高中2.1 相等关系与不等关系习题

课时跟踪检测(十)　基本不等式

[A级　基础巩固]

1．不等式a＋1≥2(a＞0)中等号成立的条件是(　　)

A．a＝0　　　　　　　 B．a＝

C．a＝1  D．a＝2

答案：C

2．不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　)

A．a＝4  B．a＝

C．a＝－  D．a＝±

解析：选D　此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±，故选D.

3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的是(　　)

A.＋<1  B．＋≥1

C.＋<2  D．＋≥2

解析：选B　因为ab≤≤＝4，所以＋≥2≥2＝1，当且仅当a＝b＝2时等号成立．

4．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是(　　)

A．a2＋b2＞2ab  B．a＋b≥2

C.＋＞  D．＋≥2

解析：选D　对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B、C，ab＞0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B、C错误；对于D，因为ab＞0，所以＞0，＞0，所以＋≥2，即＋≥2恒成立．故选D.

5．(多选)设a＞0，b＞0，下列不等式恒成立的是(　　)

A．a2＋1＞a  B．≥4

C．(a＋b)≥4  D．a2＋9＞6a

解析：选ABC　由于a2＋1－a＝＋＞0，故A恒成立；由于＝ab＋＋＋≥2 ＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故B恒成立；

由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b＝1时，“＝”成立，故C恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故D不恒成立．

6．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________．

解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，

所以x－2y>0，即x>2y.

答案：x>2y

7．已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．

解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.

答案：　

8．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．

解析：x2＝，y2＝a＋b＝，

∵a＋b＞2(a≠b)，∴x2＜y2，∵x，y＞0，∴x＜y.

答案：x＜y

9．设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，求实数k的取值范围．

解：因为a＞0，b＞0，所以原不等式可化为k≥－(a＋b)，所以k≥－－2.

因为＋≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，

所以－－2≤－4，

所以k≥－4，即k的取值范围是[－4，＋∞)．

10．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.

证明：因为a>0，b>0，c>0，

所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，

所以＋＋≥6，

当且仅当＝，＝，＝，

即a＝b＝c时，等号成立．

所以＋＋≥6.

[B级　综合运用]

11．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　)

A．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

B．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

C．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

D．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

解析：选A　∵a＋b≥2，∴ab≤＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．∵c＋d≥2，∴c＋d≥2＝4，当且仅当c＝d＝2时取等号．故c＋d≥ab，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号．

12．(多选)设a，b是正实数，则下列各式中成立的是(　　)

A．a＋b≥2  B．＋≥2

C.≥2  D．≤

解析：ABC　由≥得a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，∴A成立；∵＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，∴B成立；

∵≥＝2，当且仅当a＝b时等号成立，∴C成立；

∵－＝≥0，∴≥，∴D不成立，故选A、B、C.

13．设x＞0，则的最小值为________．

解析：由x＞0，可得x＋1＞1.令t＝x＋1(t＞1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．

答案：2－1

14．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

解：因为＋＝1，

所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，

又x＋y的最小值为18，所以(＋)2＝18.

由得或

故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．

[C级　拓展探究]

15．阅读下列材料：

二元基本不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立．

证明：因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以(a＋b)2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立．

三元基本不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．

证明：设d为正数，由二元基本不等式，

得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立．

令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，

由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．

利用上述结论求解：设a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)(1－c)的最大值．

解：因为a＞0，b＞0，c＞0，≥，

所以abc≤，

又因为a＋b＋c＝1，

0＜1－a＜1，0＜1－b＜1，0＜1－c＜1，

所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝，

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为，