浙教版七年级下册第四章 因式分解综合与测试同步测试题

这是一份浙教版七年级下册第四章 因式分解综合与测试同步测试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试范围：第四章；考试时间：100分钟；总分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如果多项式x2−mx−35分解因式为(x−5)(x+7)，那么m的值为( )
A. −2B. 2C. 12D. −12
若代数式x3+ax2+bx+8其中有两个因式分别为x+1和x+2，则a+b的值为( )
A. 8B. 7C. 15D. 21
下列从左到右的变形：①x2+3x+1=x(x+3+1x);②(a+b)(a−b)=a2−b2;③15x2y=3x⋅5xy;④a2−2a+1=(a−1)2.其中是因式分解的个数是：( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个
下列因式分解正确的是( )
A. xy2−3x2y+xy=xy(y−3x)B. x4−2x2+1=(x2−1)2
C. (x−3)(x+4)=x2+x−12D. x3−x2+14x=x(x−12)2
设p(≥3)是质数，并且8p2+1也是质数，则8p2−p+2是( )
A. 质数B. 合数C. 分数D. 无法判断
计算(−3)m+2×(−3)m−1，得( )
A. 3m-1B. (-3)m-1C. -(-3)m-1D. (-3)m
把b2(x-2)+b(2-x)分解因式的结果为( )
A. b(x-2)(b+1)B. (x-2)(b2+b)C. b(x-2)(b-1)D. (x-2)(b2-b)
多项式8xmyn−1−12x3myn的公因式是()A. xmynB. xmyn−1C. 4xmynD. 4xmyn−1
要在二次三项式x2+□x−6的□中填上一个整数，使它能按x2+(a+b)x+ab型分解为(x+a)(x+b)的形式，那么这些数只能是( )
A. 1，−1B. 5，−5
C. 1，−1，5，−5D. 以上答案都不对
将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )
A. a2−1B. a2+a
C. a2+a−2D. (a+2)2−2(a+2)+1
已知x2+x+1=0，则x2019+x2018+x2017+⋯+x+1的值是( )
A. 0B. 1C. −1D. 2
已知a，b，c为△ABC的三边长，且a4−b4+b2c2−a2c2=0，则△ABC的形状是
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
因式分解x2+mx−6=(x+p)(x+q)，其中m、p、q都为整数，则m的最大值是________．
因式分解x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是(x+6)(x−2)，乙看错了b的值，分解的结果为(x−8)(x+4)，那么x2+ax+b分解因式正确的结果为_____________．
多项式x2−9，x2+6x+9的公因式是____．
若2a−3b=−1.则代数式4a2−6ab+3b的值为_________．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
已知关于x的多项式6x2−7x+m分解因式后有一个因式是2x−1，求m的值，并把该多项式分解因式．
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，则x2−4x+m=(x+3)(x+n)，
即x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴n+3=−4,3n=m,解得m=−21,n=−7.
故另一个因式为x−7，m的值为−21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是2x−5，求另一个因式以及k的值．
已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解后有一个因式是3x−2．
(1)求m的值；
(2)将该多项式因式分解．
如图，由一个边长为m的正方形与长、宽分别为m、n的两个小长方形拼接成一个大长方形ABCD，这个图形可表达一些有关多项式分解因式的等式.请你写出两个这样的等式．
已知：x、y满足：(x+y)2=5，(x−y)2=41；求x3y+xy3的值．
(1)已知多项式2x3−x2+m有一个因式是2x+1，求m的值(m是常数)．
(2)已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，试判断△ABC的形状．
(1)将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)．
①分解因式：ab−a−b+1；
②若a，b(a>b)都是正整数且满足ab−a−b−4=0，求a+b的值；
(2)若a，b为实数且满足ab−a−b−4=0，s=a2+3ab+b2+3a−52b，求s的最小值。
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了因式分解与多项式相乘是互逆运算，解答此题要熟练掌握多项式乘法的运算法则；
解答此题把多项式相乘展开，然后利用系数对应即可求解．
【解答】
解：∵(x−5)(x+7)
=x2+7x−5x−35
=x2+2x−35
=x2−mx−35，
∴−m=2，
∴m=−2．
故选A．

