寒假作业6 第3章圆锥曲线的方程 综合提升卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考）

这是一份寒假作业6 第3章圆锥曲线的方程 综合提升卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知椭圆的一个焦点坐标为，则（ ）
A．1B．2C．5D．9
2．抛物线 上点 的横坐标为 4，则 到抛物线焦点 的距离 等于（ ）
A．12B．10C．8D．6
3．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知圆的圆心为M，设A为圆上任一点，，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
5．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2B．3
C．4D．8
6．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A．B．C．D．
7．已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于G､H两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线(，)的左､右焦点分别为，，若双曲线与曲线在第二象限的交点为，且，则双曲线的离心率为( )
A．B．3C．D．
二、多选题
9．已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6B．焦点坐标为，
C．离心率为D．渐近线方程为
10．已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆
B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆
D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
11．已知a，b，c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x的方程有实根，则椭圆E的离心率e可能是（ ）
A．B．C．D．
12．已知两点，若直线上存在点，使，同时存在点，使，则称该直线为“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
14．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
15．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
四、双空题
16．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
五、解答题
17．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.
18．若椭圆E：过抛物线x2＝4y的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）不过原点O的直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，求△OAB面积的最大值以及此时直线的方程.
19．已知双曲线的离心率为2．
（1）求双曲线E的方程；
（2）设点P(0，－3)，过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B，求直线PA，PB的斜率之和．
20．已知双曲线的一条渐近线斜率为，且双曲线C经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）斜率为的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为、，若，求直线l的方程．
21．已知椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任意两点，为坐标原点，且以为直径的圆经过原点，求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值．
22．已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：直线轴；
（3）以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
由焦点坐标及椭圆方程中参数关系有，即可求参数m.
【详解】
由题设知：，可得.
故选：A.
2．C
【分析】
根据焦半径公式即可求出．
【详解】
因为，所以，所以．
故选：C．
3．C
【分析】
由双曲线标准方程直接求解即可.
【详解】
由双曲线方程可得
所以双曲线的渐近线为，
故选：C
4．C
【分析】
连接，则，或，从而可得，进而可得动点P的轨迹是以为焦点的双曲线
【详解】
圆的圆心，半径为3，连接，
因为线段AN的垂直平分线交MA于点P，
所以，或
所以，
所以动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，
故选：C
5．D
【分析】
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】
因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
6．B
【分析】
由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】
法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【点睛】
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
7．B
【分析】
根据是等腰三角形且为锐角三角形，得到，即，解得离心率范围.
【详解】
，当时，，，不妨取，，
是等腰三角形且为锐角三角形，则，即，
，即，，解得，故.
故选：B.
8．C
【分析】
根据几何关系得，再由余弦定理列出a与c的关系即可﹒
【详解】
如图，
由题知：，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，
∴，∴，∴，
故选：C．
9．AC
【分析】
根据双曲线的几何性质即可逐项分析求解.
【详解】
根据题意可得，，所以，
所以双曲线的实轴长为，故A正确；
双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，故B错误；
双曲线的离心率为，故C正确；
双曲线的渐近线方程为，即，故D错误.
故选：AC.
10．ACD
【分析】
由已知条件先求出的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可
【详解】
由为3与5的等差中项，得，即，
由为4与16的等比中项，得，即，
则曲线的方程为或．
其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；
其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．
故选:ACD．
11．AC
【分析】
根据方程有实根，得到，再转化为求解.
【详解】
因为方程有实根，
所以，
即 ，即 ，
所以 ，
解得 ，
故选：AC
12．AB
【分析】
由双曲线定义可知分别位于双曲线的左右半支上，由双曲线方程可得其渐近线方程，将选项中的直线斜率与双曲线渐近线斜率比较即可确定直线与双曲线交点情况，由此可得结果.
【详解】
，，
在以为焦点的双曲线的双曲线上，且在双曲线右半支上，在双曲线左半支上；
的渐近线方程为：，
对于A，的斜率且过点，与交于两点，且两点分别位于左右半支，符合题意，A正确；
对于B，当时，，符合题意，B正确；
对于C，为双曲线渐近线，则其与双曲线无交点，不合题意，C错误；
对于D，的斜率且过坐标原点，与无交点，不合题意，D错误.
故选：AB.
13．4
【分析】
将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】
由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
【点睛】
本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
14．
【分析】
根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】
因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
15．
【分析】
先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】
抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】
利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
16．
【分析】
不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；
（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．
【详解】
（1），
所以，即抛物线C的方程.
（2）设，
由得
所以，
所以
.
【点睛】
方法点睛：计算抛物线弦长的方法，
(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)．
(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解．
18．
（1）
（2）面积最大值为，此时直线的方程为．
【分析】
首先求出抛物线与双曲线的焦点坐标，即可得到、，再由，即可求出，即可求出椭圆方程；
（2）将直线方程和椭圆方程联立组成方程组，然后求解得到的值，并通过求解得到点到直线的距离，即可得到含有的表达式，进而求解得出最大值．
（1）
解：抛物线的焦点为，双曲线的焦点为或，依题意可得，又，所以，所以椭圆方程为；
（2）
解：根据题意，设点，，，，联立直线方程与椭圆方程可得，，消去得，，
即得，，
则由相交弦长公式可得，
又由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为，
所以，
当且仅当，即时，面积取得最大值为，此时直线的方程为．
19．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用离心率求出，再由，即求.
（2）设出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理即可求解.
（1）
由，则，
因为，解得，
所以，
所以双曲线E的方程为.
（2）
过点的直线斜率显然存在，
设的方程为：，，，
将的方程代入双曲线的方程并整理得
依题意，且，
所以且，
因此，可得，.


20．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）由渐近线方程及双曲线所过的点可得，求参数，写出双曲线C的方程；
（2）设，，，联立双曲线方程应用韦达定理及求出参数t，即可得直线l的方程．
（1）
由题设可得：，
∴.
（2）
设，，，
联立，则，
∴，
由，可得，故，
∴.
21．
（1）
（2）证明见解析，定值为
【分析】
（1）根据题意得到，，得到椭圆方程.
（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，将题目转化为，化简得到，代入计算得到答案.
（1）
椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为，
故，，故椭圆方程为.
（2）
当直线斜率存在时，设直线方程为，，，
则，即，，
以为直径的圆经过原点，故，
即，即，
化简整理得到：，
原点到直线的距离为.
当直线斜率不存在时，为等腰直角三角形，设，则，
解得，即直线方程为，到原点的距离为.
综上所述：原点到直线的距离为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将圆过原点转化为是解题的关键.
22．
（1）
（2）证明见解析
（3）
【分析】
（1）设抛物线的方程为，由题意可得求得抛物线方程；
（2），设，求出直线、的方程，求出点坐标和点坐标，由可得答案：
（3）根据已知条件求出、圆心坐标、直线方程，且与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，圆心到直线的距离为，半径，得到，令，代入利用单调性可得答案．
（1）
设抛物线的方程为，
由题意可得，所以，所以抛物线方程.
（2）
由（1），因为，设，
直线的方程为，直线的方程为，
联立上述两直线方程，得点坐标，
又因为点为线段的中点，所以点坐标，
因为，所以直线轴：
（3）
因为点，所以，则，圆心，
直线的斜率为，直线方程为，
，得，，，
圆心到直线的距离为，半径，
，令，
在时单调递减，