【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：复数

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：复数，共7页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共26小题；共130分）
1. 复平面内，复数 z=−3+4i 对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

2. 在复平面内，O 为坐标原点，向量 OA 对应的复数为 −1+2i，若点 A 关于直线 y=−x 的对称点为 B，则向量 OB 对应的复数为
A. −2−iB. −2+iC. 1+2iD. −1+2i

3. 已知复数 z=a2−2a+a2−a−2i 对应的点在虚轴上，则
A. a≠2 或 a≠1B. a≠2，且 a≠1
C. a=0D. a=2 或 a=0

4. 在复平面内，O 为原点，向量 OA 对应的复数为 −1+2i，若点 A 关于直线 y=−x 的对称点为点 B，则向量 OB 对应的复数为
A. −2−iB. −2+iC. 1+2iD. −1+2i

5. 已知关于 x 的方程 x2+m+2ix+2+2i=0m∈R 有实根 n，且 z=m+ni，则复数 z=
A. 3+iB. 3−iC. −3−iD. −3+i

6. 若 xi−i2=y+2i，x，y∈R，则复数 x+yi=
A. −2+iB. 2+iC. 1−2iD. 1+2i

7. 已知 1+z1−z=−i（其中 i 是虚数单位），则 ∣1+z∣=
A. 1B. 0C. 2D. 2

8. 方程 1−z4=0 在复数范围内的根共有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

9. 设复数 z 满足 ∣z−i∣=1，z 在复平面内对应的点为 x,y，则
A. x+12+y2=1B. x−12+y2=1
C. x2+y−12=1D. x2+y+12=1

10. 已知 i 是虚数单位，复数 z1=−3+2i，z2=1−4i，则复数 z=z1+z2 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

11. 复数 z1=a+2ia∈R，z2=−2+i．如果 ∣z1∣<∣z2∣，那么实数 a 的取值范围是
A. −1,1B. 1,+∞
C. 0,+∞D. −∞,−1∪1,+∞

12. 复数 z=i+i2，则 z 在复平面内所对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

13. 若复数 z1 与 z2=−3−i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1=
A. −3iB. −3+iC. 3+iD. 3−i

14. 若 z=1+i，则 ∣z2−2z∣=
A. 0B. 1C. 2D. 2

15. 若复数 1−ia+i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是
A. −∞,1B. −∞,−1C. 1,+∞D. −1,+∞

16. 若 z=1+2i+i3，则 ∣z∣=
A. 0B. 1C. 2D. 2

17. 若 2−i 是关于 x 的方程 x2+px+q=0 的一个根（其中 i 为虚数单位，p,q∈R），则 q 的值为
A. −5B. 5C. −3D. 3

18. 已知复数 z1，z2 在复平面内对应的点分别为 2,−1，0,−1，则 z1z2+z2=
A. 2+2iB. 2−2iC. −2+iD. −2−i

19. 在复平面内，向量 AB 对应的复数是 2+i，向量 CB 对应的复数是 1−3i，则向量 CA 对应的复数在复平面内对应的点在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

20. 已知复数 z=2+i，则 z⋅z=
A. 3B. 5C. 3D. 5

21. 复数 z 满足 ∣z−3i∣=2（i 为虚数单位），则复数 z−4 的模的取值范围是
A. 3,7B. 0,5C. 0,9D. 以上都不对

22. 已知复数 z 是 z 的共轭复数．若 2i⋅z=1−i，其中 i 为虚数单位，则 z=
A. 12B. 22C. 2D. 2

23. 若复数 z 满足 z1−i=i，其中 i 是虚数单位，则 z=
A. 1−iB. 1+iC. −1−iD. −1+i

24. 在复平面内，复数 z=i1+2i 对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

25. 若复数 z 满足 ∣z+3+4i∣=2，则 ∣z∣ 的最大值是
A. 3B. 5C. 7D. 9

26. 已知复数 z1=n−1+2m+1i 与 z2=2+n−2i 互为共轭复数，其中 m,n∈R，i 为虚数单位，则 z1=
A. 1B. 2C. 3D. 5

二、选择题（共4小题；共20分）
27. 已知 i 为虚数单位，下列说法中正确的是
A. 若复数 z 满足 ∣z−i∣=5，则复数 z 对应的点在以 1,0 为圆心，5 为半径的圆上
B. 若复数 z 满足 z+∣z∣=2+8i，则复数 z=15+8i
C. 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D. 复数 z1 对应的向量为 OZ1，复数 z2 对应的向量为 OZ2，若 z1+z2=z1−z2，则 OZ1⊥OZ2

