苏教版高中数学必修第一册第1章1.3交集、并集学案

这是一份苏教版高中数学必修第一册第1章1.3交集、并集学案，共10页。

1.3　交集、并集
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．(重点)
2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法．(重点)
3．会借助Venn图理解集合的交、并集运算，培养数形结合的思想．(难点)
1．通过学习集合的交集、并集，培养学生的数学运算、逻辑推理素养．
2．借助Venn图表示交、并运算及区间的数轴表示，提升学生的直观想象素养.


学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：(1)中考的物理成绩不低于90分；(2)中考的数学成绩不低于100分．
如果满足条件(1)的同学组成的集合记为P，满足条件(2)的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合为S，那么这三个集合之间有什么联系呢？
知识点1　交集
1．交集的概念
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)Venn图

　　　　　　 　①　　　　　②　　　　③
2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B⊆A；(3)A∩B⊆B；(4)A∩A＝A；(5)A∩∅＝∅；(6)A∩(∁UA)＝∅；(7)A∩U＝A(其中U为全集)．
1.A∩B是把A与B的部分元素组合在一起吗？
[提示]　是把公共元素组合在一起，而不是部分．
2.集合M＝{直线}与集合N＝{圆}有没有交集？
[提示]　有．根据交集的概念可知M∩N＝∅.
3.若A∩B＝C∩B，则必有A＝C吗？
[提示]　若A∩B＝C∩B，则可能有A＝C，也可能不相等．
(1)A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
(2)两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A∩B中的元素一定比A，B任何一个集合的元素都少．(　　)
(2)A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)
(3)两个集合A，B没有公共元素，记作A∩B＝∅.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
知识点2　并集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)Venn图

　　　　　　 ①　　　　　②　　　　③
(3)并集的性质
①A∪B＝B∪A；②A⊆A∪B；③B⊆A∪B；
④A∪A＝A；⑤A∪∅＝A；⑥A∪(∁UA)＝U；⑦A∪U＝U(其中U为全集)．
4.A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗？
[提示]　不是，因为A和B可能有公共元素，每个公共元素只能算一个元素．
5.两个集合并集中的元素个数一定比两个集合元素个数之和大吗？
[提示]　当两个集合有公共元素时，在并集中只能算作一个．故这种说法不正确．
2.设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于________．
{－1,0,1,2}　[M∪N＝{－1,0,1,2}．]
知识点3　区间的概念
(1)设a，b∈R，且a [a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a [a，b)＝{x|a≤x (a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x (－∞，＋∞)＝R.
[a，b]，(a，b)分别叫作闭区间、开区间；
[a，b)，(a，b]叫作半开半闭区间；
a，b叫作相应区间的端点．
(2)区间的数轴表示
区间表示
数轴表示
[a，b]

(a，b)

[a，b)

(a，b]

[a，＋∞)

(a，＋∞)

3.下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是(　　)
A．(－2,0)　　　　　 B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
C．(－∞，－2)∪[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪(0，＋∞)
C　[集合{x|x<－2或x≥0}可表示为：(－∞，－2)∪[0，＋∞)．]

类型1　交集概念及其应用
　 　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　
【例1】　(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
(1)A　(2)D　[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，

故A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，
∴8∈A,14∈A，
∴A∩B＝{8,14}，故选D.]

1．求以列举法给出的两集合的交集时，可直接寻找其公共元素，但需注意不可遗漏．
2．求以描述法给出的两集合的交集时，可先化简集合，再确定两集合的公共元素(区间)，有必要时可借助于数轴或Venn图解决．
3．已知集合的交集求参数问题要利用交集中元素的特殊性(公有性)列方程或不等式(组)来解决，而且，有些题目还应注意验证得出的结论是否符合集合元素的互异性和是否符合题意．

[跟进训练]
1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
A　[由题意知A∩B＝{0,2}．]
2．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x (　　)
A．－12
C．a≥－1 D．a>－1
D　[因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.
]
类型2　并集的概念及其应用
【例2】　(1)若A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,6,7,8}，则A∪B＝________.
(2)若A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|1 [思路点拨]　(1)将A，B中的元素合并，注意互异性即可．
(2)借助数轴表示A，B，再求A∪B.
(1){3,4,5,6,7,8}　(2){x|－1≤x<4}　[(1)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)用数轴表示出A，B，如图．

所以A∪B＝{x|－1≤x<4}．]

求集合并集的2种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．

[跟进训练]
3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
4　[由A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.]
4．满足条件{1,3}∪B＝{1,3,5}的所有集合B的个数是________．
4　[由条件{1,3}∪B＝{1,3,5}，根据并集的定义可知5∈B，而1,3是否在集合B不确定，所以B可能为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故B的个数为4.]
类型3　交、并、补集的综合应用
【例3】　已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，试写出∁UA，∁UB，A∩B，A∪B，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．
[思路点拨]　采用列举法逐一将上述各集合写出．
[解]　∁UA＝{5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}，
A∩B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5,6}．
∁U(A∩B)＝{1,2,5,6,7,8}，∁U(A∪B)＝{7,8}．
(∁UA)∩(∁UB)＝{7,8}，(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,5,6,7,8}．

