考点30 数列的概念与简单的表示法（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点30  数列的概念与简单的表示法

本部分常常结合有关数列的特征写出其通项公式或对于已知数列的和求解其通项公式，往往作为解答题的第一问进行求解，多以解答题为主、难度较小。

[来源:学科网ZXXK]

一、由an与Sn的关系求通项公式；

二、由数列的递推关系求通项公式；

三、数列的性质。

【易错警示】

1．数列的项与项数是一个概念吗？

提示　不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[来源:Z+xx+k.Com]

2．数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？

提示　数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．

3.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　×　)

(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　×　)

(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　√　)[来源:学|科|网Z|X|X|K]

(4)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(　×　)

由an与Sn的关系求通项公式

1.数列的有关概念

2.数列的表示方法[来源:学&科&网]

已知Sn求an的常用方法是利用an＝一定要检验a1的情况．

【典例】

例1　(1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于(　　)

A．27  B．81  C．93  D．243

答案　B

解析　根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，

两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，

当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，

所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以a4＝a1q3＝34＝81.

故选B.

(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.

答案　4n－5

解析　a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，

由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.

(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.

答案　

解析　当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，

∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①

故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②

由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，

∴an＝(n≥2)．

显然当n＝1时不满足上式，

∴an＝

由数列的递推关系求通项公式

an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，

则an＝

【典例】

命题点1　累加法

例2　设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.

答案　

解析　由条件知an＋1－an＝n＋1，

则当n≥2时，an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝，

又a1＝2也符合上式，所以an＝.

命题点2　累乘法

例3　设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________.

答案　

解析　∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0，

∴＝.

∴当n≥2时，an＝···…···a1

＝···…··2＝.a1＝2也符合上式，

则an＝.

数列的性质

应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．

【典例】

命题点1　数列的单调性

例4　已知数列{cn}，cn＝，则当n＝________时，cn最大．

答案　5

解析　cn＋1－cn＝－＝，

当n≤4时，cn＋1>cn，当n≥5时，cn＋1<cn，

因此c1<c2<c3<c4<c5>c6>c7>…，

∴n＝5时，cn取得最大值．

命题点2　数列的周期性

例5　(2019·兰州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 020的值为(　　)

A．2  B．1  C.  D.

答案　B

解析　因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，

由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，

由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，

由a3＝2，a4＝1，得a5＝，

由a4＝1，a5＝，得a6＝，

由a5＝，a6＝，得a7＝1，

由a6＝，a7＝1，得a8＝2，

由此推理可得数列{an}是周期为6的数列，

所以a2 020＝a4＝1，故选B.

命题点3　数列的最值

例6　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为(　　)

A．－3  B．－5  C．－6  D．－9

答案　D

解析　由Sm－1＝－2，Sm＝0，

Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3，

设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，

∵Sm＝0，∴a1＝－am＝－2，

则an＝n－3，Sn＝，nSn＝.

设f (x)＝，x>0，f′(x)＝x2－5x，x>0，

∴f (x)的极小值点为x＝，

∵n∈N*，且f (3)＝－9，f (4)＝－8，

∴f (n)min＝－9.