人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理教学设计

6.3.1二项式定理

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第三册第六章)

一、教学内容

二项式定理.

二、教学目标

1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；

2.会应用二项式定理求解二项展开式；

3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；

4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.

三、教学重点与难点

重点：应用二项式定理求解二项展开式

难点：利用计数原理分析二项式的展开式.

四、教学过程设计

1、问题探究

上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开式的问题。

问题1：我们知道

 =a2+2ab+b2,

（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？

（2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？

（3）进一步地，你能写出的展开式吗？

我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，

可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选 或），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有=项，而且每一项都是（ =0,1,2）的形式.

我们来分析一下形如的同类项的个数.

当=0时，=，这是由2个中都不选得到的，因此，出现的次数相

当于从2个中取0个（即都取）的组合数，即只有1个；

当=1时，= ，这是由1个中选，另一个选得到的，由于选定后，的选法也随之确定，因此， 出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即只有2个；

当=2时，= ，这是由2个中选得到的，因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个；

由上述

问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？

       类似

1．二项式定理

(a＋b)n＝_________________________ (n∈N*)．

(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．

(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn

n＋1 ；  C

2．二项展开式的通项公式

(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.

k＋1 ；  Can－kbk

二项式定理形式上的特点

(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.

(2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.

(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即+…+=2n.

(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.

2、典例解析

例1.求的展开式.

     解：根据二项式定理

+

1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.

2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.

例2.（1）求的展开式的第4项的系数；

（2）求的展开式中的系数.

解：的展开式的第4项是

因此,展开式第4项的系数是280.

（2） 的展开式的通项是

根据题意，得  ，因此，

二项式系数与项的系数的求解策略

(1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,

要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.

(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)7的

展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3,其二项式系数是=35,而第4项的系数是23=280.

五、课堂小结

1. 二项式定理；

2. 运用通项公式求指定项或指定项的系数.

六、课后作业

1、课本P31    练习1,2,3，4,5 （做在课本上）

2、课本P34    习题6.3   4、5