28. 在复平面内，给出以下四个说法，其中正确的是
A. 实轴上的点表示的数均为实数
B. 虚轴上的点表示的数均为纯虚数
C. 互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数
D. 已知复数 z 满足 1+iz=3−i，则 z 在复平面内所对应的点位于第四象限

29. 已知虚数 z 满足 ∣2z+5∣=∣z+10∣，下列结论正确的是
A. 虚数 z 对应的点在某个圆上
B. 虚数 z 对应的点在某条直线上
C. 当实数 m=5 时，zm+mz 为实数
D. 若 1−2iz 在复平面内对应的点在直线 y=x 上，则复数：z=102−3102i

30. 已知方程 x2+2x−a=0，其中 a<0，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是
A. 该方程一定有一对共轭虚根
B. 该方程可能有两个正实根
C. 该方程两根的实部之和等于 −2
D. 若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于 1
答案
第一部分
1. B【解析】依题意复数 z=−3+4i 对应的点为 −3,4，
对应的点在第二象限．
2. B【解析】因为 A−1,2 关于直线 y=−x 的对称点为 B−2,1，
所以向量 OB 对应的复数为 −2+i．
3. D【解析】由题意，得 a2−2a=0，得 a=0 或 a=2．
4. B【解析】因为复数 −1+2i 对应的点为 A−1,2，点 A 关于直线 y=−x 的对称点为 B−2,1，
所以 OB 对应的复数为 −2+i．
5. B
【解析】由题意，知 n2+m+2in+2+2i=0，
即 n2+mn+2+2n+2i=0，
所以 n2+mn+2=0,2n+2=0.
解得 m=3,n=−1.
所以 z=3−i．
6. B【解析】由 i2=−1，得 xi−i2=1+xi，则由题意得 1+xi=y+2i，根据复数相等的充要条件得 x=2，y=1，故 x+yi=2+i．
7. C【解析】因为 1+z1−z=i，
所以 z=−1−i1−i=−i，
所以 ∣1+z∣=∣1−i∣=1+1=2．
8. D【解析】由已知条件可得 z4=1，即 z2=±1，得 z1=1，z2=−1，z3=i，z4=−i，故原方程在复数范围内有 4 个根．
9. C【解析】z=x+yi，z−i=x+y−1i，∣z−i∣=x2+y−12=1，则 x2+y−12=1．
10. C
【解析】由复数加法运算可知，z=z1+z2=−3+2i+1−4i=−2−2i，
在复平面内对应的点坐标为 −2,−2，在第三象限，
故选C．
11. A【解析】因为 ∣z1∣=a2+4，∣z2∣=5，∣z1∣<∣z2∣，
所以 a2+4<5，
所以 −112. C【解析】因为 z=i+i2=−1+i，
所以 z=−1−i，
所以其对应点 −1,−1 在第三象限．
13. B【解析】复数 z1 与 z2=−3−i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1=−3+i．
14. D【解析】方法一：
因为 z=1+i，
所以 z2=1+i2=2i，
所以 z2−2z=2i−2+2i=−2，
所以 ∣z2−2z∣=2．
方法二：
∣z2−2z∣=∣z∣⋅∣z−2∣=∣1+i∣⋅∣i−1∣=2×2=2．
15. B
【解析】1−ia+i=a+i−ai−i2=a+1+1−ai，其对应的点为 a+1,1−a，
因为复数对应的点在第二象限，
所以 1+a<0,1−a>0,
解得 a<−1．
故选B．
16. C【解析】因为 z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，
所以 ∣z∣=12+12=2．
17. B【解析】因为 2−i 是关于 x 的实系数方程 x2+px+q=0 的一个根，
所以 2+i 是关于 x 的实系数方程 x2+px+q=0 的另一个根，
则 q=2−i2+i=4+1=5．
故选B．
18. A【解析】由题意可得 z1=2−i，z2=−i，
则 z1z2=2−i−i=i2−i−i2=1+2i，z2=1，
