高中物理教科版必修15 力的合成学案

力的合成

一、共点力的合成s

一个人和两个人的用力效果相同吗？

提示：都是提起一桶水，用力效果相同。

1．共点力：同时作用在物体上的同一点或者它们的作用线相交于同一点的几个力。

2．合力：作用效果与几个共点力共同作用产生的效果相同的力。

3．力的合成：求几个共点力的合力的过程。

二、共点力合成的平行四边形定则

1．平行四边形定则：两个共点力合成时，以表示这两个力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，其合力F的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线来表示。

2．三个或更多的外力的合成方法：先求出其中两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有外力都合成为止，最后得到这些力的合力。

3．下列关于合力与分力的关系，符合科学实际的有①④。

①若F为F1和F2的合力，则F与F1、F2为等效关系。

②两个力的合力一定等于这两个力的代数和。

③两个力的合力一定大于其中一分力。

④合力可以等于分力。

知识点一　共点力的平行四边形定则

角度1合力与分力的关系判断

情境：

六条狗可以将雪橇拉着匀速前进，一匹马也可以将该雪橇拉着匀速前进。

讨论：(1)以上情境中分力和合力分别是由什么动物施加的？

提示：六条狗各自的拉力是分力，是由狗施加的；马的拉力为合力，是由马施加的。

(2)两图中产生的效果是否相同？

提示：相同，都是使雪橇匀速运动。

【典例1】(2021·广安高一检测)单杠是奥运会比赛项目，如图是中国运动员在参加奥运会单杠比赛时处于静止的情形，则下列说法正确的是(　　)

A.运动员每个手臂的拉力都等于人体重力的一半

B．两手臂拉单杠的力的合力方向向上

C．运动员两手之间的距离减小，平衡时运动员受到的合力会变小

D．运动员两手之间的距离越大，运动员每个手臂的拉力就越大

【解析】选D。当两个手臂平行时，拉力都等于人体重力的一半，故A错误；两手臂拉单杠的力都斜向下，故合力向下，等于重力，故B错误；运动员处于静止状态，合外力等于零，运动员两手之间的距离减小，平衡时运动员受到的合力不变，故C错误；将人所受的重力按照效果进行分解，由于大小方向确定的一个力分解为两个等大的力时，合力在分力的角平分线上，且两分力的夹角越大，分力越大，即运动员两手臂间的距离越大，夹角越大，越费力，故D正确。

角度2两个力的合力与三个力的合力的范围

【典例2】(多选)已知两个共点力的合力为F，现保持两力之间的夹角θ不变，使其中一个力增大，则(　　)

A．合力F一定增大

B．合力F的大小可能不变

C．合力F可能增大，也可能减小

D．当0°＜θ＜90°时，合力F一定减小

【解析】选B、C。设有两个共点力F1、F2，分两种情况讨论。

(1)当0°＜θ≤90°时，合力随着其中一个力的增大而增大，如图甲所示，D错误。

(2)当90°＜θ≤180°时，若F2增大，其合力先变小，后又逐渐增大，如图乙所示。所以A错误，B、C正确。

合力与分力的关系

(1)在力的合成中分力是实际存在的，每一个分力都有对应的施力物体，而合力没有与之对应的施力物体。

(2)合力为各分力的矢量和，合力可以大于、等于、小于两个分力中的任何一个。

1．在力的合成中，下列关于两个分力与它们的合力的关系的说法中，正确的

是(　　)

A．合力一定大于每一个分力

B．合力可能小于每一个分力

C．合力的方向一定与分力的方向相同

D.两个分力的夹角在0°～180°变化时，夹角越大合力越大

【解析】选B。合力可以大于、小于或等于每一个分力，选项A错误，B正确；合力的方向不一定与分力的方向相同，选项C错误；两个分力的夹角在0°～180°变化时，夹角越大合力越小，选项D错误；故选B。

2．(多选)已知两个分力的大小为F1、F2，它们的合力大小为F，下列说法不正确的是(　　)

A．不可能出现F＜F1同时F＜F2的情况

B．不可能出现F＞F1同时F＞F2的情况

C．不可能出现F＜F1＋F2的情况

D．不可能出现F＞F1＋F2的情况

【解析】选A、B、C。如果F1与F2大小相等，方向相反，则其合力为零，既小于F1又小于F2，故选项A错误；如果F1、F2同向，则合力F＝F1＋F2，既大于F1又大于F2，故选项B错误；合力F的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，因此，选项C错误，D正确。

