湘教版（2019）必修第一册2.2 从函数观点看一元二次方程课后复习题

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这是一份湘教版（2019）必修第一册2.2 从函数观点看一元二次方程课后复习题，共4页。

[A级基础巩固]
1．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点个数为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0
解析：选C 由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函数的零点为1个，当a≠1时，函数的零点有2个；所以该函数的零点个数是1或2.
2．函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为－2和3，a<0，那么函数y2＝cx2－bx＋a的零点为( )
A．－eq \f(1,3)和eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)和－eq \f(1,2)
C．－3和2 D．无法确定
解析：选A 由题意知，－2＋3＝－eq \f(b,a)，－2×3＝eq \f(c,a)，∴b＝－a，c＝－6a，由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－eq \f(1,3)，x2＝eq \f(1,2)，故选A.
3．关于x的函数y＝x2－2ax－8a2(a>0)的两个零点为x1, x2，且x2－x1＝15，则a＝( )
A.eq \f(5,2) B．eq \f(7,2)
C.eq \f(15,4) D．eq \f(15,2)
解析：选A 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.
由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝eq \f(5,2).故选A.
4．已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是( )
A．[－4，－3) B．(－4，－3]
C．(－4，－3) D．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)
解析：选C x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，故方程的判别式Δ>0；当x＝2时函数值y>0；函数对称轴x＝3>2.即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝（－6）2－4（5－m）>0，,4－12＋5－m>0，))解得－45．(多选)若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3
B．m>－eq \f(1,4)
C．当m>0时，2D．当m>0时，x1<2<3解析：选ABD 对于A，m＝0时，方程为(x－2)(x－3)＝0，解得x1＝2，x2＝3，所以A正确．对于B，将方程整理可得x2－5x＋6－m＝0，由于方程有两个不同的实数根，所以Δ＝25－4(6－m)>0，解得m>－eq \f(1,4)，所以B正确．对于C和D，当m>0时，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m<6，结合2＋3＝5，2×3＝6即可得出x1<2，x2>3，故选项C不符合题意，选项D符合题意．
6．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝__________．
解析：因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋n＝a，,mn＝a，))所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(m＋n,mn)＝1.
答案：1
7．函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为________．
解析：因为函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝12－4m>0，,x1＋x2＝－1<0，,x1x2＝m>0，))解得0答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
8．已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值范围是________________．
解析：当a＝0时，函数y＝3，无零点，当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得，x＝eq \f(a－3,2a)，所以－10时，－2a1；当a<0时，－2a>a－3>2a，解得a<－3，所以实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
9．已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1.求此一元二次函数的解析式．
解：法一(利用一般式)：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
∴所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：设y＝a(x－m)2＋n.
∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1.
∴抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋（－1）,2)＝eq \f(1,2).
∴m＝eq \f(1,2).又根据题意知函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8.
又抛物线过点(2，－1)，
∴aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，
∴y＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.
10．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
证明：法一：对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0，
所以函数y＝ax2－x－a有两个零点．
法二：因为函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)的图象为开口向上的抛物线，
无论a为任何实数，当x＝－1时，y＝(－1)2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M(－1，－1)．
所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
[B级综合运用]
11．(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是( )
A．函数一定有两个零点
B．a>0时，函数一定有两个零点
C．a<0时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
解析：选BCD 当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，故B、C正确．当a＝0时，函数有唯一零点为0，故D正确，A不正确．
12．已知实数a解析：由题意知：x＝a或x＝b时，y＝－1，二次函数的图象的开口方向向上，画出简图(图略)，易得m答案：m13．已知函数y＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有y≤0，则实数a的取值范围是________．
解析：若a＝0，则y＝－1≤0恒成立，若a≠0，则由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ＝a2＋4a≤0，))解得－4≤a<0，综上，得a∈[－4，0]．
答案：[－4，0]
14．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>eq \f(1,2)，求实数a的取值范围．
解：函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，
又x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1>\f(1,2)，,a－1<－1，))解得－eq \f(1,2)[C级拓展探究]
15．(1)若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0的两根x1，x2满足－1(2)若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0在－1解：(1)函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图象是连续曲线，则由题意可知f(－1)·f(1)<0且f(1)·f(3)<0，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（3k－2）（－k－4）<0，,（－k－4）（3k－6）<0，))解得k<－4或k>2.
故实数k的取值范围是{k|k<－4或k>2}．
(2)如图，分别作出k>0和k<0时符合题意的函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的大致图象，由图可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝（2k＋1）2＋12k>0，,kf（－1）＝k（3k－2）>0，,kf（1）＝k（－k－4）>0，,－1<\f(2k＋1,2k)<1，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k>－2＋\f(\r(15),2)或k<－2－\f(\r(15),2)，,k>\f(2,3)或k<0，,－4则－4

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