数学必修 第一册2.1 相等关系与不等关系第二课时学案设计

第二课时　不等式的性质

清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着短裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光．只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.57～0.6之间．设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618.

[问题]　你能利用不等式的性质证明吗？

知识点　等式与不等式的性质

对不等式性质的四点说明

(1)性质2(即传递性)，在它的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识；

(2)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据；

(3)性质4(即可乘性)，在使用时要特别注意研究“乘数的符号”；

(4)性质5(即可开方性)，在使用时注意该性质的适用条件是a>b>0.　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　)

(2)若a＜b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(　　)

(3)若a＞b，则ac2＞bc2一定成立．(　　)

(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)

A．a>b>－b>－a　　　 B．a>－b>－a>b

C．a>－b>b>－a  D．a>b>－a>－b

答案：C

3．若a＞b＞0，n＞0，则________.(填“＞”“＜”或“＝”)

答案：＜

[例1]　(链接教科书第36页练习1题)(多选)对于实数a，b，c，下列结论正确的是(　　)

A．若a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3

B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2

C．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0

D．若a＜b＜0，则＞

[解析]　A：因为a3，b3不改变a，b的符号，即符合不等式的可乘方性，故该结论正确．

B：由可得a2＞ab.因为所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2.故该结论正确．

C：由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0.故该结论正确．

D：依题意取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，显然＜.故该结论错误．故选A、B、C.

[答案]　ABC

利用不等式的性质判断正误的2种方法

(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；

(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．　　　　

[跟踪训练]

1．下列命题中，正确的是(　　)

A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

B．若ac＞bc，则a＜b

C．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d

D．若＜，则a＜b

解析：选D　选项A中，当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当c＜0时，ac＞bc可推出a＜b.当c＞0时，ac＞bc可推出a＞b，故B不正确；选项C中，由a＞b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正确；选项D中，式子＜成立，显然c≠0，所以c2＞0，根据不等式的性质：不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有a＜b成立，故D正确．故选D.

2．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．ab>bc　　　　　　 B．ac>bc

C．ab>ac  D．a|b|>|b|c

解析：选C　因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.

[例2]　(链接教科书第36页例3、例4)已知c>a>b>0，求证：>.

[证明]　因为a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b.

因为c>a，所以c－a>0.

所以0<c－a<c－b.

上式两边同乘，得>>0.

又因为a>b>0，

所以>.

利用不等式的性质证明不等式的注意事项

(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；

(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．　　　　

[跟踪训练]

1．已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.

证明：因为a＞b，c＞0，

所以ac＞bc，即－ac＜－bc.

又e＞f，即f＜e，

所以f－ac＜e－bc.

2．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.

证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，

∴bc＋bd≥ad＋bd，

即b(c＋d)≥d(a＋b)．

又bd＞0，两边同除以bd得，≤.

[例3]　已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．

[解]　∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.

∴8＜2a＋3b＜32.

∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.

又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，

即－7＜a－b＜2.

故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2.

[母题探究]

(变设问)在本例条件下，求的取值范围．

解：∵2＜b＜8，∴＜＜，而1＜a＜4，

∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.

故的取值范围是<<2.

利用不等式的性质求取值范围的策略

(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围；

(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．　　　　

[跟踪训练]

已知－1＜x＜4，2＜y＜3.

(1)求x－y的取值范围；

(2)求3x＋2y的取值范围．

解：(1)因为－1＜x＜4，2＜y＜3，

所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.

(2)由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，

所以1＜3x＋2y＜18.

不等式性质的应用实例探究

下列关于糖水浓度的问题，你能否抽象出相应的数学表达式，并应用不等式的性质证明？

1．把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；

2．如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了．

[问题探究]

1．设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且<，求证：<<(其中b>a>0，d>c>0)．

证明：∵<，且b>a>0，d>c>0，

∴ad<bc，即bc－ad>0，

－＝＝<0，即<，

－＝＝>0，

即<.∴<<.

2．设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证>(其中b>a>0，m>0)．

证明：－＝＝>0，

∴>.

[迁移应用]

已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证：＋>.

证明：∵在△ABC中，a＋b－c>0，

∴<＝.

又∵>，>，

∴＋>＋＝>.

1．根据等式的性质判断下列变形正确的是(　　)

A．如果2x＝3，那么＝

B．如果x＝y，那么x－5＝5－y

C．如果x＝6，那么x＝3

D．如果x＝y，那么－2x＝－2y

解析：选D　对于A，没有a≠0的条件，等式的两边不能都除以a，故选项A不正确；对于B，等式的左边减去5，等式的右边乘以－1后加上5，等式不成立，故选项B不正确；对于C，等式的左边乘以2，等式的右边除以2，等式不成立，故选项C不正确；对于D，等式的两边都乘以－2，等式成立，故选项D正确．

2．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　)

A．若a＞b，c＞b，则a＞c　 B．若a＞－b，则c－a＜c＋b

C．若a＞b，c＜d，则＞  D．若a2＞b2，则－a＜－b

解析：选B　选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才成立，否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.

3．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则(　　)

A．b＜0，c＜0  B．b＞0，c＞0

C．b＞0，c＜0  D．0＜c＜b或c＜b＜0

解析：选D　由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，

又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.

4．已知－6＜a＜8，2＜b＜3，求的取值范围．

解：∵2＜b＜3，∴＜＜.

①当0≤a＜8时，0≤＜4；

②当－6＜a＜0时，－3＜＜0.

由①②得－3＜＜4，即的取值范围是－3＜＜4.