【加固训练】

1．架在A、B两根晾衣杆之间的均匀铁丝在夏、冬两季由于热胀冷缩的效应，铁丝呈现如图所示的两种形状。下列说法中正确的是(　　)

A．夏季铁丝对晾衣杆的拉力较大  B．冬季铁丝对晾衣杆的拉力较大

C．夏季晾衣杆对地面的压力较大  D．冬季晾衣杆对地面的压力较大

【解析】选B。如题图所示，无论是冬季还是夏季，铁丝的重力G一定，即

F合一定，两分力FA、FB随它们间夹角θ的增大而增大，故铁丝在冬季(θ角大)对晾衣杆的拉力较大，B对，A错；晾衣杆对地面的压力等于总重力，C、D错。

2．有三个力，大小分别为13 N、3 N、29 N。那么这三个力的合力最大值和最小值应该是(　　)

A．29 N，3 N      B．45 N， 0 N

C．45 N，13 N      D．29 N，13 N

【解析】选C。当三个力同方向时，合力最大，为45 N；任取其中两个力，如取13 N、3 N两个力，其合力范围为10 N≤F≤16 N，29 N不在该范围之内，故合力不能为零，当13 N、3 N的两个力同向，与29 N的力反向时，合力最小，最小值为13 N，故C正确。

知识点二　求合力的方法

1．作图法：根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：

2．计算法求合力：

【典例】如图所示，①。其中一人用了

450 N的拉力，另一个人用了600 N的拉力，②，求它们的合力。

【审题关键】

【解析】方法一　作图法

如图所示，用图中的线段表示150 N的力，用一个点O代表牌匾，依题意作出力的平行四边形。用刻度尺量出平行四边形的对角线长为图示线段的5倍，故合力大小为F＝150×5 N＝750 N，用量角器量出合力F与F1的夹角θ＝53°。

方法二　计算法

设F1＝450 N，F2＝600 N，合力为F。

由于F1与F2间的夹角为90°，根据勾股定理，得

F＝ N＝750 N，合力F与F1的夹角θ的正切tan θ＝＝≈1.33，所以θ＝53°。

答案：750 N，方向与较小拉力的夹角为53°

　计算法求合力时常用到的几何知识

(1)应用直角三角形中的边角关系求解，用于平行四边形的两边垂直，或平行四边形的对角线垂直的情况。

(2)应用等边三角形的特点求解。

(3)应用相似三角形的知识求解，用于矢量三角形与实际三角形相似的情况。

1．两个共点力F1、F2大小不同，不共线，它们的合力大小为F，则(　　)

A．F1、F2 同时增大一倍，F可能保持不变

B．F1、F2 同时增加10 N，F也增加10 N

C．F1 增加10 N，F2减少10 N，F一定不变

D．若F1、F2 中的一个增大，F可能减小

【解析】选D。根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，所以A错误； F1、F2同时增加10 N，根据平行四边形定则合成之后，合力的大小增加不一定是10 N ，故B错误； F1增加10 N，F2减少10 N，F一定变化，故C错误； F1、F2中的一个增大，根据平行四边形定则合成之后，合力的大小不一定增大，可能减小，故D正确。

2．有2个力，它们的合力为0。现把其中一个大小等于10 N、方向向东的力改为向南(大小不变)，则它们的合力(　　)

A．大小为10 N，方向东偏南45°

B．大小为10 N，方向西偏南45°

C．大小为10 N，方向西偏南45°

D．大小为10 N，方向东偏南45°

【解析】选C。由题意知，两力的大小为10 N，方向相互垂直，根据力的平行四边形定则，由勾股定理可得，合力大小为10 N ；方向为两力夹角的角平分线方向，即西偏南45°，故选 C。

【加固训练】用质量为M的吸铁石，将一张质量为m的白纸压在竖直固定的磁性黑板上。某同学沿着黑板面，用水平向右的恒力F轻拉白纸，白纸未移动，则此时黑板对白纸的摩擦力的大小为(　　)

A．F          B．Mg

C．     D．

【解析】选D。对吸铁石和白纸整体，在垂直于黑板平面内受磁引力、黑板表面的支持力，在平行于黑板平面内受竖直向下的重力(M＋m)g、水平拉力F和黑板表面的摩擦力f作用，由于纸未被拉动，所以摩擦力为静摩擦力，根据共点力平衡条件可知，摩擦力f与(M＋m)g和F的合力等值反向，因此有f＝，故选项D正确。

