD，又AD=AC+CD，若D为BC中点，BD+CD=0，易得：AD=12AB+AC(可以表述为：AD由AB和AC表示)，正如下文比例分点模型所讨论的情形．几何图形中向量线性运算的转化关系，值得细细体会，做到熟练运用． (一)例题 【例1】(2020秋•长安区校级期末)已知△ABC外接圆圆心为O，G为△ABC所在平面内一点，且GA→+GB→+GC→=0→．若AB→+AC→=52AO→，则sin∠BOG＝(　　) A．12；B．14；C．154；D．3158 【答案】C． 【解析】根据题意，设BC的中点为D，若GA→+GB→+GC→=0→，则G为△ABC的重心，则AG→=13(AB→+AC→)=23AD→，若AB→+AC→=52AO→，则AO→=25(AB→+AC→)=45AD→，所以A，G，O，D四点共线，故AB＝AC，则AD⊥BC，不妨令AD＝5，则AO＝BO＝4，OD＝1．所以sin∠BOG=sin∠BOD=BDBO=154． 【例2】(2020秋•济南期末)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足BE→=EC→，CD→=2CF→，则|AE→+AF→|=(　　) A．3；B．3；C．23；D．4 【答案】B． 【解析】根据题意，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，则∠BAC＝60°，必有AC＝2， 又由BE→=EC→，CD→=2CF→，则E是BC的中点，F是CD的中点，则AE→=AB→+BE→，AF→=AD→+DF→， 则AE→+AF→=AB→+BE→+AD→+DF→=32(AB→+AD→)=32AC→，而AC＝2，则|AE→+AF→|=3． 【例3】(2020秋•葫芦岛期末)已知A(﹣4，0)，B(0，3)，O为坐标原点，点C在第二象限内，|OC|=32，且∠AOC＝45°，设OC→=λOA→+OB→(λ∈R)，则λ的值为(　　) A．-34；B．12；C．34；D．1 【答案】C． 【解析】∵点C在第二象限内，|OC|=32，且∠AOC＝45°， ∴直线OC的倾斜角为135°，斜率k＝﹣1，则直线方程为y＝﹣x， 设C坐标为(a，﹣a)，a＜0，则|OC|=2a2=2|a|=-2a＝33， 得a＝﹣3，即C(﹣3，3)， 由OC→=λOA→+OB→(λ∈R)，得(﹣3，3)＝λ(﹣4，0)+(0，3)＝(﹣4λ，3)， 则﹣3＝﹣4λ，得λ=34． (二)练习 1．(2020秋•佛山期末)平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近B)，则EF→=(　　) A．12AB→-13AD→；B．14AB→+12AD→；C．13AB→+12AD→；D．12AB→-23AD→ 【答案】D． 【解析】请自行画图．因为ABCD为平行四边形，所以AB→=DC→，AD→=BC→，故EF→=EC→+CF→=12DC→+23CB→=12AB→-23AD→． 2．(2020秋•西湖区校级期末)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，对角线AC、DB相交于点O．若AD→=a→，AB→=b→，OC→=(　　) A．a→3-b→6；B．a→3+b→6；C．2a→3+b→3；D．2a→3-b→3 【答案】B． 【解析】∵AB∥CD，AB＝2CD， ∴△DOC∽△BOA且AO＝2OC， 则AO→=2OC→=23AC→，∴OC→=13AC→，而AC→=AD→+DC→=AD→+12AB→=a→+12b→， ∴OC→=13AC→=13(a→+12b→)=13a→+16b→， 二、共线向量基本定理与比例分点模型 1．共线向量基本定理 b∥aa≠0⇔有且仅有一个实数λ，使得b=λaλ∈R．共线向量之间是有向线段的比例关系，共线即比例． 2．比例分点模型 【母题探源】(苏教(2019)版必修二P17)如图，已知O为AB外一点，点C在直线AB上，且AC=λCB(λ≠-1)．求证：OC=11+λOA+λ1+λOB． 证明：∵AC=OC-OA，CB=OB-OC，又AC=λCB，∴OC-OA=λOB-OC， 即1+λOC=OA+ λOB．又λ≠-1，即1+λ≠0，∴OC=OA+λOB1+λ=11+λOA+λ1+λOB． 【说明】 (1)注意此例的结论中，OA与OB的系数分母均为1+λ，分子交叉分配．比如：C为线段AB靠近端点B的三等分点，即ACCB=21，此时λ=2，则OC=11+2OA+21+2OB=13OA+23OB；若C为线段AB的中点，则OC=12OA+12OB．