考点59 用样本估计总体（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点59 用样本估计总体

从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年将会考查用样本估计总体，主要体现在利用频率分布直方图估计总体，利用样本数字特征估计总体．题型以客观题呈现，试题难度不大，属中、低档题型．频率分布直方图也可能出现于解答题中，与概率等知识综合命题.

一、样本数字特征的计算；

二、频率分布直方图及应用；

【易错警示】

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(　√　)

(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．(　×　)

(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(　√　)

(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(　×　)

2．(易错点)甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如下图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为甲，乙，则下列结论正确的是(　　)

A．甲＜乙；乙比甲得分稳定 B．甲＞乙；甲比乙得分稳定

C．甲＞乙；乙比甲得分稳定 D．甲＜乙；甲比乙得分稳定

答案： A

样本数字特征的计算

众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论

(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．

(2)方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]，或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．

【典例】

　(1)某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为165，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是(　　)

A．2.5　　　　　　　　　 B．－2

C．2  D．－2.5

解析：选C．数据相差了165－105＝60，平均数相差＝2，故求出的平均数与实际平均数相差2.

(2)某地区某村前三年的经济收入分别为100，200，300万元，其统计数据的中位数为x，平均数为y.经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这四年里收入的统计数据中，下列说法正确的是(　　)

A．中位数为x，平均数为1.5y

B．中位数为1.25x，平均数为y

C．中位数为1.25x，平均数为1.5y

D．中位数为1.5x，平均数为2y

解析：选C．依题意，前三年经济收入的中位数x＝200，平均数y＝＝200，第四年收入为600万元，故这四年经济收入的中位数为＝250＝1.25x，平均数为＝300＝1.5y.故选C．

频率分布直方图及应用

1．频率、频数、样本容量的计算方法

(1)×组距＝频率．

(2)＝频率， ＝样本容量，样本容量×频率＝频数．

2．众数、中位数、平均数的计算方法

在频率分布直方图中：

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

【典例】

命题点1 | 绘制频率分布直方图

　随着新课程改革和高考综合改革的实施，高中教学以发展学生学科核心素养为导向，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展．为此，某市于2018年举行第一届高中数学学科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估该市高中学生的数学学科素养，从所有参赛学生中随机抽取1 000名学生的成绩(单位：分)作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，依次记为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)请补全频率分布直方图，并估计这1 000名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)该市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰，授予“数学学科素养优秀标兵”称号，一名学生本次竞赛成绩为79分，请你判断该学生能否被授予“数学学科素养优秀标兵”称号．

解：(1)成绩在[60，70)的频率为1－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40，

补全的频率分布直方图如图：

样本的平均数＝55×0.30＋65×0.40＋75×0.15＋85×0.10＋95×0.05＝67.

(2)因为＝0.18，

所以由频率分布直方图可以估计获得“数学学科素养优秀标兵”称号学生的最低成绩为80－＝78(分)．

因为79＞78，所以该同学能被授予“数学学科素养优秀标兵”称号．

命题点2 | 利用频率分布表、直方图求频率、频数及数字特征

　(1)已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的，则该组的频数为________．

解析：设除中间一个小矩形外的(n－1)个小矩形面积的和为P，则中间一个小矩形面积为P，P＋P＝1，P＝，则中间一个小矩形的面积等于P＝，200×＝50，即该组的频数为50.

答案：50

(2)(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．

①分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

②求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值．(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(精确到0.01)附：≈8.602.

解：①根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.

产值负增长的企业频率为＝0.02.

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.

②＝(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，

s2＝i(yi－)2＝[2×(－0.40)2＋24×(－0.20)2＋53×02＋14×0.202＋7×0.402]

＝0.029 6，

s＝＝0.02×≈0.17.

所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.

　小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为(　　)

A．1%　　　　　　　　 B．2%

C．3%  D．5%

解析：选C．本题考查扇形统计图和条形统计图的应用．由图1所示，食品开支占总开支的30%.由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的＝，∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×＝3%.故选C．