知识点三　实验：探究共点力合成的规律

1．实验过程：

(1)仪器的安装：用图钉把白纸钉在水平桌面上的方木板上。并用图钉把橡皮条

的一端固定在A点，橡皮条的另一端拴上两个细绳套，如图所示。

(2)操作与记录：

①两力拉：用两个弹簧测力计分别钩住两个细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O。用铅笔描下结点O的位置和两条细绳套的方向，并记录弹簧测力计的读数。

②一力拉：只用一个弹簧测力计，通过细绳套把橡皮条的结点拉到与前面相同的位置O，记下弹簧测力计的读数和细绳套的方向。

(3)作图与分析：

①理论值：在白纸上按比例从O点开始作出两个弹簧测力计同时拉时弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，利用刻度尺和三角板根椐平行四边形定则求出合力F。

②测量值：按同样的比例用刻度尺从O点起作出一个弹簧测力计拉橡皮条时拉力F′的图示。

③相比较：比较F′与用平行四边形定则求得的合力F在实验误差允许的范围内是否相等。

(4)重复做实验：改变两个分力F1和F2的大小和夹角，再重复实验两次，比较每次的F与F′在实验误差允许的范围内是否相等。

2．误差分析：

(1)弹簧测力计使用前没调零会造成误差。

(2)使用中，弹簧测力计的弹簧和外壳之间、指针和外壳之间或弹簧测力计的外壳和纸面之间有摩擦力存在，会造成误差。

(3)两次测量拉力时，橡皮筋的结点没有拉到同一点会造成偶然误差。

(4)两个分力的夹角太小或太大，F1、F2数值太小，应用平行四边形定则作图时，会造成偶然误差。

3．注意事项：

(1)结点：

①定位O点时要力求准确；

②同一次实验中橡皮筋拉长后的O点必须保持位置不变。

(2)拉力：

①用弹簧测力计测拉力时要使拉力沿弹簧测力计轴线方向；

②应使橡皮筋、弹簧测力计和细绳套位于与纸面平行的同一平面内；

③两个分力F1、F2间的夹角θ不要太大或太小。

(3)作图：

①在同一次实验中，选定的比例要相同；

②严格按力的图示要求和几何作图法作出平行四边形，求出合力。

【典例】在“验证力的平行四边形定则”的实验中，某同学进行实验的主要步骤是：

a．如图甲所示，将橡皮筋的一端固定在木板上的A点，另一端拴上两根绳套，每根绳套分别连着一个弹簧测力计。

b．沿着两个方向拉弹簧测力计，将橡皮筋的活动端拉到某一位置，将此位置标记为O点，读取此时弹簧测力计的示数，分别记录两个拉力F1、F2的大小。用笔在两绳的拉力方向上分别标记a、b两点，并分别将其与O点连接，表示两力的方向。

c．再用一个弹簧测力计将橡皮筋的活动端仍拉至O点，记录其拉力F的大小并用上述方法记录其方向。

(1)实验中确定分力方向时，图甲中的b点标记得不妥，其原因是__________________________________________________________。

(2)用一个弹簧测力计将橡皮筋的活动端仍拉至O点，这样做的目的是________。

(3)图乙是在白纸上根据实验数据作出的力的图示，其中________是F1和F2合力的实际测量值。

(4)实验中的一次测量如图丙所示，两个测力计M、N的拉力方向互相垂直，即α＋β＝90°。若保持测力计M的读数不变，当角α由图中所示的值逐渐减小时，要使橡皮筋的活动端仍在O点，可采用的办法是________。

A．增大N的读数，减小β角

B．减小N的读数，减小β角

C．减小N的读数，增大β角

D．增大N的读数，增大β角

【解析】(1)为了减小测量的误差，记录方向时，记录点与O点的距离适当大一些，图甲中的b点标记得不妥，其原因是O、b两点太近，误差大。

(2)用一个弹簧测力计将橡皮筋的活动端仍拉至O点，这样做的目的是与F1、F2共同作用的效果相同。

(3)F1和F2合力的实际测量值是用一个弹簧测力计拉的，不是根据平行四边形定则作出的，故F是F1和F2合力的实际测量值。

(4)由题意可知：保持O点位置不动，即合力大小、方向不变，弹簧测力计M的读数不变，因此根据要求作出力的平行四边形，画出受力分析图如下：

所以由图可知α角逐渐变小时，N的示数减小，同时β角减小。故选B。

答案：(1)O、b两点太近，误差大

(2)与F1、F2共同作用的效果相同　(3)F　 (4)B

1．甲、乙两同学从实验室里借来两个弹簧测力计，在课外做“验证力的平行四边形定则”实验，实验步骤如下：用完全相同的两个弹簧测力计进行操作，弹簧测力计A挂于固定点C，下端用细线挂一重物G，弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉至水平，使结点O静止在某位置，分别读出弹簧测力计A和B的示数并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线的方向。

