高中物理6 力的分解导学案

力的分解

一、力的分解

李倩同学假期里去旅游，她正拖着行李箱去检票，如图所示。李倩对箱子有一个斜向上的拉力，这个力对箱子产生了什么效果？这些效果与李倩对箱子的拉力有什么关系？

提示：李倩对箱子斜向上的拉力产生了两个效果：水平方向使箱子前进，竖直方向将箱子向上提起。这两个效果可以替代李倩对箱子的拉力。

1．分力：假设力F1、F2共同作用的效果与某个已知力F的作用效果完全相同，则力F1、F2即为力F的分力。

2．力的分解：

(1)实质：求一个已知力的分力的过程，它是力的合成的逆运算。

(2)分解法则：平行四边形定则——把已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力F1和F2。如图所示。

二、力的正交分解

1．图例：把一个力分解为两个互相垂直的分力的方法，如图所示。

2．公式：F1＝Fcosθ，F2＝Fsinθ。

3．适用：正交分解适用于各种矢量运算。

4．对于正交分解，下列解释符合科学实际的有③。

①正交分解法一定与力的效果分解一致

②正交分解法中的两个坐标轴一定是水平和竖直的

③正交分解时，将每一个与坐标轴不重合的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小

知识点一　力的分解的两种情况

1．不受条件限制的分解：一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为以同一条线段为对角线的平行四边形有无穷多个(如图所示)。

2．有条件限制的力的分解：

(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。

(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。

(3)已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：

①当F sin α<F2<F时，有两解，如图甲所示。

②当F2＝F sin α时，有唯一解，如图乙所示。

③当F2<F sin α时，无解，如图丙所示。

④当F2>F时，有唯一解，如图丁所示。

【典例】已知某力的大小为10 N，则不可能将此力分解为下列哪组力(　　)

A．3 N、3 N　　　　　 B．6 N、6 N

C．100 N、100 N      D．400 N、400 N

【解析】选A。两个力合成的最大值为3 N＋3 N＝6 N，小于10 N，故A不可能；6 N与6 N合成最大12 N，最小0 N，可以为10 N，故B可能；100 N与100 N合成最大200 N，最小0 N，可以为10 N，故C可能；400 N与400 N合成最大800 N，最小0 N，可以为10 N，故D可能；故选A。

1．在力的分解中，已知合力F＝40 N，分力F1的方向与合力的夹角为37°，如图所示，则当另一分力F2取最小值时，分力F1的大小为(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(　　)

A.24 N　　B．30 N　　C．32 N　　D．50 N

【解析】选C。已知合力和一个分力与合力的夹角，根据平行四边形定则作图分解即可；根据平行四边形定则作图，如图所示，可知，分力F2的最小值为F2＝Fsin37°＝24 N，则此时分力F1＝Fcos37°＝32 N，故选项C正确，选项A、B、D错误。

2.如图所示，一个重为5 N的砝码，用细线悬挂在O点，现在用力F拉砝码，使细线偏离竖直方向30°时处于静止状态，此时所用拉力F的最小值为(　　)

A．8.65 N　　B．5.0 N　　C．4.3 N　　D．2.5 N

【解析】选D。以砝码为研究对象，根据作图法可知，当拉力F与细线垂直时拉力最小，如图所示：

根据平衡条件得F的最小值为Fmin＝Gsin30°＝5×0.5 N＝2.5 N，故选项D正确，A、B、C错误。

【加固训练】

1．如图所示，将一个已知力F分解为F1、F2，已知F＝10 N，F1与F的夹角为37°，则F2的大小不可能是(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(　　)

A．4 N    B．6 N    C．10 N     D．100 N

【解析】选A。当F2垂直于F1时，F2最小，此时F2＝Fsin37°＝6 N，即F2≥6 N，故A不可能，B、C、D可能，故选A。

2．如图所示，相同的细绳OA、OB共同吊起一质量为m的物体。OA与OB相垂直。OB与竖直墙壁成60°角，OA、OB对O点的拉力分别为T1、T2，则(　　)

