初中数学冀教版八年级下册第十九章 平面直角坐标系综合与测试同步测试题
展开八年级数学下册第十九章平面直角坐标系定向测试
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,在中,,,,将绕原点O逆时针旋转90°,则旋转后点A的对应点的坐标是( )
A. B. C. D.
2、已知点P(a,3)和点Q(4,b)关于x轴对称,则a+b的值为( ).A.1 B. C.7 D.
3、若点在第一象限,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.无解
4、在平面直角坐标系中,点(2,﹣5)关于x轴对称的点的坐标是( )
A.(2,5) B.(﹣2,5) C.(﹣2,﹣5) D.(2,﹣5)
5、若点M在第二象限,且点M到x轴的距离为2,到y轴的距离为1,则点M的坐标为( )
A. B. C. D.
6、点向上平移2个单位后与点关于y轴对称,则( ).
A.1 B. C. D.
7、若点在第三象限,则点在( ).A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8、如图,是由ABO平移得到的,点A的坐标为(-1,2),它的对应点的坐标为(3,4),ABO内任意点P(a,b)平移后的对应点的坐标为( )
A.(a,b) B.(-a,-b) C.(a+2,b+4) D.(a+4,b+2)
9、在平面直角坐标系中,点P(2,)关于x轴的对称点的坐标是( )
A.(2,) B.(,) C.(2,3) D.(3,)
10、如图,在平面直角坐标系中,将等边绕点A旋转180°,得到,再将绕点旋转180°,得到,再将绕点旋转180°,得到,…,按此规律进行下去,若点,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、将点P(m+1,n-2)向上平移 3 个单位长度,得到点Q(2,1-n),则点A(m,n)坐标为_________.
2、一般地,在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移_________个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数b,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移_________个单位长度.
3、5在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把点P(﹣y+1,x+1)叫做点P的伴随点.已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,A3的伴随点为A4…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…,若点A1的坐标为(3,1),则点A3的坐标为__;若点A1的坐标为(a,b),且a,b均为整数,对于任意的正整数n,点An均在x轴上方,则点A1的坐标为__.
4、若点M(1,a)与点N(b,3)关于y轴对称,则a=___,b=___.
5、如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(2,0),B(4,2),若点P在x轴下方,且以O,A,P为顶点的三角形与OAB全等,则满足条件的P点的坐标是________.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图,在平面直角坐标系中,,,.
(1)在图中作出关于轴的对称图形,并直接写出点的坐标;
(2)求的面积;
(3)点与点关于轴对称,若,直接写出点的坐标.
2、在平面直角坐标系中,点A(a,0),点B(0,b),已知a,b满足.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)如图1,点E为线段OB的中点,连接AE,过点A在第二象限作,且,连接BF交x轴于点D,求点D和点F的坐标;:
(3)在(2)的条件下,如图2,过点E作交AB于点P,M是EP延长线上一点,且,连接MO,作,ON交BA的延长线于点N,连接MN,求点N的坐标.
3、在平面直角坐标系xOy中,△ABC的位置如图所示.
(1)分别写出以下顶点的坐标:点A、点B.
(2)顶点C关于y轴对称的点C′的坐标.
(3)顶点B关于直线x=﹣1的对称点坐标.
4、△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知A(﹣1,3),B(﹣4,2),C(﹣2,﹣2),将△ABC先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度得到△DEF,点A、B、C的对应点分别为D、E、F.
(1)在图中画出△DEF,并直接写出点E的坐标;
(2)判断线段AC与DF的关系为 ;
(3)连接BD、CD,并直接写出△BCD的面积.
5、如图,在平面直角坐标系xOy中有一个,其中点.
(1)若与关于x轴对称,直接写出三个顶点的坐标;
(2)作关于直线m的对称图形,并写出和的坐标.
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
过点A作AC⊥x轴于点C,设 ,则 ,根据勾股定理,可得,从而得到 ,进而得到∴ ,可得到点 ,再根据旋转的性质,即可求解.