(1)弹簧测力计A的指针如图1所示，由图可知拉力的大小为________N(本实验用的弹簧测力计示数的单位为N)。

(2)甲、乙同学由实验分别作出FA和FB的合力F以及拉线的方向，如图2所示，得到的结果符合事实的是________(选填“甲”或“乙”)；某次实验中，两同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，下列解决办法可行的是________。

A．改变弹簧测力计B拉力的大小

B．减小重物G的质量

C．将A更换成量程较小的弹簧测力计

D．改变弹簧测力计B拉力方向

【解析】(1)由题图1知，弹簧测力计A的最小刻度值为0.2 N，读数为5.8 N。

(2)用平行四边形定则求出的合力可以与重力的方向有偏差，但悬挂重物的线应该竖直向下，故甲同学实验得到的结果符合实验事实。当弹簧测力计A超出其量程，则说明弹簧测力计B与重物这两根细线的力的合力已偏大，又由于挂重物的细线力的方向已确定，所以要么减小重物的质量，要么改变测力计B拉细线的方向，或改变弹簧测力计B拉力的大小，从而使测力计A不超出量程，故A、B、D正确，C错误。

点睛：本题考查了弹簧测力计读数、减小实验误差的方法。对弹簧测力计读数时要先确定其分度值，然后再读数，读数时视线要与刻度线垂直，同时值得注意其中有一力大小与方向均已确定，从而减小实验误差。

答案：(1)5.8　(2)甲　A、B、D

2．某同学用如图甲所示的装置做“探究求合力的方法”实验。将一木板竖直平行放在铁架台和轻弹簧所在平面后面。其部分实验操作如下，请完成下列相关内容：

(1)如图甲，在木板上记下悬挂两个钩码时弹簧末端的位置O。

(2)如图乙所示，卸下钩码，然后将两细绳套系在弹簧下端，用两弹簧测力计将轻弹簧末端拉到同一位置O，记录细绳套AO、BO的________及两弹簧测力计相应的读数，其中B弹簧测力计的读数为________N。

(3)该同学在坐标纸上画出两弹簧测力计拉力FA、FB的大小和方向如图丙所示，请在图丙中作出FA、FB的合力F′。

(4)已知钩码的重力，可得弹簧所受的拉力F如图丙所示，观察比较F和F′，得出结论：___________________________________________________。

【解析】本实验的目的是要验证力的平行四边形定则，故应通过平行四边形得出合力再与真实的合力进行比较。需要记录两个分力的方向和大小，弹簧测力计读数时要注意估读，由图乙可以看出B弹簧测力计的读数为11.40 N，最后根据力的平行四边形定则进行合成，作出的F′如图所示：

通过观察比较，我们可以得出：在误差允许的范围内，F＝F′。

答案：(2)方向　11.40　(3)见解析图

(4)在误差允许的范围内，F＝F′

【加固训练】将橡皮筋的一端固定在A点，另一端拴两根细绳，每根细绳分别连着一个量程为5 N，最小刻度是0.1 N的弹簧测力计。沿着两个不同方向拉弹簧测力计，使橡皮筋的活动端拉到O点时，两根细绳互相垂直，如图所示。

(1)由图可读出这两个互相垂直拉力的大小分别为________N和______N。(只需读到0.1 N)

(2)在本题的虚线方格纸上按作图法的要求画出这两个力及它们的合力。

【解析】(1)水平向右的拉力F1＝4.0 N，竖直向下的拉力F2＝2.5 N。

(2)选一个方格的边长代表0.5 N的力，分别作出两个力的图示，再根据力的平行四边形定则得出合力图示如图所示。

答案：(1)4.0　2.5

(2)见解析图

【拓展例题】考查内容：二力合成中的最值问题

【典例】在光滑的水平面上放有一个物体，水平力F＝10 N作用于物体，现要使物体所受的合力沿OO ′方向，OO′与F之间的夹角θ为37°，如图所示，则必须要同时在物体上施加一个力F′，求F′的最小值。

【解析】当F′垂直于OO′时最小，如图所示，

则F′＝F sin θ＝10 N×sin37°＝6 N

答案：6 N

1．物体同时受到同一平面内的三个力作用，下列几组力中，它们的合力不可能为零的是(　　)