据此可得 z1z2+z2=2+2i．
19. C【解析】因为 CA=CB−AB，
所以 CA 对应的复数为 1−3i−2−i=−1−4i，对应点的坐标为 −1,−4，在第三象限，
故选C．
20. D
【解析】因为 z=2+i，
所以 z=2−i，
所以 z⋅z=2+i⋅2−i=4−i2=5．故选D．
21. A【解析】∣z−3i∣=2 表示复平面上到点 0,3 的距离为 2 的点的集合，显然是以 0,3 为圆心，2 为半径的圆，z−4 的模的几何意义是以点 0,3 为圆心，2 为半径的圆上的点到点 4,0 的距离，显然复数 z−4 的模的最大值为 32+42+2=7，最小值为 32+42−2=3．
22. B【解析】因为 2i⋅z=1−i，
所以 −i⋅2i⋅z=−i⋅1−i，
即 2z=−i⋅1−i=−1−i，z=−12−12i，
可得 z=−12+12i，
所以 z=14+14=22．
23. A【解析】z=1−ii=−i2+i=1+i，所以 z=1−i．
24. B【解析】解法一：
复数 z=i1+2i 在复平面内对应的点可看作是由复数 z1=1+2i 对应的点绕原点逆时针旋转 π2 得到的，而复数 z1=1+2i 对应的点在第一象限，
所以复数 z=i1+2i 在复平面内对应的点位于第二象限．
解法二：
z=i1+2i=−2+i，对应的点为 −2,1，位于第二象限．
25. C
【解析】∣z+3+4i∣=2 表示复数 z 对应的点在以 C−3,−4 为圆心，2 为半径的圆上，∣z∣ 为圆上的点到坐标原点 O 的距离，其最大值为 ∣OC∣+2=7．
26. D【解析】由题意得，n−1=2,2m+1+n−2=0,
解得 m=−1,n=3,
则 z1=2−i，∣z1∣=4+1=5．
第二部分
27. C， D
【解析】满足 ∣z−i∣=5 的复数 z 对应的点在以 0,1 为圆心，5 为半径的圆上，A错误；
设 z=a+bi（a,b∈R），则 ∣z∣=a2+b2．由 z+∣z∣=2+8i，得 a+bi+a2+b2=2+8i，
所以 a+a2+b2=2,b=8, 解得 a=−15,b=8,
所以 z=−15+8i，B错误；
由复数的模的定义知C正确；
由 z1+z2=z1−z2 的几何意义知，以 OZ1，OZ2 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．故选CD．
28. A， C， D
【解析】对于A，由复数的几何意义知，实轴上的点表示的数均为实数，A正确；
对于B，原点在虚轴上，原点代表的数为零，不是纯虚数，B错误；
对于C，互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，C正确；
对于D，由 1+iz=3−i，得 z=3−i1+i=3−i1−i1+i1−i=2−4i2=1−2i，
所以复数 z 在复平面内所对应的点位于第四象限，D正确．
29. A， C
【解析】设 z=x+yix,y∈R且y≠0，由 ∣2z+5∣=∣z+10∣，得 2x+52+4y2=x+102+y2，
化简得 x2+y2=25，即 ∣z∣=5，
因此虚数 z 对应的点在以 0,0 为圆心，5 为半径的圆上，A正确，B错误；
若 zm+mz=xm+mxx2+y2+ym−myx2+y2i 为实数，则 ym−myx2+y2=0，
又 y≠0 且 x2+y2=25，
所以 1m−m25=0，解得 m=±5，因此C正确；
由 1−2iz=1−2ix+yi=x+2y+y−2xi 及已知得，x+2y=y−2x，
即 y=−3x，代入 x2+y2=25，解得 x=102,y=3102 或 x=−102,y=3102.
故 z=−102−3102i 或 z=−102+3102i，因此D错误．
30. A， B， D
【解析】方程 x2+2x−a=0，a<0，则 Δ=4+4a，当 Δ≥0，即 a≥−1 时，方程有实数根，所以A错误；
由一元二次方程根与系数的关系可知，两个实数根的和为 −2，
所以不可能有两个正实根，所以B错误；
当 Δ<0 时，方程有两个虚数根，由求根公式可得 x=−1±−4+4a2i，
所以两个根的实部之和等于 −2，故C正确；
若该方程有虚根，则虚根的模为 1+−4+4a22>1，所以D错误．