考点38 排列与组合-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题学案

这是一份考点38 排列与组合-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题学案，共14页。学案主要包含了排列的定义，排列相同的条件，排列数的定义，排列数公式及全排列，组合及组合数的定义，组合数公式，组合数的性质等内容，欢迎下载使用。

考点38 排列与组合

1．（2014·全国高考真题（理））4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；（2）周六、日各2人，有种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，选D．
【考点定位】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式．
2．（2020·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【分析】
根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】
4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

1.组合个数的求解策略
(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕．
(2)公式法：利用排列数A与组合数C之间的关系C＝求解．
2.有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
3.“分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．

一、排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
二、排列相同的条件
两个排列相同的充要条件：
(1)两个排列的元素完全相同．
(2)元素的排列顺序也相同．
三、排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
四、排列数公式及全排列
1．排列数公式的两种形式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)A＝.
2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
五、组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
六、排列与组合的关系
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数C与排列数A间存在的关系
A＝CA

七、组合数公式
组合数
公式
乘积
形式
C＝，
其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘
形式
C＝

规定：C＝1.
八、组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＝C＋C.


1．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）从包括甲､乙在内的7名学生中选派4名学生排序参加演讲比赛，则甲和乙参加，且演讲顺序不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西高三其他模拟（理））袋中有红､黄､绿，蓝颜色的球各一个，每次随机取一个后放回袋中，连续取四次，则取出的球颜色完全不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．
4．（2020·江苏高三一模）从3名女同学和2名男同学中任选2名同学参加活动，若选出的2名同学中至少有1名男同学，则不同的选法共有（ ）
A．3种 B．7种 C．10种 D．12种

5．（2021·全国高三其他模拟）从2个小孩，2个中年人，2个老人组成的6人中随机抽取3人做一个游戏，则这3人恰好有1个小孩，1个中年人，1个老人的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高三其他模拟）某校进行体育抽测，甲与乙两位同学都要在100m跑、立定跳远、铅球、引体向上、三级跳远这5项运动中，选出3项进行测试．假定他们对这五项运动没有偏好，则他们选择的结果中至少有两项相同运动的选法种数为（　　）
A．70 B．50 C．30 D．20
7．（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））某市从名优秀教师中选派名同时去个灾区支教（每地人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国高三其他模拟）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市联合举行，本次冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、冰球、雪橇、滑冰、滑雪7个大项．为确保冬奥会顺利举办，奥组委欲招募一批志愿者，甲、乙两名大学生审请报名时，计划在7个大项的服务岗位中随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ）
A．420种 B．1225种 C．441种 D．735种
9．（2021·安徽马鞍山市·（理））小明去文具店购买中性笔，现有黑色､红色､蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元.小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有（ ）
A．10种 B．15种 C．21种 D．28种
10．（2021·陕西渭南市·高三二模（理））以“全民全运同心同行”为主题口号的第十四届全国运动会将于2021年9月15日至27日在陕西举行.组委会安排五名工作人员到我市三个比赛场馆做准备工作，每个场馆至少人，则不同的安排方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
11．（2021·江西高三其他模拟（理））2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（ ）
A．28种 B．32种 C．36种 D．44种
12．（2021·麻城市实验高级中学高三月考）将5名学生分配到，，，，这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到社区，则不同的分配方法种数是（ ）
A．72 B．96 C．108 D．120
13．（2021·河南高三其他模拟（理））元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜、放烟花等一系列传统民俗活动，北方“滚”元宵，南方“包”汤圆．某超市在元宵节期间出售个品牌的黑芝麻馅汤圆，个品牌的豆沙馅汤圆，个品牌的五仁馅汤圆．若将这种汤圆随机并排摆在货架的同一层上，则同一种馅料的汤圆相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·江西九江市·九江一中高三其他模拟（理））清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．

15．（2009·四川高考真题（理））3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A．360 B．288 C．216 D．96
16．（2008·安徽高考真题（理））12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是
A． B． C． D．
17．（2009·全国高考真题（理））甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A．6种 B．12种 C．30种 D．36种
18．（2012·全国高考真题（理））将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有
A．种 B．种 C．种 D．种
19．（2012·山东高考真题（理））现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张.不同取法的种数为
A． B． C． D．
20．（2019·上海高考真题）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）


1．B
【分析】
甲和乙参加的概率为，甲和乙演讲顺序不相邻的概率为，由此能求出甲和乙参加，且演讲顺序不相邻的概率．
【详解】
甲和乙参加的概率为，甲和乙演讲顺序不相邻的概率为，
所求概率为；或直接为.
故选：B.
2．C
【分析】
首先求出基本事件总数，依题意满足条件的基本事件数即为将红､黄､绿，蓝四个球全排列的排列数，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：依题意基本事件总数为，取出的球颜色完全不相同，即将红､黄､绿，蓝四个球全排列，则满足条件的基本事件数为
故连续取四次，则取出的球颜色完全不相同的概率
故选：C
3．C
【分析】
根据二项式展开式表示出第5项与第6项的二项式系数，结合组数的运算即可求出结果.
【详解】
因为第5项二项式系数为，第6项的二项式系数为，
由题意知，所以，
即，所以，
故选：C.
4．B
【分析】
首先求出全部情况，再求出全是女生的情况，从而得到答案.
【详解】
从3名女同学和2名男同学中任选2名同学参加活动共有种，
全是女生共有种，
所以至少有1名男同学共有种.
故选：B