A.T1、T2水平方向的分力之比为∶1

B．T1、T2竖直方向的合力等于mg

C．T1、T2之比T1∶T2＝∶3

D．若逐渐增加m的质量，OB绳一定先断

【解析】选B。O点所受合力为零，T1、T2水平方向的分力大小相等，故A错误；T1、T2竖直方向的合力大小等于mg，方向与mg相反，故B正确；O点水平方向受力T1sin30°－T2sin60°＝0，竖直方向受力T1cos30°＋T2cos60°－mg＝0，由以上两式得T1＝T2＝mg，因T1>T2，所以逐渐增加m的质量，OA绳先断。C、D错误。

知识点二　力的效果分解法

常见的按实际效果分解的五个实例

情境：为了行车方便和安全，高大的桥往往有很长的引桥。

讨论：(1)在引桥上，汽车重力有什么作用效果？

提示：汽车重力的两个作用效果是垂直桥面向下使汽车压斜面和沿桥面向下使汽车下滑或阻碍汽车上行。

(2)从力的分解的角度分析，引桥很长有什么好处？

提示：高大的桥建造很长的引桥可以减小斜面的倾角，即减小汽车重力沿斜面向下的分力，使行车更安全。

【典例】压榨机的结构原理图如图所示，B为固定铰链，A为活动铰链。在A处作用一水平力F，物块C就以比水平力F大得多的力压物块D。已知L＝0.5 m，h＝0.1 m，F＝200 N，物块C的质量不计，且与左壁接触面光滑，求物块D受到的压力。

【解析】根据水平力F产生的效果，它可分解为沿杆的两个分力F1、F2，如图甲所示，则F1＝F2＝。而沿AC杆的分力F1又产生了两个效果：使物块C压紧左壁的水平力F3和使物块C压紧物块D的竖直力F4，如图乙所示，则F4＝F1sin α＝。

由tan α＝得F4＝× N＝500 N。

答案：500 N

　力的效果分解法的“四步走”解题思路

1.如图所示，一只小鸟沿着较粗的均匀树枝从右向左缓慢爬行，在小鸟从A运动到B的过程中(　　)

A．树枝对小鸟的作用力先减小后增大

B．树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大

C．小鸟对树枝的压力先减小后增大

D．小鸟对树枝的压力保持不变

【解析】选B。对小鸟进行受力分析，如图所示。树枝对小鸟的作用力与小鸟的重力等值反向，所以树枝对小鸟的作用力大小不变，故A错误；小鸟所受的摩擦力f＝mg sin θ，从A到B的过程中，θ先减小后增大，则摩擦力先减小后增大，故B正确；小鸟所受的弹力N＝mg cos θ，从A到B的过程中，θ先减小后增大，则弹力先增大后减小，故C、D错误。

2.如图所示，作用在滑块B上的推力F＝100 N，若α＝30°，装置的重力和摩擦力均不计，则工件上受到的压力为(　　)

A．100 N　　　　　 B．100 N

C．50 N        D．200 N

【解析】选B。装置的重力和摩擦力均不计，对B进行受力分析如图，水平方向：F＝F1′sin α，对A进行受力分析如图，F1＝F1′，

竖直方向：F1cos α＝F2所以：F2＝F，根据牛顿第三定律，工件受到的向上的弹力与工件对装置的作用力大小相等，方向相反，即：N＝F2＝F＝×100 N＝100 N，故选B。

【加固训练】

1．将物体所受重力按力的效果进行分解，图中错误的是(　　)

【解析】选C。A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B项图画得正确。C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体紧压两接触面的分力G1和G2，故C项图画得不正确。D项中物体的重力分解为水平向左压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D项图画得正确。

2.如图所示，一根质量不计的横梁A端用铰链固定在墙壁上，B端用细绳悬挂在墙壁上的C点，使得横梁保持水平状态。细绳下端挂一质量为M＝6 kg的重物，已知细绳与竖直墙壁之间的夹角为60°，求横梁对B点的弹力和绳BC的拉力各为多大？(g取10 m/s2)

