人教A版（2019）选择性必修三 高中数学同步 数学探究：杨辉三角的性质与应用 (数学阅读+精讲）学案

数学探究：杨辉三角的性质与应用 (数学阅读+精讲）

相关知识阅读

杨辉三角的历史沿革

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．

杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶(约公元1050年)贾宪的《释锁算术》，

并绘画了“古法七乘方图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．

元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”．

意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚．

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”．

布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708

年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形．

    21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)

历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：

贾宪　中国北宋　11世纪　《释锁算术》

杨辉　中国南宋1261　《详解九章算法》　记载之功

朱世杰　中国元代　1299　《四元玉鉴》　级数求和公式

阿尔·卡西　阿拉伯　1427　《算术的钥匙》

阿皮亚纳斯　德国　1527

米歇尔．斯蒂费尔　德国　1544　《综合算术》　二项式展开式系数

薛贝尔　法国　1545

B·帕斯卡　法国　1654　《论算术三角形》

其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古代数学史曾经

有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.

数学之美：杨辉三角(帕斯卡三角)的奇特性质

杨辉三角(也称帕斯卡三角)相信很多人都不陌生，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1

开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和．

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．在欧洲，帕斯卡(1623—1662)在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三

角形．帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．

就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性:

1．最外层的数字始终是1

2．第二层是自然数列

3．第三层是三角数列

什么是三角数列，看一下图就明白了，这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．

4．三角数列相邻数字相加可得方数数列

什么又是方数数列呢？雷同与三角数列，就是它的数字始终可以组成一个完美的正方形．

5．每一层的数字之和是一个2倍增长的数列

6.斐波那契数列

如果按照一定角度将直线上的数字相加，我们也可以从杨辉三角中找到斐波那契数列．

斐波那契数列是指从 0，1 两个数开始，每一位数始终是前两位的和．这个数列有个神秘的特性，即越往后，相邻两数的比值越来越逼近黄金分割数 0.618(或1.618，两数互为倒数)．斐波那契数列和黄金分割数不但在大自然中处处可见，在人类的艺术设计中也是应用非常广泛．

7．素数

素数是指只能被1和它本身整除的数字．然而在杨辉三角里，除了第二层自然数列包含了素数以外，其他部分的数字都完美避开了素数．

8．可以被特定数整除的数字形成了奇妙的分形结构

9．如果我们把杨辉三角再放大，就会发现这些可以被特定数字整数的数的分布非常有规律，它们会形成类似分形的图案．

知识点一：二项式系数的性质

①各二项式系数和： ；

②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

知识点二：杨辉三角至少具有以下性质：

①每一行都是对称的，且两端的数都是1

②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．

③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的．

(4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．

题型1：二项展开式的系数问题

1．（2022·全国·高二）在(2x－3y)10的展开式中，求：

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项系数和与偶数项系数和.

2．（2021·全国·高二课时练习）已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：

（1）的值；

（2）展开式中项的系数；

（3）展开式中所有含的有理项．

3．（2021·全国·高二课时练习）从函数角度看，可以看成以为自变量的函数，其定义域是．

（1）画出函数的图象；

（2）求证：；

（3）试利用（2）的结论来证明：当为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大．

题型2 ：杨辉三角的有关问题

1．（2021·全国·高二单元测试）在杨辉三角中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示，那么在杨辉三角中出现三个相邻的数，其比为3：4：5的行数为（    ）

A．58 B．62 C．63 D．64

2．（2021·福建·高二期中）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵(如图)，称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的"帕斯卡三角形”早了300多年，若用表示三角形数阵中的第行第个数，则按照自上而下，从左到右顺次逐个将杨辉三角中二项式系数相加，加到这个数所得结果为（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·浙江浙江·高二期末）杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．

下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．

借助上面的表示形式，判断与的值分别是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·湖南师大附中高一期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前56项和为（    ）

A．2060 B．2038 C．4084 D．4108

5．（2020·安徽定远·高一期中）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列： ，记此数列的前项之和为，则 的值为

A． B． C． D．

6．（2022·河北·武安市第一中学高三阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则___________.

7．（2021·江西·九江一中高二阶段练习（理））如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都一是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角“中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是____________．

8．（2022·浙江·高三专题练习）杨辉三角为：

杨辉三角中存在着很多的规律，根据连线上的数字猜想下列数列前若干项的和：___________．

题型3：求二项展开式中的最大项问题

1．（山东省淄博市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为______．

2．（2022·全国·高三专题练习）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．

3．（2021·上海市建平中学高二期末）已知展开式中的常数项是第五项，则系数最大项为第________项．

4．（2021·全国·高二课时练习）已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大4032，则展开式中二项式系数最大的项为______.

5．（2022·全国·高三专题练习）若二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为__．

题型4：二项式定理的应用

1．（2022·全国·高三专题练习）若，则被8整除的余数为___________.

2．（2022·浙江·高三专题练习）设，且，若能被17整除，则的值为 _____.

3．（2021·河南·高二期中（理））除以97的余数是________．

4．（2021·全国·高二课时练习）若，则被12整除的余数为______．

5．（2021·全国·高二课时练习）的计算结果精确到的近似值是

A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34

6．（2017·全国南阳·期末（理））_________（小数点后保留三位小数）．

7．（2021·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到的近似值，则这个近似值是________.

8．（2021·广东·珠海市第二中学高二阶段练习）的近似值（精确到）为________．