A．5 N、7 N、8 N　　　   B．2 N、3 N、5 N

C．1 N、5 N、10 N       D．1 N、10 N、10 N

【解析】选C。三个力合力为0时，则任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反，由此可知，任意一个力在另外两个力的合力范围之内。5 N和7 N的合力范围为：2～12 N，8 N在合力范围里，故三个力的合力可能为0，故A错误； 2 N和3 N的合力范围为：1～5 N，5 N在合力范围里，故三个力的合力可能为0，故B错误；1 N和5 N的合力范围为：4～6 N，10 N不在合力范围里，故三个力的合力不可能为0，故C正确； 1 N和10 N的合力范围为：9～11 N，10 N在合力的范围里，故三个力的合力可能为0，故D错误。

2．如图，三个大小相等的力F，作用于同一点O，则合力最小的是(　　)

【解析】选C。将相互垂直的F进行合成，则合力的大小为F，再与第三个力F合成，即有合力的大小为(－1)F；将方向相反的两个力合成，则合力为0，再与第三个力F合成，则有合力大小为F；将任意两力进行合成，可知，这三个力的合力为零；将左边两个力进行合成，再与右边合成，则有合力的大小为(－1)F；故选C。

【加固训练】下列关于分力与合力的说法中，正确的是(　　)

A．分力与合力同时作用在物体上，所以它们都是物体受到的力

B．分力同时作用于物体时产生的效果与某一个力单独作用时产生的效果是相同的，那么这几个分力就是这个力

C．合力只能大于分力，不能小于分力

D．两个分力夹角在0°～180°之间变化时，若分力大小不变，则夹角越大，合力越小

【解析】选D。合力与分力只是效果相同，不是物体同时受到的力，故选项A、B均错误；合力既可大于分力，也可小于分力，两分力大小不变时，合力随两分力夹角的增大而减小，故C错误、D正确。

3．如图所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A自由转动，用轻绳在O点悬挂一个重为G的物体，另一根轻绳一端系在O点，O点为圆弧的圆心，另一端系在圆弧形墙壁上的C点，当该轻绳端点由点C逐渐沿圆弧CB向上移动的过程中(保持OA与地面夹角θ不变)，OC绳拉力的大小变化情况是(　　)

A．逐渐减小        B．逐渐增大

C．先减小后增大      D．先增大后减小

【解析】选C。对物体分析，物体受力平衡，则竖直绳的拉力等于物体的重力，故竖直绳拉力不变；再对O点分析，O受竖直绳的拉力、OA的支持力F及OC绳的拉力而处于平衡状态，受力分析如图所示，F和OC绳的拉力的合力与G大小相等，方向相反，则在OC绳端点上移的过程中，平行四边形的对角线保持不变，由图可知OC绳的拉力先减小后增大，故C正确。

4．某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图。

(1)如果没有操作失误，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是__________。

(2)本实验采用的科学方法是__________。

A．理想实验法　　　　 B．等效替代法

C．控制变量法       D．建立物理模型法

(3)实验时，主要的步骤：

A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；

B．用图钉把橡皮条的一端固定在木板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；

C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O，记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；

D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F；

E．只用一只弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F′的图示；

F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论。

上述步骤中：①有重要遗漏的步骤的序号是________和________；

②遗漏的内容分别是____________和____________。

【解析】(1)由一个弹簧测力计拉橡皮条至O点的拉力一定沿AO方向；而根据平行四边形定则作出的合力，由于误差的存在，不一定沿AO方向，故一定沿AO方向的是F′。

(2)一个力的作用效果与两个力的作用效果相同，它们的作用效果可以等效替代，故B正确。

(3)①根据“验证力的平行四边形定则”实验的操作规程可知，有重要遗漏的步骤的序号是C、E。

②在C中未记下两条细绳的方向，E中未说明是否把橡皮条的结点拉到同一位置O。

答案：(1)F′　(2)B　(3)①C　E　②C中应加上“记下两条细绳的方向”　E中应说明“把橡皮条的结点拉到同一位置O ”

5．假设一座斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？

【解析】根据力的平行四边形是一个菱形的特点(如图所示)，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB⊥OC，且AD＝DB，OD＝DC。考虑直角三角形AOD，其中∠AOD＝30°，而OD＝OC，所以合力的大小为F＝2×F1cos30°＝2×3×104× N＝5.2×104 N，方向沿两钢索拉力方向间的角平分线。

答案：5.2×104 N