【详解】
解:如图,过点A作AC⊥x轴于点C,
设 ,则 ,
∵ ,,
∴,
∵, ,
∴ ,
解得: ,
∴ ,
∴ ,
∴点 ,
∴将绕原点O顺时针旋转90°,则旋转后点A的对应点的坐标是,
∴将绕原点O逆时针旋转90°,则旋转后点A的对应点的坐标是.
故选:C
【点睛】
本题考查坐标与图形变化一旋转,解直角三角形等知识,解题的关键是求出点A的坐标,属于中考常考题型.
2、A
【解析】
【分析】
直接利用关于x轴对称点的性质(横坐标不变,纵坐标互为相反数)得出a,b的值,进而得出答案.
【详解】
解:∵点P(a,3)和点Q(4,b)关于x轴对称,
∴a=4,b=-3,
则a+b =4-3=1.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了关于x轴对称点的性质,正确得出a,b的值是解题关键.
3、B
【解析】
【分析】
由第一象限内的点的横纵坐标都为正数,可列不等式组,再解不等式组即可得到答案.
【详解】
解: 点在第一象限,
由①得:
由②得:
故选B
【点睛】
本题考查的是根据点所在的象限求解字母的取值范围,掌握坐标系内点的坐标特点是解本题的关键.
4、A
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于x轴的对称点的坐标是(x,﹣y),据此即可求得点A(2,﹣5)关于x轴对称的点的坐标.
【详解】
解:∵点(2,﹣5)关于x轴对称,
∴对称的点的坐标是(2,5).
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了关于x轴对称点的性质,点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,-y).
5、C
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中第二象限内点的横坐标是负数,纵坐标是正数,点到轴的距离等于纵坐标的绝对值,到轴的距离等于横坐标的绝对值,即可求解.
【详解】
解:点M在第二象限,且M到轴的距离为2,到y轴的距离为1,
点M的横坐标为,点的纵坐标为,
点M的坐标为:.
故选:C.
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标,熟练掌握坐标系中点的特征是解题的关键.
6、D
【解析】
【分析】
利用平移及关于y轴对称点的性质即可求解.
【详解】
解:把向上平移2个单位后得到点 ,
∵点与点关于y轴对称,
∴ , ,
∴ ,
∴,
故选:D.
【点睛】
本题考查坐标与图形变化平移、轴对称的性质及负整数指数幂,解题关键是掌握平移、轴对称的性质及负整数指数幂.
7、A
【解析】
【分析】
根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数,然后判断点Q所在的象限即可.
【详解】
∵点P(m,n)在第三象限,
∴m<0,n<0,
∴-m>0,-n>0,
∴点在第一象限.
故选:A.
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).
8、D
【解析】
【分析】
根据点A的坐标和点的坐标确定平移规律,即可求出点P(a,b)平移后的对应点的坐标.
【详解】
解:∵△A′B′O′是由△ABO平移得到的,点A的坐标为(-1,2),它的对应点A′的坐标为(3,4),
∴△ABO平移的规律是:先向右移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,
∴△ABO内任意点P(a,b)平移后的对应点P′的坐标为(a+4,b+2).
故选:D.
【点睛】
此题考查了平面直角坐标系中点的平移规律,解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的平移规律.点向左平移,点的横坐标减小,纵坐标不变;向右平移,点的横坐标增大,纵坐标不变;点向上平移,点的横坐标不变,纵坐标增大;向下平移,点的横坐标不变,纵坐标减小.
9、C
【解析】
【分析】
利用关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数,据此求解即可得.
【详解】
解:点关于x轴的对称点的坐标为:.
故选:C.
【点睛】
此题主要考查了关于x轴对称点的特点,熟练掌握坐标变换是解题关键.
10、C
【解析】
【分析】
根据题意先求得的坐标,进而求得的坐标,发现规律,即可求得的坐标.
【详解】
解:∵是等边三角形,,将等边绕点A旋转180°,得到,
∴
,
则
同理可得,
……,
即
故选C
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质,旋转的性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,坐标与图形,找到规律是解题的关键.