2.【答案】D
【解析】解：∵代数式x3+ax2+bx+8其中有两个因式分别为x+1和x+2，
∴x=−1、x=−2肯定是关于x的方程x3+ax2+bx+8=0的两个根，则
−1+a−b+8=0−8+4a−2b+8=0，即a−b=−74a−2b=0，
解得a=7b=14，
a+b=7+14=21．
故选：D．
由x3+ax2+bx+8其中有两个因式分别为x+1和x+2得到x=−1、x=−2肯定是关于x的方程x3+ax2+bx+8=0的两个根，所以将其分别代入该方程列出关于a、b的方程组，通过解方程组来求a、b的值，再代入计算即可求解．
本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义得到x=−1、x=−2肯定是关于x的方程x3+ax2+bx+8=0的两个根是解题的难点．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了因式分解的应用，根据因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断．
【解答】
解：①x2+3x+1=x(x+3+1x)，不是整式的乘积，故错误；
②(a+b)(a−b)=a2−b2，不是整式乘积的形式，故错误；
③15x2y=3x⋅5xy，分解的不是多项式，故错误；
④a2−2a+1=(a−1)2，符合因式分解定义，故正确；
故选A．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了对因式分解定义的应用，能理解因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．根据因式分解的定义(把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式)判断即可．
【解答】
解：A.xy2−3x2y+xy=xy(y−3x+1) 是因式分解，但因式分解结果错误，故本选项错误；
B.x4−2x2+1=(x2−1)2=(x+1)2(x−1)2，未分解彻底，故本选项错误；
C.(x−3)(x+4)=x2+x−12属于多项式乘多项式，不是因式分解，故本选项错误；
D.x3−x2+14x=x(x−12)2利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解，故本选项正确．
故选D．

5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了完全平方公式、因式分解的提公因式法及质数合数的问题，分P=3及P>3两种情况讨论即可解答．
【解答】
解：当p=3时，8p2+1=73是质数，8p2−p+2=71也是质数，符合题意，
当p>3时，质数p就不是3的倍数，不妨设p=3k+1或3k+2，k是正整数．
(1)若p=3k+1，则8p2+1=8(3k+1)2+1=3(24k2+16k+3)，是合数，舍去；
(2)若p=3k+2，则8p2+1=8(3k+2)2+1=3(24k2+32k+11)，也是合数，舍去，
所以p既不是3k+1型质数，也不是3k+2型质数．
因此p=3是质数，并且8p2+1也是质数，则8p2−p+2是质数．
故选：A．

6.【答案】C
【解析】解：(−3)m+2×(−3)m−1
=(−3)m−1×(−3+2)
=−(−3)m−1．
故选：C．
直接提取公因式(−3)m−1，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式b(x−2)．
首先把2−x变为−(x−2)，然后再找出公因式b(x−2)．
【解答】
解：原式=b2(x−2)−b(x−2)=b(x−2)(b−1)．
故选C．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了多项式中公因式的提取方法，根据公因式的概念及确定方法，从系数、相同字母、指数三个方面进行确定，即可求得多项式的公因式．
【解答】
解：根据找公因式的方法，可得
8xmyn−1、−12x3myn的各项整数系数的最大公约数为4，
各项的相同字母为x、y，且x的最小指数m，y的最小指数n−1，
所以多项式8xmyn−1−12x3myn的公因式是4xmyn−1，
故选D．
9.【答案】C
【解析】解：−6可以分成：−2×3，2×(−3)，−1×6，1×(−6)，
□中填上的整数应该是−6的两个因数的和，即1，−1，5，−5．
故选C．
根据十字相乘法的分解方法和特点可知：□中填上的整数应该是−6的两个因数的和，即1，−1，5，−5
本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键.先把各个多项式分解因式，即可得出结果．
【解答】
A.a2−1=(a+1)(a−1)，含因式a+1;
B.a2+a=a(a+1)，含因式a+1;
C.a2+a−2=(a+2)(a−1)，不含因式a+1;
D.(a+2)2−2(a+2)+1=(a+2−1)2=(a+1)2，含因式a+1．
故选C．

11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的应用，利用提取公因式法因式分解，渗透整体代入的思想．
多项式共有2020项，从第一项起每3项一组，每组都含有x2+x+1，最后剩下一项1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：∵x2+x+1=0，
∴原式=x2017(x2+x+1)+x2014(x2+x+1)+⋯⋯+x(x2+x+1)+1=1.
故选B.
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查因式分解的应用以及勾股定理的逆定理.将题中所给的等式移项并进行因式分解，化简，再根据勾股定理的逆定理，判断三条边a、b、c之间的关系，即可得出本题答案.掌握因式分解以及勾股定理是本题的关键，对题中式子进行因式分解，化简，利用勾股定理逆定理即可．
【解答】
解：∵a4−b4+a2c2−b2c2=0，
∴(a2c2−b2c2)−(a4−b4)=0，
∴c2(a+b)(a−b)−(a+b)(a−b)(a2+b2)=0，
∴(a+b)(a−b)(c2−a2−b2)=0，
∵a+b≠0，
∴a−b=0或c2−a2−b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．

