高中数学北师大版 必修第二册第一章 ——函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图像【课件+同步练习】

函数y＝Asin的性质

1．函数f＝sin的图象(　　)

A．关于直线x＝对称

B．关于点对称

C．关于直线x＝－对称

D．关于点对称

2．函数y＝3sin的单调递减区间是(　　)

A．

B．

C．

D．

3．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)

A．　　　　　 B．1

C． D．

4．设M和m分别表示函数y＝sin 2x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　)

A．　　　　　 B．－

C．－ D．－2

5．已知直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0<φ<π)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝(　　)

A． B．

C． D．

6．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________.

7．函数y＝－2sin的图象与x轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________．

8．函数f(x)＝3sin的图象为C，下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．

①图象C关于直线x＝对称；

②图象C关于点对称；

③函数f(x)在区间x∈内是增函数；

④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．

9．已知函数f(x)＝－2asin＋b的定义域为，值域为[－5,4]，求常数a，b的值．

10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P，图象与P点最近的一个最高点坐标为.

(1)求函数解析式；

(2)指出函数的递增区间；

(3)求使y≤0的x的取值范围．

11．(多选)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在单调递减

12．函数f＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为(　　)

A．  B．

C．  D．

13．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为(　　)

A．6 B．7

C．8 D．9

14．ω为正实数，函数f(x)＝2sin ωπx的周期不超过1，则ω的最小值是________．

15．已知方程sin＝k在x∈[0，π]上有两个解，求实数k的取值范围．

答案

1．函数f＝sin的图象(　　)

A．关于直线x＝对称

B．关于点对称

C．关于直线x＝－对称

D．关于点对称

B　[因为f＝sin＝sin π＝0，

所以函数f的图象关于点对称．]

2．函数y＝3sin的单调递减区间是(　　)

A．

B．

C．

D．

C　[y＝3sin＝－3sin，

∴y＝3sin的递减区间就是y＝sin的递增区间．

由2kπ－ ≤3x－ ≤2kπ＋(k∈Z)，得－ ≤x≤ ＋(k∈Z)．]

3．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)

A．　　　　　 B．1

C． D．

A　[因为cos＝cos＝sin，

所以f(x)＝sin＋sin＝sin，

所以，函数f(x)的最大值为.]

4．设M和m分别表示函数y＝sin 2x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　)

A．　　　　　 B．－

C．－ D．－2

D　[因为ymax＝－1＝－，ymin＝×(－1)－1＝－，所以M＋m＝－－＝－2.]

5．已知直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0<φ<π)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝(　　)

A． B．

C． D．

A　[由题意知：－＝，即＝π，T＝2π.

又T＝＝2π，所以ω＝1，

所以f(x)＝sin(x＋φ)，

因为x＝是函数的对称轴，所以＋φ＝＋kπ，即φ＝＋kπ，k∈Z.

又因为0<φ<π，

所以φ＝，检验知此时x＝也为对称轴，故选A．]

6．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________.

[答案]　±2

7．函数y＝－2sin的图象与x轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________．

　[函数y＝－2sin的图象与x轴相交．

∴4x＋＝kπ，∴x＝－＋(k∈Z)．

当k＝1时，交点离原点最近坐标为.]

8．函数f(x)＝3sin的图象为C，下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．

①图象C关于直线x＝对称；

②图象C关于点对称；

③函数f(x)在区间x∈内是增函数；

④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．

①②③　[由于2× －＝，故①正确；

由于2× －＝π，故②正确；

由x∈得2x－∈，故函数f(x)为增函数，故③正确；

将函数y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可得函数y＝3sin 2＝3sin的图象，故④不正确．]

9．已知函数f(x)＝－2asin＋b的定义域为，值域为[－5,4]，求常数a，b的值．

[解]　f(x)＝－2asin＋b，

∵x∈，∴2x＋∈，

∴sin∈

则当a＞0时，∴a＝3，b＝1.

当a＜0时，∴a＝－3，b＝－2.

10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P，图象与P点最近的一个最高点坐标为.

(1)求函数解析式；

(2)指出函数的递增区间；

(3)求使y≤0的x的取值范围．

[解]　(1)∵图象最高点坐标为，∴A＝5.

∵＝－＝，∴T＝π.

∴ω＝＝2.

∴y＝5sin(2x＋φ)．代入点，得sin＝1.∴π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.

令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin.

(2)∵函数的递增区间满足2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋(k∈Z)，∴2kπ－ ≤2x≤2kπ＋(k∈Z)．

∴kπ－ ≤x≤kπ＋(k∈Z)．

∴递增区间为.

(3)∵5sin≤0，

∴2kπ－π≤2x－ ≤2kπ(k∈Z)．

∴kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．

∴y≤0时，x的取值范围为，k∈Z.

11．(多选)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在单调递减

ABC　[函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误．

]

12．函数f＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为(　　)

A．  B．

C．  D．

A　[由函数y＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1知，f在区间上单调递减，且T＝－＝，

则T＝π，ω＝＝＝2，即f＝sin(2x＋φ)，

又f＝sin(ωx＋φ)的图象过点，代入可得φ＝，

因此f＝sin，

令x＝0，可得y＝，故选A．]

13．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为(　　)

A．6 B．7

C．8 D．9

C　[T＝6，则≤t，如图，

∴t≥，∴tmin＝8.故选C．]

14．ω为正实数，函数f(x)＝2sin ωπx的周期不超过1，则ω的最小值是________．

2　[由 ≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.]

15．已知方程sin＝k在x∈[0，π]上有两个解，求实数k的取值范围．

[解]　令y1＝sin，y2＝k，在同一坐标系内作出它们的图象(0≤x≤π)，

由图象可知，当1≤k＜时，直线y2＝k与曲线y1＝sin在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k＜时，原方程有两个解．