二、填空题
1、(1,0)
【解析】
略
2、 a b
【解析】
略
3、 (﹣3,1) (0,1)
【解析】
【分析】
(1)根据“伴随点”的定义依次求出, ;(2)再写出点A1(a,b)的“伴随点”,然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可.
【详解】
(1)解:∵A1的坐标为(3,1),
∴A2的横坐标为﹣1+1=0,纵坐标为3+1=4,
∴A2(0,4),
∴A3的横坐标为﹣4+1=﹣3,纵坐标为0+1=1,
∴A3(﹣3,1),
故答案为:(﹣3,1);
(2)解∵点A1的坐标为(a,b),
∴A2(﹣b+1,a+1),A3(﹣a,﹣b+2),A4(b﹣1,﹣a+1),A5(a,b),
…,
依此类推,每4个点为一个循环组依次循环,
∵对于任意的正整数n,点An均在x轴上方,
,,
解得﹣1<a<1,0<b<2,
∵a,b均为整数,
∴a=0,b=1,
∴A1的坐标为(0,1),
故答案为(0,1).
【点睛】
本题考查对新定义的理解和运用,以及考察解不等式组,能够对新定义的快速理解和运用是解决本题的关键.
4、 3
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中两个点关于坐标轴成轴对称的坐标特点:关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数,据此直接求解即可.
【详解】
解:∵点与点关于y轴对称,
∴,,
故答案为:3;.
【点睛】
题目主要考查平面直角坐标系中两个点关于坐标轴成轴对称的特点,理解对称点的坐标规律是解题关键.
5、或##或
【解析】
【分析】
根据题意,这两个三角形中为公共边,故分,两种情况讨论,根据题意作出图形,进而求得点的坐标
【详解】
解:如图,
①作关于的对称的点,连接
B(4,2),则
②作关于()对称的点,连接,
则
又
则点
故答案为:或
【点睛】
本题考查了坐标与图形,全等三角形的性质与判定,轴对称的性质,掌握轴对称的性质是解题的关键.
三、解答题
1、 (1)见详解;(−2,1);
(2)8.5;
(3)P(5,3)或(−1,−3).
【解析】
【分析】
(1)画出△A1B1C1,据图直接写出C1坐标;
(2)先求出△ABC外接矩形CDEF面积,用之减去三个直角三角形的面积,得△ABC的面积;
(3)先根据P,Q关于x轴对称,得到Q的坐标,再构建方程求解即可.
(1)
解:如图1
△A1B1C1就是求作的与△ABC关于x轴对称的三角形,点C1的坐标(−2,1);
(2)
解:如图2
由图知矩形CDEF的面积:5×5=25
△ADC的面积:×4×5=10
△ABE的面积:×1×3=
△CBF的面积:×5×2=5
所以△ABC的面积为:25-10--5=8.5.
(3)
解:∵点P(a,a−2)与点Q关于x轴对称,
∴Q(a,2−a),
∵PQ=6,
∴|(a-2)-(2-a)|=6,解得:a=5或a=-1,
∴P(5,3)或(−1,−3).
【点睛】
本题考查了作图−轴对称变换,三角形的面积等知识,解题的关键是理解题意,掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征,属于中考常考题型.
2、(1),;(2)D(-1,0),F(-2,4);(3)N(-6,2)
【解析】
【分析】
(1)结合题意,根据绝对值和乘方的性质,得,,通过求解一元一次方程,得,;结合坐标的性质分析,即可得到答案;
(2)如图,过点F作FH⊥AO于点H,根据全等三角形的性质,通过证明,得AH=EO=2,FH=AO=4,从而得OH =2,即可得点F坐标;通过证明,推导得HD=OD=1,即可得到答案;
(3)过点N分别作NQ⊥ON交OM的延长线于点Q,NG⊥PN交EM的延长线于点G,再分别过点Q和点N作QR⊥EG于点R,NS⊥EG于点S,根据余角和等腰三角形的性质,通过证明等腰和等腰,推导得,再根据全等三角形的性质,通过证明,得等腰,再通过证明,得NS=EM=4,MS=OE=2,即可完成求解.
【详解】
(1)∵,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,.
