考点34 空间几何体的结构特征与直观图(考点详解)-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案
展开考点34 空间几何体的结构特征与直观图
作为立体几何的基础部分,了解与掌握
一、多面体的结构特征;
二、旋转体的结构特征。
三、空间几何体的直观图
【易错警示】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × )
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × )
(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.( √ )
多面体的结构特征
多面体的结构特征
名称 | 棱柱 | 棱锥 | 棱台 |
图形 | |||
含义 | ①有两个面互相平行且全等,其余各面都是平行四边形. ②每相邻两个四边形的公共边都互相平行 | 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体 | 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 |
侧棱 | 平行且相等 | 相交于一点但不一定相等 | 延长线交于一点 |
侧面形状 | 平行四边形 | 三角形 | 梯形 |
【方法技巧】空间几何体概念辨析题的常用方法
(1)定义法:紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.
(2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析.
【典例】
例1.(多选)以下命题,不正确的有( )
A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D.一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台
答案 ABD
解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A,B错误,C正确.对于命题D,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,D不正确.
例2.给出下列四个命题:
①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱;
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;
④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.
其中不正确的命题为________.(填序号)
答案 ①②③
解析 对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错;对于②,对等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图),故②错;对于③,若底面不是矩形,则③错;对于④,可知侧棱垂直于底面,故④正确.
综上,命题①②③不正确.
旋转体的结构特征
名称 | 圆柱 | 圆锥 | 圆台 | 球 |
图形 | ||||
母线 | 互相平行且相等,垂直于底面 | 相交于一点 | 延长线交于一点 |
|
轴截面 | 全等的矩形 | 全等的等腰三角形 | 全等的等腰梯形 | 圆 |
侧面展开图 | 矩形 | 扇形 | 扇环 |
|
【典例】
【例3】一个圆台的母线长为,两底面面积分别为和.
(1)求圆台的高;
(2)求截得此圆台的圆锥的母线长.
【答案】(1) . (2) .
【解析】(1)如图,过圆台的轴作截面,则截面为等腰梯形,,分别为,的中点,作于点,连接.
由已知可得上底半径,下底半径,且腰长,
∴,即圆台的高为.
(2)如图,延长,交于点,设截得此圆台的圆锥的母线长为,则由,得,即,∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.
【点评】本题考查圆台的相关量的简单计算,难度一般.处理圆台有关问题时一定要将圆台和圆锥联系在一起,有时利用圆锥能很方便解决圆台问题.
空间几何体的直观图
斜二测画法:
1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.
2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
3°已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
【典例】
例4某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形(如图所示),,则该平面图形的面积为( )
A.3 B.4
C. D.
【答案】A
【解析】由,根据斜二测画法可知:
原平面图形为:下底边长为,上底为,高为的直角梯形,所以,故选:A
例5在水平放置的平面内有一个四边形,用斜二测画法画它的直观图,当斜二测画法满足轴与轴、轴的轴间角都为且伸缩系数时,它被画成边长为的正方形,并且有一条对角线在水平轴位置,求出这个四边形的真实形状的面积.
【答案】
【解析】由条件这个四边形的真实形状为一个平行四边形,且这个平行四边形的一条边长为直观图的一条对角线长,由斜二测画法,对应的高为直观图中正方形的一条边长的2倍即长为,所以它的面积为
例6 在水平放置的平面内有一个四边形,用斜二测画法画它的直观图,当斜二测画法满足轴与轴、轴的轴间角都为且伸缩系数时,它被画成边长为的正方形,并且有一条对角线在水平轴位置,求出这个四边形的真实形状的面积.
【解析】由条件这个四边形的真实形状为一个平行四边形,且这个平行四边形的一条边长为直观图的一条对角线长,由斜二测画法,对应的高为直观图中正方形的一条边长的2倍即长为,所以它的面积为
考点58 随机抽样(考点详解)-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案: 这是一份考点58 随机抽样(考点详解)-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案,共5页。学案主要包含了简单随机抽样;,分层抽样;,抽样数据的可行性与应用等内容,欢迎下载使用。
考点44 圆的方程(考点详解)-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案: 这是一份考点44 圆的方程(考点详解)-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案,共6页。学案主要包含了求圆的方程;,与圆有关的最值问题;,与圆有关的轨迹问题等内容,欢迎下载使用。
考点33 数列求和(考点详解)-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案: 这是一份考点33 数列求和(考点详解)-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案,共5页。学案主要包含了分组求和与并项求和;,错位相减法求和;,裂项相消法求和等内容,欢迎下载使用。