第十九讲 基本不等式的应用1-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第十九讲：基本不等式的应用

【学习目标】

1．掌握对应的基本不等式求解最值

2．掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值

【基础知识】

基本不等式：

基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

【考点剖析】

考点一：公式直接应用

例1．已知，则的值可能为（   ）

 A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】

，

，，即，

当且仅当，即取等号，所以的取值范围为，

故选：B

变式训练1：已知，且，则的最大值为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由基本不等式知；（当且仅当时取等号），

的最大值为.

故选：A.

变式训练2：已知函数的图象经过点，则（   ）

 A．有最大值1  B．有最小值1

 C．有最大值4  D．有最小值4

【答案】A

【详解】

解：函数的图象经过点，

，，

，当且仅当时等号成立，

故选：．

变式训练3：已知，，且，则的最小值为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，，且，

所以，

所以，

所以，即

当且仅当

即，时等号成立，故的最小值．

考点二：凑项

例2．已知，则的最大值为？

【答案】1；

【详解】

因为，所以，

则.

当且仅当，即时，取等号.

故的最大值为1.

变式训练1：若，则的最小值是___________.

【答案】

【详解】

因为，所以，

所以，

当且仅当即时，取等号成立.

故的最小值为，

故答案为：

变式训练2：设，求的最小值；

【答案】5；

【详解】

因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为5；

变式训练3：求函数的最小值.

学生小明的解答过程如下：

使用基本不等式得到，由基本不等式的取等条件有，解得，从而得到，所以函数的最小值为2.

分析小明的过程是否正确，如果不正确请写出正确的解答过程.

【答案】错误，过程见解析．最小值是2．

【详解】

∵，∴，

∴，当且仅当即时等号才能成立，故值1取不到．

由勾形函数性质知函数在上是增函数，因此在上是增函数，时，．∴ 所求最小值是2．

考点三：凑系数

例3．设，则函数的最大值为（   ）

 A．2 B． C． D．

【答案】D

【详解】

，，

，当且仅当，即时，等号成立，即函数的最大值为.

故选：D

变式训练1：已知，则的最大值为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，所以，

所以，当且仅当，即时，等号成立，

所以，整理得，即.

所以的最大值为.

故选：D.

变式训练2：设，则的最大值为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：因为0<x<，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最大值为，

故选：C

变式训练3：若，则的最大值为（   ）

 A． B．1 C．2 D．4

【答案】B

【详解】

因为，所以

当且仅当，即时取等号，

则的最大值为1.

故选：B.

考点四：分离

例4．求的最小值______.

【答案】9

【详解】

，

，，

，

当且仅当即时，等号成立.

故答案为：9.

变式训练1：函数（）的最小值为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以函数（）的最小值为，

故选：B

变式训练2：已知，则的最大值是（   ）

 A． B． C．2 D．7

【答案】A

【详解】

，

，，

当且仅当，即时，等号成立，

所以  的最大值为

故选：A

变式训练3：求下列函数的最小值

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）3；（2）；（3）10.

【详解】

（1）

∵（当且仅当，即x=1时取“=”）

即的最小值为3；

（2）令，则在是单增，

∴当t=2时，y取最小值；

即y的最小值为

（3）令，则可化为：

当且仅当t=3时取“=”

即y的最小值为10

考点五：常数代换（1代换）

例5．已知，，且，则的最小值为（   ）

 A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【详解】

因为，当且仅当，即时取等号，所以，

故选：D.

变式训练1：若，则的最小值为（   ）

 A． B． C．5 D．4

【答案】B

【详解】

解：，

（当且仅当时等号成立）

故选：B．

变式训练2：已知，，，则的最小值为（   ）

 A．9 B．5 C． D．

【答案】C

【详解】

，所以.

变式训练3：已知正数满足，则的最小值等于（   ）

 A．4 B． C．8 D．9

【答案】D

【详解】

因为，

所以，

所以，

所以，

当且仅当，即时等式成立，

故选：D．

考点六：消元

例6．若实数满足，则的最小值为________．

【答案】

【详解】∵实数满足，

∴，∴，解得.

则

，

当且仅当时，等号成立．

变式训练1：已知实数，，且，则的最大值为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由得：，

所以，

当且仅当即时等号成立，

所以的最大值为

故选：B

变式训练2：已知，，且，则（    ）

 A．有最大值1，有最小值2 B．有最大值1，有最小值1

 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值

【答案】C

【详解】

由可得，，即

，即解得，当且仅当时，即时取得.

由得即

故

令

由双勾函数单调性可知在上为增函数，故取不到最小值

故没有最小值

故选：C

变式训练3：已知，若，则的最大值为_______．

【答案】

【详解】

由条件可知，则，

，，

，设，

，

当，即时，等号成立，

所以的最大值是.

故答案为：

考点七：平方

例7．已知为正实数，，求的最大值．

【答案】

【解析】∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，

∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，

当且仅当3x＝2y,3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立．

∴W≤2，

即W的最大值为2.

