第三讲 基本不等式-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第三讲 基本不等式

【基础知识】

1.不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).

2.均值不等式：≤

(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.

3.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

4.利用均值不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).

5.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.

6.三个“二次”间的关系

7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集

8.分式不等式与整式不等式

(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).

(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

[方法技巧]

1.有关分数的性质

(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).

(2)若ab>0，且a>b⇔<.

2.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.

3.≤≤≤(a>0，b>0).

4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.

1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a).

记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.

5.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.

6.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.

(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或

(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或

【考点剖析】

考点一　不等式的性质

【典例1】已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

  故A错误;

故B错误;

故C错误;

故D正确.

故选: D

【典例2】对于任意实数，，，，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】C

【详解】

A：若，则，故A错误；

B：若，则，则，故B错误；

C：因为，则，两边同除以，得，故C正确；

D：若，则，故D错误.

故选：C.

【跟踪训练1】实数满足，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

A，若，则，故A错误；

B，若，则，故B错误；

C，若，则，

所以，故C正确；

D，若，则，故D错误.

故选：C

【跟踪训练2】已知a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（    ）

A．ab＞cd B．a－b＞c－d

C．ab＋cd＞ad＋bc D．

【答案】C

【详解】

若,此时，，.A、B、D错误.

因为，所以，又因为，所以，C正确.

故选C.

【跟踪训练3】若，则下列不等式中，不能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

若，

则，即，A成立；

，即，B不成立；

，C成立；，D成立；

故选：B

考点二　利用均值不等式

【典例1】已知，则的最小值是_______．

【答案】

【详解】

∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

【跟踪训练1】 设，，，则的最小值为__________.

【答案】.

【详解】

由，得，得

，

等号当且仅当，即时成立．

【跟踪训练2】设，则的最小值为______.

【答案】

【详解】

，

当且仅当，即时成立，

故所求的最小值为．

考点三　一元二次不等式的解法　

【典例1】已知p：；q：，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

因为，

又因为∀x∈R，ax2﹣ax﹣1＜0，

当时，满足题意；

当时，即，综上；

所以，但，故p是q的充分不必要条件.

故选：A.

【典例2】已知函数，若不等式的解为，则的值为（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】A

【详解】

由题知，-1,4为方程的两个根，

则，解得，

故，

故选：A

【跟踪训练1】不等式的解为（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】B

【详解】

，解得或

故选：B

【跟踪训练2】“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

因为解得，

而，解得，

所以若，则不一定成立；

反之，若，则一定成立；

所以”是“”的必要不充分条件，

故选：C

【跟踪训练3】设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

由可得，由可得

所以“”是“”的必要而不充分条件

故选：B

【真题演练】

1．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

2．若满足约束条件则的最小值为（    ）

A．18 B．10 C．6 D．4

【答案】C

【详解】

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,

转换目标函数为，

上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，

此时.

故选：C.

3．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【详解】

由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

4．若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

画出满足约束条件的可行域，

如下图所示：

目标函数化为，

由，解得，设，

当直线过点时，

取得最小值为.

故选：B.

5．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为

A．−7 B．1 C．5 D．7

【答案】C

【详解】

由题意作出可行域如图阴影部分所示.

设,

当直线经过点时,取最大值5.故选C.

6．（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【详解】

对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

 【过关检测】

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

解得，即，

解得，即，

于是有，

所以.

故选：B

2．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，，且，

所以，

所以，

所以，即

当且仅当

即，时等号成立，故的最小值．

3．若、满足约束条件，则的最大值是（    ）

A． B．1 C．4 D．5

【答案】C

【详解】

解法一：把三个不等号改成等号，两两解出交点，再代入另一个不等式检验是否满足，本题三个点，，，均满足剩下的不等式（注意：不满足的点不要），再把三个点代入，比较大小，找出最大的一个即可，即代入最大为.

解法二：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由得，平移直线，

图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．

由，解得，即，

代入目标函数得，即目标函数的最大值为4

故选：C

4．若，则下列不等关系一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，，所以

故选：B

5．不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

∵，

∴，

∵

∴不等式成立的一个充分不必要条件是，

故选：D.

6．已知，，，则的最小值为（    ）

A．9 B．5 C． D．

【答案】C

【详解】

，所以.

第7题解析：由题意知，在平面和平面上的投影分别为和，取中点，连，，∵，，∴，，

故平面，

所以点的轨迹即为平面与正方体表面的交线，

取中点，连接，，则，

∴，，，四点共面，

∴点的轨迹即为等腰梯形，

由正方体棱长为2得，，

故轨迹长度为.

7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）

A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于

【答案】A

【详解】

解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），

先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.

由杠杆的平衡原理：，．解得，，

则.

下面比较与10的大小：（作差比较法）

因为，

因为，所以，即.

所以这样可知称出的黄金质量大于.

故选：A

8．设正实数、满足，则下列说法错误的是（    ）

A．有最大值 B．有最小值

C．有最小值 D．有最大值

【答案】B

【详解】

因为正实数、满足.

对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；

对于B选项，由基本不等式可得

，

当且仅当时，等号成立，B选项错误；

对于C选项，，所以，，

当且仅当时，等号成立，C选项正确；

对于D选项，，则，

当且仅当时，等号成立，D选项正确.

故选：B.

9．已知正数、满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，所以，，

因为、均为正数，所以，，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：C.

10．如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【详解】

设BD、AE交于O，因为，

所以，所以,

所以，则，

所以，

因为O、F、B三点共线，

所以，即，

所以，

因为，所以，

当且仅当，即时等号成立，此时，

所以，

故选：A