【解析】设横梁对B点的弹力为F1，因横梁A端用铰链固定，故F1的方向沿横梁方向，绳BC对B点的拉力为F2，由于B点静止，B点所受的向下的拉力大小恒定为重物的重力，根据受力平衡的特点，横梁的弹力F1与绳BC对B点的拉力F2的合力一定竖直向上，大小为G，如图所示。根据以上分析可知：弹力F1与拉力F2的合力大小F＝G＝Mg＝60 N。由几何知识可知F1＝F tan 60°＝60N，F2＝＝120 N。

即横梁对B点的弹力为60N，绳BC的拉力为120 N。

答案：60 N　120 N

知识点三　力的正交分解

1.正交分解的目的：

将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分解”的目的是为了更好地“合成”。

2．正交分解的适用情况：

适用于计算三个或三个以上的力的合成。

3．正交分解的步骤：

(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，标出x轴和y轴。选取坐标系时应使尽量多的力落在坐标轴上。

(2)正交分解各力：将每一个与坐标轴不重合的力分解到x轴和y轴上，并求出各个分力的大小，如图所示。

(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：

Fx＝F1x＋F2x＋…

Fy＝F1y＋F2y＋…

(4)求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝。

情境：如图所示，结点O受到多个力的作用。

讨论：(1)用平行四边形定则求其合力很不方便，甚至困难，应怎样求其合力？

提示：先将各个力正交分解，然后再合成，“分”是为了更方便地“合”。

(2)正交分解法有什么优点？

提示：①可以借助数学中的直角坐标系对力进行描述。

②分解时需熟知三角函数关系、几何关系，简便、容易求解。

【典例】物体在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力。

【思维·建模】

【解析】如图甲所示建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有

Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N

Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N

因此，如图乙所示，合力F＝≈38.2 N

tan φ＝＝1

即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上方。

答案：大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上方

1．已知竖直平面内有一个大小为10 N的力作用于O点，该力与x轴正方向之间的夹角为30°，与y轴正方向之间的夹角为60°，现将它分解到x轴和y轴方向上，则(　　)

A．Fx＝5 N，Fy＝5 N       B．Fx＝5 N，Fy＝5 N

C．Fx＝5 N，Fy＝5 N      D．Fx＝10 N，Fy＝10 N

【解析】选B。画出直角坐标系及力并将力F分解到坐标轴上，如图所示，则Fx＝F cos 30°＝5 N，Fy＝F sin 30°＝5 N，B正确。

2．如图所示，物块的质量m＝30 kg，细绳一端与物块相连，另一端绕过光滑的轻质定滑轮，当人用100 N的力斜向下拉绳子时，滑轮两侧细绳与水平方向的夹角均为30°，物块在水平面上保持静止，滑轮上端的悬绳竖直(g取