(2)如图,过点F作FH⊥AO于点H
∵AF⊥AE
∴∠FHA=∠AOE=90°,
∵
∴∠AFH=∠EAO
又∵AF=AE,
在和中
∴
∴AH=EO=2,FH=AO=4
∴OH=AO-AH=2
∴F(-2,4)
∵OA=BO,
∴FH=BO
在和中
∴
∴HD=OD
∵
∴HD=OD=1
∴D(-1,0)
∴D(-1,0),F(-2,4);
(3)如图,过点N分别作NQ⊥ON交OM的延长线于点Q,NG⊥PN交EM的延长线于点G,再分别过点Q和点N作QR⊥EG于点R,NS⊥EG于点S
∴
∴,
∴
∴
∴
∴等腰
∴NQ=NO,
∵NG⊥PN, NS⊥EG
∴
∴,
∴
∵,
∴
∵点E为线段OB的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴等腰
∴NG=NP,
∵
∴
∴∠QNG=∠ONP
在和中
∴
∴∠NGQ=∠NPO,GQ=PO
∵,
∴PO=PB
∴∠POE=∠PBE=45°
∴∠NPO=90°
∴∠NGQ=90°
∴∠QGR=45°.
在和中
∴.
∴QR=OE
在和中
∴
∴QM=OM.
∵NQ=NO,
∴NM⊥OQ
∵
∴等腰
∴
∵
∴
在和中
∴
∴NS=EM=4,MS=OE=2
∴N(-6,2).
【点睛】
本题考查了直角坐标系、全等三角形、直角三角形、等腰三角形、绝对值、乘方的知识;解题的关键是熟练掌握直角坐标系、全等三角形、等腰三角形的性质,从而完成求解.
3、(1),;(2)(2,5);(3)(-5,0)
【解析】
【分析】
(1)结合题意,根据直角坐标系、坐标的性质分析,即可得到答案
(2)根据直角坐标系和轴对称的性质,坐标的横坐标取相反数,纵坐标保持不变,即可得到答案;
(3)设顶点B关于直线x=﹣1的对称点坐标:,根据直角坐标系和轴对称的性质,列一元一次方程并求解,即可得到答案.
【详解】
(1)点A坐标为:,点B坐标为:;
(2)根据题意,点C坐标为:
顶点C关于y轴对称的点C′的坐标:;
(3)设顶点B关于直线x=﹣1的对称点坐标:
∵点B坐标为:
∴
∴
∴顶点B关于直线x=﹣1的对称点坐标:.
【点睛】
本题考查了直角坐标系、轴对称、一元一次方程的知识;解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标、轴对称的性质,从而完成求解.
4、 (1)见解析,点E的坐标为(0,1)
(2)平行且相等
(3)△BCD的面积为14
【解析】
【分析】
(1)根据题意得:A(﹣1,3),B(﹣4,2),C(﹣2,﹣2)先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度的对应点为,再顺次连接,即可求解;
(2)根据线段AC与DF是平移前后的对应线段,即可求解;
(3)以 为底,则高为4,即可求解.
(1)
根据题意得:A(﹣1,3),B(﹣4,2),C(﹣2,﹣2)先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度的对应点为,
如图所示,△DEF即为所求;
(2)
线段AC与DF的关系为平行且相等,理由如下:
∵将△ABC先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度得到△DEF,
∴线段AC与DF是对应线段,
∴线段AC与DF平行且相等;
(3)
S△BCD=×7×4=14.
【点睛】
本题主要考查了图形的变换——平移,熟练掌握图形平移前后对应段相等,对应角相等是解题的关键.
5、(1),,;(2)作图见解析;,.
【解析】
【分析】
(1)根据关于x轴对称横坐标不变,纵坐标互为相反数即可解决问题;
(2)作出A,B,C的对应点A2,B2,C2即可;
【详解】
解:(1)∵三个顶点坐标分别为:,,,
∴三个顶点坐标分别为:,,.
(2)如图所示:、的坐标分别为:,.
【点睛】
本题考查作图-轴对称变换,解题的关键是解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
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