由结论OC=11+λOA+λ1+λOB结合坐标运算可得比例分点坐标． (2)由比例分点模型，可以快速写出OC由OA和OB(注意：这里的O意味着同起点)表示的表达式，这在几何图形中进行向量的线性运算十分有用． (3)该结论可理解为对于直线AB上的任意一点C，OC都可由OA和OB唯一表示．结论可延伸为“平面内任意不共线的两个向量可以表示平面内的任意一个向量”，这正是平面向量基本定理所描述的内容，也是求解向量问题的基本方法． (4)该结论可一般性的表述为OC=mOA+nOBm+n=1．存在如下等价关系：A，C，B三点共线⇔OC=mOA+nOB．问题场景中，可由m+n=1的条件，判断和构建共线关系，进而求解问题． (一)例题 【例4】(2020秋•集宁区校级期中)已知平面内两个不共线向量i→，j→，且a→=ki→+3j→，b→=2i→+(k-1)j→，若向量a→与b→共线，则k＝(　　) A．3或﹣2；B．1或﹣6；C．﹣3或2；D．﹣1或6 【答案】A． 【解析】∵向量a→与b→共线，∴∃实数λ，使得a→=λb→，∴ki→+3j→=λ[2i→+(k﹣1)j→]， 化为(k﹣2λ)i→+(3﹣λk+λ)j→=0→．∵i→，j→是同一平面内两个不共线的向量， ∴k-2λ=03-λk+λ=0，解得λ=32k=3，或λ=-1k=-2． 【例5】(2020春•湖北期末)已知在平面直角坐标系中，点P1(0，1)，P2(4，4)．当P是线段P1P2的一个三等分点时，点P的坐标为(　　) A．(43，2)；B．(43，3)；C．(2，3)；D．(83，3) 【答案】AD． 【解析】设点P(x，y)， ①当λ=12时，所以x=0+12×41+12=43，y=1+12×41+12=2，所以P(43，2)． ②当λ＝2时，所以x=0+2×41+2=83，y=1+2×41+2=3，所以P(83，3)． 【例6】(2019秋•福州期末)如图，在△ABC中，已知AN→=12NC→，P是BN上一点，若AP→=12AB→+μAC→，则实数μ的值是(　　) A．13；B．23；C．16；D．56 【答案】C． 【解析】AC→=3AN→，AP→=12AB→+3μAN→，12+3μ=1，μ=16． 【例7】(2020秋•锦州期末)在平行四边形ABCD中，点E满足DE→=-2CE→，且O是边AB中点，若AE交DO于点M．且AM→=λAB→+μAD→，则λ+μ＝(　　) A．32；B．57；C．53；D．34 【答案】B． 【解析】AM→=DM→-DA→=λAB→+μAD→=λDC→-μDA→=λ32DE→-μDA→，M分AE为AMME=34 故DM→=λ32DE→+1-μDA→=37DE→+47DA→，得λ=27，μ=37． (二)练习 3．(2019春•湖南期末)已知向量a→=(﹣6，1)，b→=(7，﹣2)，且(a→+mb→)∥(3a→-b→)，则m＝(　　) A．13；B．-13；C．3137；D．-3137 【答案】B． 【解析】∵向量a→=(﹣6，1)，b→=(7，﹣2)，∴a→+mb→=(﹣6+7m，1﹣2m)，3a→-b→=(﹣25，5)， ∵(a→+mb→)∥(3a→-b→)，∴-6+7m-25=1-2m5，解得m=-13． 4．(2017秋•宝山区校级月考)设点A(﹣1，6)，B(3，0)，P是直线AB上一点，且|AP→|=13|AB→|，则点P的坐标是______． 【答案】(13，4)或(-73，8)． 【解析】设P的坐标为(x，y)，若AP→=13AB→，则由(x+1，y﹣6)=13(4，﹣6)，得x+1=43y-6=-2， 解得x=13y=4，此时P点坐标为(13，4)； 若AP→=-13AB→，则由(x+1，y﹣6)=-13(4，﹣6)，得x+1=-43y-6=2，解得x=-73y=8， 此时点P的坐标为(-73，8)．综上，点P的坐标是(13，4)或(-73，8)． 5．(2019秋•卢龙县期末)△ABC的外接圆的圆心为O，AO→=12(AB→+AC→)，则AB→⋅AC→=(　　) A．1；B．﹣1；C．0；D．2 【答案】C． 【解析】如图，∵O为△ABC的外接圆的圆心，且AO→=12(AB→+AC→)，∴O为边BC的中点， ∴BC为圆O的直径，∴AB→⊥AC→，∴AB→⋅AC→=0． 6．(2020秋•四川月考)如图，在△ABC中，D为线段BC上异于B，C的任意一点，E为AD的中点，若AE→=λAB→+μAC→，则λ+μ＝(　　) A．23；B．12；C．13；D．16 【答案】B． 【解析】因为E为AD中点，且AE→=λAB→+μAC→，则AD→=2AE→=2λAB→+2μAC→， 由题意得，B，D，C三点共线，所以2λ+2μ＝1即λ+μ=12． 