变式训练1：若，则函数的最大值为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，，，令，

两边平方，

又，

，，当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，的最大值为，

故选：D.

变式训练2：设正数，满足，则的最大值为（    ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为正数，满足，

所以，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最大值为，

故选：D

考点八：构建目标不等式

例8．已知是正数，且，则的最小值等于________．

【答案】

【解析】a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，

即(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，

即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，

可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)

≥2＝6，

当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1，即a＝1，b＝时，等号成立，

即3a＋4b的最小值为6－1.

变式训练1：已知正实数满足，则的最小值是________．

【答案】

【详解】

由已知得，，则，，

因为，所以，，

因此，

当且仅当，即，即时，等号成立；

所以的最小值是.

故答案为：.

变式训练2：已知正实数满足，则的最小值为_______________．

【答案】2

【详解】

正实数x，y满足，

，当且仅当等号成立，

，故的最小值为2.

故答案为：2.

【当堂小结】

1．知识清单：

(1)利用基本不等式求最值．

(2)利用基本不等式求解取值范围．

(3)基本不等式的综合应用．

2．方法归纳：配凑法、常值代换法．

3．常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)．

【过关检测】

1、若实数，满足，则的最大值是（    ）．

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为实数，满足，为使取得最大值，必有，同号，

因为，当且仅当，即或时，等号成立，

所以，因此的最大值为.

故选：B.

2、已知为正实数，且，则的最大值为（    ）

 A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【详解】

由题意，为正实数，且，

则，当且仅当，即，时取等号，

所以的最大值为.

故选：C

3、已知，则的最大值为（    ）

 A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【详解】

,当且仅当时取等号,

所以

所以的最大值为.

故选：C.

4、若为正实数，，则的最大值是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，，

即，解得：，当，即时等号成立，

此时的最大值是.

故选：C

5、已知，，且，则（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由，，且，

，当且仅当时取等号

而，当且仅当时取等号

.

故选：C．

6、若，则的最大值为（    ）

 A．1 B． C． D．

【答案】C

【详解】

，

当且仅当，即时取等号

则的最大值为

故选：C

7、若正实数满足，则的最小值为（    ）

 A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【详解】

由题意，正实数满足，则，

当且仅当时，等号成立，即，

所以，即的最小值为1.

故选：A.

8、已知，则的最小值是（    ）

 A．1 B．4 C．7 D．

【答案】C

【详解】

∵，

∴当且仅当时等号成立.

故选：C

9、已知实数若，求的最大值（    ）

 A．1 B． C．4 D．

【答案】B

【详解】

因为，

则，

所以，

当且仅当时，即时取等号，

所以的最大值为．

故选：B.

10、当时，则的最大值为（    ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

∵，，

，

当，即时等号成立，

∴，即最大值为，

11、已知，则的最大值为（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，所以，

所以，当且仅当，即时，等号成立，

所以，整理得，即.

所以的最大值为.

故选：C.

12、已知，则的最大值为（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，当且仅当，即时，取等号.

所以的最大值为

故选：C

13、若则函数的最大值为（    ）

 A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】A

【详解】

因为，所以，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

故选：A

14、已知，则有（    ）

 A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3

【答案】D

【详解】

因为，

，

当且仅当，即时，等号成立，

即有最小值3.

故选：D.

15、函数的最大值为（    ）

 A．3 B．2 C．1 D．-1

【答案】D

【详解】

，

当且仅当,即等号成立.

故选：D.

16、若函数在处取最小值，则（    ）

 A． B．2 C．4 D．6

【答案】C

【详解】

由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立，

所以.

故选：C.

17、若，则有（    ）

 A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2

【答案】D

【详解】

∵，∴，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.

故选：D.

18、已知，，，则的最小值是（    ）

 A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】

因为，，，

所以,

当且仅当时等号成立,

故选:B

19、已知非负数满足，则的最小值是（    ）

 A．3 B．4 C．10 D．16

【答案】B

【详解】

由，可得，

当且仅当取等号，

故选：B

20、设为正数，且，则的最小值为（    ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

可得，

当且仅当时成立，

故选：A

21、已知正实数、满足，则的最小值为（    ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设，可得，解得，

所以，

.

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：A.

22、已知正实数，满足，则的最小值为（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：由题意，，

故

，

当且仅当，即，时等号成立，

故选：C.

23、已知，，则的最小值为（    ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，，，

，

当且仅当时等号成立，故的最小值为9.

故选：B.

24、已知正数，满足，则的最小值（    ）

 A．6 B． C．10 D．

【答案】D

【详解】

因为，所以

所以，当且仅当，时取等.

故选：D

25、已知正实数，满足，则的最小值是（    ）

 A．25 B．18 C．16 D．8

【答案】C

【详解】

，则，

所以，当且仅当，即时等号成立．

故选：C．

26、已知正数满足，则的最大值是（    ）

 A． B． C．1 D．

【答案】B

【详解】

，

因为，所以，

因此

，

（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），

所以.

故选：B.