5．B
【分析】
根据题意，分别求出从6人中随机抽取3人的种数和这3人中恰好有1个小孩，1个中年人，1个老人的种数，结合古典概率求解即可.
【详解】
根据题意，从6人中随机抽取3人的结果数为，
这3人中恰好有1个小孩，1个中年人，1个老人结果数为，
故所求概率为．
故选B．
6．A
【分析】
考虑两种情况：①仅有两项相同，②三项都相同，采用组合数计算选法种数，由此求得结果.
【详解】
①仅有两项相同的选法数有：种，
②三项都相同的选法数有：种，
所以至少有两项相同运动的选法种数为种，
故选：A.
7．C
【分析】
考虑甲去或甲不去两种情况，分析乙、丙是否被选派，结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】
若甲去，则乙不去，丙去，此时不同的选派方法数为种，
若甲不去，则乙可能去也可能不去，丙不去，此时不同的选派方法数为种.
综上所述，不同的选派方法数为种.
故选：C.
8．A
【分析】
根据题意分三步考虑，利用乘法分步原理得解.
【详解】
根据题意可知，可分三步考虑：
第一步，在7项中选取2项，共有种不同的方法；
第二步，甲在剩下5项中选取1项，共有种不同的方法；
第三步，乙在剩下4项中选取1项，共有种不同的方法．根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（种），
故选：A．
【点睛】
方法点睛：利用两个计数原理解决问题的步骤：（1）审清题意，弄清要完成的事件是怎样的；（2）分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步，先分步后分类这四种方法中的哪一种；（3）弄清在每一类或每一步中的方法种数；（4）根据两个基本计数原理计算完成这件事的方法种数．
9．D
【分析】
将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，每组对应一种颜色的中性笔，利用隔板法求解.
【详解】
解：根据题意，小明只有6元钱且要求全部花完，则小明需要买6支中性笔，
将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，每组对应一种颜色的中性笔，
6个小球､2个挡板共8个位置，在其中任选6个安排小球，剩下2个安排挡板，有种；
故选：D.
【点睛】
方法点睛：排列组合常用的方法有：简单问题原理法、小数问题列举法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
10．A
【分析】
先将5人按照要求分成三组，再排序分到三个不同场馆，按照分步乘法计数原理计算即得结果.
【详解】
根据题意，分两步进行分析：
第一步：分成3组，每组至少一人.
（1）按照一组3人，其他两组各1人，共有种情况；
（2）按照一组1人，其他两组各2人，共有种情况.
故共有种分组方案；
第二步：排序.
将分好的三组进行全排列，分到三个不同的比赛场馆，共种排法.
故五名工作人员到三个比赛场馆，每个场馆至少人，不同的安排方法共有种.
故选：A.
【点睛】
易错点点睛：
处理平均分问题时，按照组合数进行分组后，要除以平均组数的全排列，以除掉重复的情况，这是常考的易错点.
11．B
【分析】
由题意，对高校甲排在第二或第三个进行分类讨论，接着考虑乙和丙的排法，最后考虑其他两所高校的排法，综合利用分类和分步计数原理进行分析即可.
【详解】
根据题意：分成以下两种情况进行分类讨论
高校甲排在第二个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时共有种排法，当乙或丙不排在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有 种排法，所以高校甲排在第二个时共有16种排法；
高校甲排在第三个时，高校丁必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一二个，一个排在第五六个，则共有种排法；
综上：共有32种排法满足题意.
故选：B.
【点睛】
解决受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．
12．B
【分析】
根据题意，分2步进行分析：①分析甲的安排数目，②剩下的4人安排到其余4个社区，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①学生甲不能分配到社区，则甲有4种安排方法，
②剩下的4人安排到其余4个社区，则有种分配方法，
则有种分配方法，
故选：B
【点睛】
方法点睛：排列组合的问题，常用的求解策略有：简单问题原理法、小数问题列举法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法.要根据已知灵活选择方法求解.
13．D
【分析】
利用“捆绑法”计算出事件“将这种汤圆随机并排摆在货架的同一层上，则同一种馅料的汤圆相邻”所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
将个品牌的豆沙馅汤圆、个品牌的黑芝麻馅汤圆分别捆绑，形成两个大“元素”，
所以，同一种馅料的汤圆相邻的排法种数为，
因此，所求事件的概率为.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
14．D
【分析】
基本事件总数，其中高一3人不相邻包含的基本事件个数，由此能求出高一年级3人不相邻的概率．
【详解】
解：共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，
采用抽签方式决定演讲顺序，高二年级3人相邻，基本事件总数，
其中高一3人不相邻包含的基本事件个数，
高一年级3人不相邻的概率．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：排列组合中“相邻问题”用捆绑法解决，“不相邻问题”用插空法解决.

15．B
【详解】
试题分析：先排三个男生有种不同的方法，然后再从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，让A、B插入男生旁边4个位置的两个位置有，此时共有6×6×12=432种，又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有：2×6×=144种不同的排法，∴共有432-144=288种不同排法．故选B
考点：本题考查了排列问题
点评：对于此类问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．
16．C
【详解】
试题分析：第一步从后排8人中选2人有种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是
考点：排列组合
点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法
17．C
【详解】
由=30选C.
18．A
【详解】
试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法，故不同的安排方案共有种，故选A．
考点：排列组合的应用．
19．C
【详解】
试题分析：3张卡片不能是同一种颜色，有两种情形：三种颜色或者两种颜色，如果是三种颜色，取法数为，如果是两种颜色，取法数为，所以取法总数为，故选C．
考点：分类加法原理与分步乘法原理．
【名师点晴】（1）对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．（2）当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．
20．24
【分析】
首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.
【详解】
在天里，连续天的情况，一共有种
剩下的人全排列：
故一共有：种
【点睛】
本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.