7．(2020秋•秦淮区校级月考)如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且CD＝2DB，点E在边AD上，且AD＝3AE，则(　　) A．CE→=13AD→+AC→；B．CE→=13AD→-AC→；C．CE→=29AB→+89AC→；D．CE→=29AB→-89AC→ 【答案】BD． 【解析】因为CE→=CA→+AE→，AE→=13AD→，AD→=AB→+BD→，BD→=12BC→，BC→=BA→+AC→， 所以CE→=13AD→-AC→，BD→=13(BA→+AC→)， 所以AD→=AB→+BD→=AB→+13BA→+13AC→， 所以AE→=13(AB→+13BA→+13AC→)， 所以CE→=CA→+13AB→+19BA→+19AC→=29AB→-89AC→． 三、向量的数量积 1．数量积的应用 求模(即平方)；求夹角；利用投影求距离(包括平面距离和空间距离)． 2．投影模型 如图，若已知a和a·b，则b的终点被约束在a的垂直方向上，横向位置则由b在a方向上的投影a·ba确定． (一)例题 【例8】(2021·八省联考)已知单位向量a，b满足a·b=0，若向量c=7a+2b，则sin=( )． A．73；B．23；C．79；D．29 【答案】B． 【解析】由向量夹角的定义可知，∈0，π，∴sin≥0． 法一：∵c=7a+2b，a=b=1， ∴c=c2=7a+2b2=7a2+2b2+2×7a·2b=3， a·c=a·7a+2b=a·7a+a·2b=7，∵cos=a·cac=73 ， ∴sin=1-cos2=23 ． 法二：由题意，可令a=1，0，b=(0，1)，则c=7，2．令=α，则点7，2为α终边上一点，由任意角三角函数的定义，可知sin=23． 【例9】(2020秋•常州期末)在四边形ABCD中，AB＝8，若DA→=34CA→+14CB→，则AB→⋅CD→=______． 【答案】﹣16． 【解析】根据题意DA→=34CA→+14CB→，DA→=DC→+CA→，可得 DC→=DA→-CA→=34CA→+14CB→-CA→=14(CB→-CA→)=14AB→，可知四边形ABCD是梯形，且CD→=-14AB→， 所以AB→⋅CD→=-14AB→2=-16． 【例10】(2020秋•河北区期末)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，且BE＝2EA，若AB→•AC→=3AD→•EC→，则ABAC的值为______． 【答案】3． 【解析】∵D是BC的中点，E在边AB上，且BE＝2EA， ∴EC→=EA→+AC→=-13AB→+AC→，AD→=12(AB→+AC→)， ∴3AD→⋅EC→=32(AB→+AC→)⋅(-13AB→+AC→)=-12AB→2+32AC→2+AB→⋅AC→=AB→⋅AC→， ∴32AC→2=12AB→2，∴|AB→|2|AC→|2=3，ABAC=3． 【例11】(2019秋•闽侯县校级期末)已知非零向量a→，b→满足|a→|＝2，|2a→-b→|＝4，a→在b→方向上的投影为1，则b→•(a→+2b→)＝______． 【答案】36． 【解析】设a→，b→的夹角为θ，则a→在b→方向上的投影为|a→|cosθ=a→⋅b→|b→|=1，∴a→⋅b→=|b→|， ∵|2a→-b→|=4，∴4|a→|2-4a→⋅b→+|b→|2=16，∴16﹣4|b→|+|b→|2＝16，解得：|b→|=4，∴a→⋅b→=4， ∴b→•(a→+2b→)=a→⋅b→+2|b→|2＝4+32＝36． (二)练习 8．(2020秋•商洛期末)设向量a→=(2x+y，1)，b→=(1，﹣x2)，x∈R，a→⊥b→，则y的最小值为(　　) A．﹣2；B．0；C．﹣1；D．1 【答案】C． 【解析】∵a→⊥b→，∴a→•b→=2x+y﹣x2＝0，则y＝x2﹣2x＝(x﹣1)2﹣1≥﹣1，故y的最小值为﹣1． 9．(2020秋•怀仁市期末)平面向量a→=(1，2)，|b→|＝3，a→•b→=-6，则向量a→，b→夹角的余弦值为(　　) A．-55；B．-255；C．15；D．45 【答案】B． 【解析】面向量a→=(1，2)，所以，|a→|=5，|b→|＝3，a→•b→=-6，所以cosθ=a→⋅b→|a→||b→|=-255． 10．(2020秋•抚顺期末)已知向量a→=(1，3)，a→⋅b→=2，且a→，b→的夹角为60°，若(ka→-b→)⊥b→，则k＝(　　) A．2；B．1；C．12；D．14 【答案】A． 