10 m/s2)。求：

(1)地面对物块的支持力大小和摩擦力大小。

(2)滑轮上方竖直悬绳的拉力大小。

【解析】(1)如图所示，对物块受力分析并正交分解

有：F sin 30°＋N＝mg             ①

F cos 30°＝f                ②

由①②得N＝250 N，f＝50 N。

(2)如图所示，对绳上一点受力分析

T＝2F cos 60°

解得T＝100 N。

答案：(1)250 N　50 N　(2)100 N

【加固训练】

1.已知共面的三个力F1＝20 N，F2＝30 N，F3＝40 N，作用在物体的同一点，三力之间的夹角均为120°，求合力的大小和方向。

【解析】如图所示，沿水平竖直方向建立直角坐标系，把F1、F2正交分解，可得：

F1x＝－20sin30° N＝－10 N

F1y＝－20cos30° N＝－10 N

F2x＝－30sin30° N＝－15 N

F2y＝30cos30° N＝15N

故沿x轴方向的合力

Fx＝F3＋F1x＋F2x＝15 N

沿y轴方向的合力

Fy＝F2y＋F1y＝5 N

这三个力合力大小F＝＝10 N

方向与x轴的夹角α＝arctan＝30°

答案：10 N　方向与x轴夹角为30°

2．如图所示，三个共点力分别为F1＝5 N，F2＝10 N，

F3＝15 N，θ＝60°，试求：

(1)三个力沿x轴方向合力的大小，沿y轴方向合力的大小。

(2)三个力合力的大小和方向。

【解析】(1)沿x轴方向Fx＝F3＋F2cos θ－F1＝15 N

沿y轴方向Fy＝F2sin θ＝5 N

(2)三力的合力F＝＝N＝10 N

设合力与x轴正方向的夹角为α，则

tan α＝＝，则α＝30°。

答案：(1)15 N　5 N

(2)10 N　与x轴正方向的夹角为30°

【拓展例题】考查内容：三角形相似规律在力的分解中的应用

【典例】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是(　　)

A．FN先减小，后增大      B．FN始终不变

C．F先减小，后增大      D．F始终不变

【解析】选B。设物体的重力为G，以B点为研究对象，分析受力情况，如图所示。

作出力FN与F的合力F2，根据平衡条件得知，F2＝F1＝G。由△F2FNB∽△ABO得＝，故FN＝G。由于BO、AO、G不变，则FN保持不变，故A错，B对；同理：＝，F＝G，

由于AO、G不变，AB逐渐减小，所以F逐渐减小，故C、D错误。

1．(多选)在一个已知力的分解中，下列情况具有唯一解的是(　　)

A．已知两个分力的方向，并且不在一条直线上

B．已知两个分力的大小

C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向

D．已知一个分力的大小和方向

【解析】选A、D。根据平行四边形定则可知，如果力的分解是唯一的，则以合力F为邻边的平行四边形只有一个，或只能画出一个三角形，根据以上分析可知，已知一个力的大小和方向或已知不共线的两个力的方向，力F的分解是唯一的，故A、D正确，B、C错误。

2．为了行车方便与安全，高大的桥要造很长的引桥，如图所示，其主要目的是(　　)

A.减小过桥车辆受到的摩擦力

B．减小过桥车辆的重力

C．减小过桥车辆对引桥面的压力

D．减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力

【解析】选D。如图所示，重力G产生的效果是使物体下滑的分力F1和使物体压紧斜面的分力F2，则F1＝G sin θ，F2＝G cos θ，倾角θ减小，F1减小，F2增大，高大的桥造很长的引桥主要目的是减小桥面的坡度，即减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力，可使行车安全，故D正确，A、B、C错误。

3．如图所示，一辆汽车陷入泥沼，为了将它拖出，司机用一条长41 m的绳一端系于车前钩，另一端系于距车40 m处的一棵大树上，然后在绳子中点用900 N的力F向垂直于车与大树连线方向拉绳，将车拖出，试求汽车所受拉力的大小。

【解析】对中点受力分析，根据力的平行四边形定则及三角形知识，即可求解。

绳子中点受力如图所示：

力F向垂直于车与大树连线方向拉绳时：x＝4.5 m，

设汽车所受拉力的大小为FT，则有：FT·＝

解得：FT＝2 050 N。

答案：2 050 N

4．如图所示，某同学在地面上拉着一个质量为m＝30 kg的木箱匀速前进，已知木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，拉力F与水平方向的夹角θ＝45°，g取

10 m/s2。求绳子的拉力F的大小。

【解析】建立如图所示的直角坐标系。

木箱受四个力的作用，将拉力F沿两个坐标轴方向分解为分力F1和F2，得F1＝F cos θ，F2＝F sin θ。

在x轴方向上由二力平衡可得F1＝F cos θ＝f，在y轴方向上有F2＋N＝F sin θ＋N＝G。

又f＝μN。将G＝mg＝300 N，μ＝0.5，θ＝45°代入，解得F＝100 N。

答案：100 N