13.【答案】5
【解析】
【分析】
本题主要考查了因式分解与整式乘法的关系，多项式乘多项式，有理数的乘法，有理数的加法，有理数的大小比较，对常数项的不同分解是解本题的关键.首先根据多项式与多项式的乘法法则将等式的右边展开，从而得到m=p+q，pq=−6，然后把−6分解为两个整数的积，进而确定p+q的最大值即可．
【解答】
解：∵x2+mx−6=(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，
∴m=p+q，pq=−6，
∵pq=−6=−1×6=−2×3=−6×1=−3×2，
∴m=p+q=5或1或−5或−1．
又∵5>1>−1>−5，
∴m的最大值是5．
故答案为5．
14.【答案】(x−6)(x+2)
【解析】
【分析】
本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型.根据因式分解法的定义即可求出答案．
【解答】
解：甲错了a的值：x2+ax+b=(x+6)(x−2)=x2+4x−12，
∴b=−12，
乙看错了b的值：x2+ax+b=(x−8)(x+4)=x2−4x−32，
∴a=−4．
∴x2+ax+b分解因式正确的结果：x2−4x−12=(x−6)(x+2)．
故答案为(x−6)(x+2)．
15.【答案】x+3
【解析】
【分析】
利用平方差公式和完全平方公式分解因式，然后再确定公因式即可．
本题主要考查公因式的确定，利用公式法分解因式是解本题的关键．
【解答】
解：x2−9=(x+3)(x−3)，
x2+6x+9=(x+3)2．
所以多项式x2−9，x2+6x+9的公因式是x+3．
16.【答案】1
【解析】
【分析】
此题主要考查了代数式求值，因式分解的应用，整体代入法，正确将原式变形是解题关键．
将代数式4a2−6ab+3b变形后，整体代入可得结论．
【解答】
解：已知2a−3b=−1，
4a2−6ab+3b，
=2a(2a−3b)+3b，
=−2a+3b，
=−(2a−3b)，
=1．
故答案为1．
17.【答案】解：设另一个因式为3x+a，则6x2−7x+m=(2x−1)(3x+a)，即6x2−7x+m=6x2+(2a−3)x−a，
所以2a−3=−7,−a=m,解得a=−2,m=2.
所以原多项式是6x2−7x+2，它可以分解因式为(2x−1)(3x−2)．
【解析】略
18.【答案】解：设另一个因式为x+a，则2x2+3x−k=(2x−5)(x+a)，
即2x2+3x−k=2x2+(2a−5)x−5a，
∴2a−5=3,−5a=−k,解得a=4,k=20.
故另一个因式为x+4，k的值为20．
【解析】见答案
19.【答案】解：(1)∵x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x−2，
当x=23时多项式的值为0，
即3×49+23+m=0，
∴2+m=0，
∴m=−2；
(2)3x2+x+m=3x2+x−2=(x+1)(3x−2)；
故答案为：m=−2，(x+1)(3x−2)．
【解析】(1)由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x−2，所以当x=23时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值；
(2)把m的值代入3x2+x+m，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求出答案．
本题主要考查因式分解的意义和方法，关键是根据关于x的多项式3x2+x+m因式分解后有一个因式是3x−2得出当x=23时多项式的值为0．
20.【答案】略
【解析】略
21.【答案】解：∵(x+y)2=5，(x−y)2=41，
∴(x+y)2+(x−y)2=46，
则x2+2xy+y2+x2−2xy+y2=46，
2(x2+y2)=46，
故x2+y2=23，
(x+y)2−(x−y)2=−36，
则x2+2xy+y2−x2+2xy−y2=−36，
故4xy=−36，
则xy=−9，
x3y+xy3=xy(x2+y2)
=−9×23
=−207．
【解析】直接利用已知将原式变形得出x2+y2=23，xy=−9，进而求出答案．
此题主要考查了完全平方公式的应用，正确将已知变形是解题关键．
22.【答案】解：(1)∵多项式2x3−x2+m有一个因式是2x+1，
∴2x3−x2+m=(2x+1)A，
当x=−12时，
−14−14+m=0，
解得m=12．
(2)∵a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，
∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0，
a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+a2+c2−2ac=0，
∴(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，
∴a−b=0，b−c=0，c−a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
【解析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断；以及灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．
(1)令2x3−x2+m=(2x+1)A的形式，当x=−12时，可以转化为关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值；
(2)将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a−b=0，b−c=0，c−a=0，即可判断出△ABC的形状．
23.【答案】解：(1)①ab−a−b+1
=(ab−a)−(b−1)
=a(b−1)−(b−1)
=(a−1)(b−1)．
②由题得ab−a−b+1=5，即(a−1)(b−1)=5．
∵a，b为正整数且a>b，
∴a−1=5b−1=1，即a=6b=2．
∴a+b=8．
(2)由题得ab=a+b+4．
∴s=a2+3ab+b2+3a−52b
=a2+3(a+b+4)+b2+3a−52b
=a2+6a+b2+12b+12
=(a+3)2+(b+14)2+4716．
∵(a+3)2≥0,(b+14)2≥0，
∴s≥4716(当且仅当a=−3,b=−14时取等号)．
经验证：a=−3,b=−14满足ab−a−b−4=0，
综上，s的最小值为4716．
【解析】本题主要考查分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解决本题的关键．
(1)①先分组，再运用提公因式法进行因式分解．
②现将ab−a−b−4=0变形为ab−a−b+1=5，即(a−1)(b−1)=5，然后再解决本题．
(2)先将ab−a−b−4=0变形为ab=a+b+4，再代入S，然后进行变形，得到S=(a+3)2+(b+14)2+4716.最后，探究S的最小值．