【解析】由题意可得|a→|=2，因为a→，b→的夹角为60°，所以a→⋅b→=|a→||b→|cos〈a→⋅b→〉=|b→|=2． 因为(ka→-b→)⊥b→，所以(ka→-b→)⋅b→=0，所以2k﹣4＝0，解得k＝2． *四、空间向量的运算(加*内容根据授课需要选择安排) 空间向量的运算编列于此，请根据教学需要选择安排．空间向量的外积虽不是高中阶段要求内容，但可用于立体几何中求平面的法向量，可以避免解方程组的繁琐，可供有余力的同学选择学习． (一)例题 【例12】(2020秋•永州期末)已知向量a→=(1，m，2)，b→=(1，-5，-3)，且a→⊥b→，则实数m＝(　　) A．﹣1；B．2；C．﹣2；D．1 【答案】A． 【解析】∵向量a→=(1，m，2)，b→=(1，-5，-3)，且a→⊥b→， ∴a→⋅b→=1﹣5m﹣6＝0，解得实数m＝﹣1． 【例13】(2020秋•龙岩期末)已知向量a→=(﹣1，m，2)，向量b→=(3，1，n)，满足a→∥b→，则m+n＝(　　) A．196；B．-196；C．193；D．-193 【答案】D． 【解析】向量a→=(﹣1，m，2)，向量b→=(3，1，n)，若a→∥b→，设a→=kb→ 则有-1=3km=k2=kn，则k=-13，则有m=-13，n＝﹣6，则m+n=-13-6=-193． 【例14】(2020秋•渭滨区期末)已知向量a→=(3，1，2)，b→=(﹣1，3，t)，且a→与b→夹角的余弦值为27，则t的取值可以是(　　) A．2；B．﹣2；C．4；D．±2 【答案】A． 【解析】∵向量a→=(3，1，2)，b→=(﹣1，3，t)，且a→与b→夹角的余弦值为27， ∴cos＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=2t14⋅10+t2=27，解得t＝2． 【例15】(2020秋•济南期末)如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若BA→=a→，BC→=b→，BB1→=c→，则下列向量与BM→相等的是(　　) A．-12a→-12b→+c→；B．12a→+12b→-c→；C．-12a→+12b→+c→；D．12a→+12b→+c→ 【答案】D． 【解析】∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若BA→=a→，BC→=b→，BB1→=c→， ∴BM→=BA→+AA1→+A1M→=a→+c→+12AC→=a→+c→+12(BC→-BA→) =a→+c→+12(b→-a→)=12a→+12b→+c→． 【例16】(2020秋•沈阳期末)在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC→+DD1→-AB→=(　　) A．BD1→；B．D1B→；C．DB1→；D．B1D→ 【答案】A． 【解析】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中， BC→+DD1→-AB→=AD→-AB→+DD1→=BD→+DD1→=BD1→． 【例17】(2020秋•南岗区校级期末)已知A(1，2)，B(3，4)，C(﹣2，2)，D(﹣3，5)，则向量CD→在AB→上的投影为(　　) A．225；B．2105；C．2；D．10 【答案】C． 【解析】A(1，2)，B(3，4)，C(﹣2，2)，D(﹣3，5)，所以CD→=(﹣1，3)，AB→=(2，2)， 所以向量CD→在AB→上的投影为|CD→|×CD→⋅AB→|CD→|×|AB→|=-2+64+4=2． 【例18】(2020秋•慈溪市期末)已知空间四个不同的点A，B，C，D，若C是线段AB的中点，且A(﹣1，1，3)，B(3，﹣1，1)，D(﹣2，4，2)，则C的坐标为______，|CD→|=______． 【答案】(1，0，2)；5． 【解析】由于C是线段AB的中点，且A(﹣1，1，3)，B(3，﹣1，1)， 故C(1，0，2)，且D(﹣2，4，2)，所以|CD→|=(1+2)2+(0-4)2+(2-2)2=5．  附：例题、练习答案 一、例题 【例1】C；【例2】B；【例3】C；【例4】A；【例5】AD；【例6】C；【例7】B；【例8】B； 【例9】-16；【例10】3；【例11】36；【例12】A；【例13】D；【例14】A；【例15】D；【例16】A；【例17】C；【例18】(1，0，2)，5． 二、练习 1．D；2．B；3．B；4．(13，4)或(-73，8)；5．C；6．B；7．BD；8．C；9．B；10．A．