从本题解答中可以得出两个结论：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．

[跟进训练]
5．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，求(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．
[解]　由题知A∩B＝{x|2≤x≤3}，A∪B＝{x|1≤x≤4}．
所以∁U(A∩B)＝{x|x<2或x>3}，∁U(A∪B)＝{x|x<1或x>4}．
所以(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{x|x<1或x>4}，
(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{x|x<2或x>3}．
类型4　并集、交集性质的应用
【例4】　已知集合A＝{x|－3 [解]　(1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知.

1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
[解]　由A∩B＝A可知A⊆B.
所以即所以k∈∅.
所以k的取值范围为∅.
2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3 [解]　由题意可知解得k＝3.
所以k的值为3.

1．在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．
2．集合运算常用的性质
①A∪B＝B⇔A⊆B；
②A∩B＝A⇔A⊆B；
③A∩B＝A∪B⇔A＝B.

[跟进训练]
6．已知集合A＝{x|2 [解]　分两类情况，一类是B≠∅⇒a>0.
此时，又分两种情况：①B在A的左边，如图中B所示；
②B在A的右边，如图中B′所示．

集合B在图中B或B′位置均能使A∩B＝∅成立，
即0<3a≤2或a≥4，解得0 另一类是B＝∅，即a≤0时，显然A∩B＝∅成立．
综上所述，a的取值范围是.


1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B等于(　　)
A．{1,6,5,6,8}　　 B．{1,5,6,8}
C．{0,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
B　[求集合的并集时，要注意集合中元素的互异性．]
2．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N等于(　　)
A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
D　[N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}．]
3．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是
(　　)

A．{0,1} B．{0}
C．{－1,2,3) D．{－1,0,1,2,3}
D　[由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]
4．设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则(∁UM)∪N＝________.
{0,2,3}　[由题意知，∁UM＝{0,3}，所以(∁UM)∪N＝{0,2,3}．]
5．已知集合M＝{(x，y)|x＝0}，N＝{(x，y)|y＝x＋2}，则M∩N＝________.
{(0,2)}　[由题意可得M∩N＝＝{(0,2)}．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．两个集合间的基本运算关系有哪些？怎样求这些运算？
[提示]　交集、补集、并集．直接根据定义或利用数轴求解．
2．交集、并集有哪些运算性质？
[提示]　交集：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅；
并集：A∪B＝A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A.
3．本节课学习了哪些数学方法？
[提示]　数形结合、分类讨论．
4．本节课常见的误区有哪些？
[提示]　由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论．


集合的其他运算
集合的交、并、补运算是集合的三种常见运算，它们本质上都是根据两个集合得出一个新的集合．实际上，根据已知的两个集合，还可以有其他的产生新集合的运算．常见的集合运算还有差集、对称差、笛卡儿积(又称积集)等．
1．差集的定义及运算性质
一般地，设A，B是两个集合，由所有属于A而不属于B的那些元素组成的集合，称为集合A与集合B的差集(或集合A与集合B之差)，记作A－B(或A/B)，即A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．
差集的运算性质(其中U为全集)：
(1)A－∅＝A，A－A＝∅，∅－A＝∅；
(2)A－U＝∅，U－A＝∁UA；
(3)(A－B)－C＝(A－C)－(B－C)；
(4)(A－B)⊆A，A－B＝∅⇔A⊆B，A－B＝A－(A∩B)；
(5)A∪(B－A)＝A∪B；
(6)A∩(B－C)＝(A∩B)－C.
2．对称差的定义及运算性质
一般地，设A，B是两个集合，当AΔB＝(A－B)∪(B－A)时，就称集合AΔB是集合A，B的对称差．也就是两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合．即AΔB＝{x|x∈A，且x∉B，或x∈B，且x∉A}．
对称差的运算性质(其中U为全集)：
(1)AΔB＝∅，AΔ∅＝A；
(2)AΔU＝∁UA；
(3)AΔB＝BΔA；
(4)AΔB＝(A∪B)－(A∩B)；
(5)(AΔB)ΔC＝AΔ(BΔC)；
(6)若AΔB＝AΔC，则B＝C.
3．笛卡儿积的定义及运算性质
一般地，设A，B是两个集合，当a∈A，b∈B时，有序对(a，b)的全体组成的集合称为A和B的笛卡儿积集，简称笛卡儿积或积集，记作A×B.即A×B＝{(a，b)|a∈A，b∈B)．当A，B是有限集时，具体写出笛卡尔积集A×B的元素是不困难的．
笛卡儿积的运算性质：
(1)A×∅＝∅×A＝∅；
(2)A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)；
(3)(B∪C)×A＝(B×A)∪(C×A)；
(4)A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)；
(5)(B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)．