高中数学北师大版 必修第二册第一章 ——正弦函数和余弦函数的概念及其性质4.1~4.2【课件+同步练

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(多选)已知sin α=,则角α所在的象限可以是 (　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析因为sin α=>0,所以α在第一或第二象限.

答案AB

2.已知角α的终边经过点P(-b,4),且cos α=-,则b的值为(　　)

A.3 B.-3 C.±3 D.5

解析因为角α的终边经过点P(-b,4),且cos α=-,所以r=,cos α==-,解得b=3.

答案A

3.如图所示,直线l的倾斜角为,且与单位圆交于P,Q两点,则点P的横坐标是(　　)

A. B.- C. D.-

解析因为cos=-,故选B.

答案B

4.函数y=-sin x的值域是(　　)

A.[-1,1] B.

C. D.

解析因为-1≤sin x≤1,所以-≤-sin x≤,即值域为.

答案D

5.若函数y=2sin x+a的最大值为-2,则a的值等于 (　　)

A.2 B.-2 C.0 D.-4

解析由已知得2+a=-2,所以a=-4.

答案D

6.已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为(　　)

A. B. C. D.

解析由题意得角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为,故选D.

答案D

7.已知锐角α的终边交单位圆于点P,则sin α=　　　　　,cos α=　　　　　. 

解析由题意得cos α=.

又角α为锐角,所以α=60°,所以sin α=.

答案

8.设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),那么sin α+2cos α的值等于　　　　. 

解析因为点P在单位圆上,则|OP|=1.

即=1,解得a=±.

因为a<0,所以a=-.

所以P点的坐标为,-.

所以sin α=-,cos α=.

所以sin α+2cos α=-+2×.

答案

9.已知角α的终边落在直线y=-3x上,求2sin α+3cos α的值.

解在平面直角坐标系中,设单位圆的圆心在原点,角α的终边与单位圆交于点P(x,y),|OP|=1,

则

解得

所以sin α=-,cos α=或sin α=,

cos α=-,

于是2sin α+3cos α=-或2sin α+3cos α=.

能力提升练

1.(多选)下列各三角函数值符号为负的有(　　)

A.sin 10° B.cos(-220°)

C.sin(-10) D.cos π

解析因为10°角是第一象限角,所以sin 10°>0;因为-220°角是第二象限角,所以cos(-220°)<0;因为-10∈-π,-3π,所以角-10是第二象限角,所以sin(-10)>0;cos π=-1<0.

答案BD

2.sin 1·sin 2·sin 3·sin 4的符号为(　　)

A.正 B.负

C.0 D.无法确定

解析因为1是第一象限角,2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,所以sin 1>0,sin 2>0,sin 3>0,sin 4<0,于是sin 1·sin 2·sin 3·sin 4<0.

答案B

3.点A(x,y)是60°角终边与单位圆的交点,则的值为 (　　)

A. B.- 

C. D.-

解析根据三角函数的定义得,x=cos 60°=,y=sin 60°=,故.

答案A

4.已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b),若,则cos α的值为(　　)

A. B.- C.± D.

解析角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b),,

所以b=-a,r=b,

所以cos α==-.故选B.

答案B

5.y=cos x+1的最大值为　　　,最小值为　　　. 

解析因为-1≤cos x≤1,所以-cos x≤,所以cos x+1≤,故y=cos x+1的最大值为,最小值为.

答案

6.y=-2sin x的单调递增区间为　. 

解析因为y=sin x的单调递减区间为+2kπ,+2kπ(k∈Z),所以y=-2sin x的单调递增区间为+2kπ,+2kπ(k∈Z).

答案+2kπ,+2kπ(k∈Z)

7.已知角α的终边在直线y=-2x上,求sin α,cos α的值.

解设角α终边上一点P(a,-2a)(a≠0),

则r=|a|.

当a>0时,a终边在第四象限,r=a.

所以sin α==-,cos α=.

当a<0时,α终边在第二象限,r=-a.

所以sin α=,cos α==-.

素养培优练

　设α是第三象限角,且=-cos,则所在象限是(　　)

A.第一象限 

B.第二象限

C.第三象限 

D.第四象限

解析因为α是第三象限角,

所以2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z.

所以kπ+<kπ+,k∈Z,

所以在第二、四象限.

又因为=-cos,

所以cos<0.所以在第二象限.

答案B