2020-2021学年2.2 等差数列课时训练

这是一份2020-2021学年2.2 等差数列课时训练，共13页。试卷主要包含了2　等差数列，下列命题，故选B等内容，欢迎下载使用。

2.2 等差数列
基础过关练
题组一 等差数列的定义
1.下列命题:①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列;②数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列;③等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k,b为常数);④数列{2n+1}是等差数列.其中正确命题的序号是( )

A.①② B.①③ C.②③④ D.③④
2.下列数列中,不是等差数列的是( )
A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2
3.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}( )
A.是公差为1的等差数列
B.是公差为13的等差数列
C.是公差为-13的等差数列
D.不是等差数列
4.若数列{an}的通项公式是an=2(n+1)+3,则此数列( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为3的等差数列
C.是公差为5的等差数列
D.不是等差数列
5.若m≠n,两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差分别为d1和d2,则d1d2的值为 .
题组二 等差中项
6.若a=13+2,b=13-2,则a,b的等差中项为( )
A.3 B.2
C.32 D.22
7.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
8.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值等于( )
A.0 B.lg25 C.32 D.0或32
题组三 等差数列的通项公式
9.(2020山西太原高一期末)在等差数列{an}中,a1=1,d=2,则a4=( )
A.5 B.7 C.8 D.16
10.(2020湖南常德高一期末)在等差数列{an}中,a3=8,a10=29,则a6=( )
A.14 B.17 C.20 D.23
11.已知首项为-24的等差数列{an}从第10项起为正数,则公差d的取值范围是( )
A.83,+∞ B.83,3 C.83,3 D.83,3
12.已知等差数列{an}中各项都不相等,a1=2,且a4+a8=a32,则公差d=( )
A.0 B.12 C.2 D.0或12
13.在数列{an}中,若a1=1,a2=12,2an+1=1an+1an+2(n∈N*),则该数列的通项公式为( )
A.an=1n B.an=2n+1 C.an=2n+2 D.an=3n
题组四 等差数列的性质
14.等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是( )
A.15 B.30 C.31 D.64
15.数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则lg6(a5+a7+a9)的值是( )
A.-2 B.-12 C.2 D.12
16.(2020安徽庐江高二期末)已知{an}是等差数列,且a2+a5+a8+a11=48,则a6+a7=( )
A.12 B.16 C.20 D.24
17.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=12,则a1+a2+…+a7= ( )
A.14 B.21 C.28 D.35
18.若{an}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有( )
①{|an|};②{an+1-an};③{pan+q}(p,q为常数);④{2an+n}.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
19.已知等差数列{an}的公差d>0,且a3a7=-12,a4+a6=-4,求{an}的通项公式.
能力提升练
一、选择题
1.(2020北京石景山高二期末,★★☆)如果2,a,b,c,10成等差数列,那么c-a=( )

A.1 B.2 C.4 D.8
2.(2021豫南九校高二联考,★★☆)已知数列{an}为等差数列,a2=3,a5=15,则a11=( )
A.39 B.38 C.35 D.33
3.(2020广东深圳宝安高二期末,★★☆)等差数列{an}的首项为125,且从第10项开始为比1大的项,则公差d的取值范围是( )
A.d>875 B.d<325 C.8754.(2020山东诸城教育科学研究院高二期中,★★☆)在数列{an}中,a1=2,an+1=anan+1(n∈N+),则a20=( )
A.121 B.239 C.223 D.123
5.(2020山东日照高二上期末,★★☆)我国古代著名的著作《周髀算经》中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈三尺五寸;夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为9916分;“冬至”时日影长度最大,为1 350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为( )
A.95313分 B.1 05212分
C.1 15123分 D.1 25056分
6.(2020湖北随州高二期末,★★☆)有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
7.(2020河南平顶山高二期末,★★★)已知递增数列{an}中,a1=1,且an+1=an+2an-1+1(n∈N*),则a20=( )
A.360 B.362 C.364 D.366
8.(2021湖南长沙麓山国际实验学校高三月考,★★★)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1tanA,1tanB,1tanC成等差数列,则下列结论中一定成立的是( )
A.a,b,c成等差数列
B.a,b,c成等差数列
C.a2,b2,c2成等差数列
D.a3,b3,c3成等差数列
二、填空题
9.(2020河北张家口高二期末,★★☆)若数列{an}满足a3=15,an-an+1=2an·an+1,n∈N*,则数列{an}的通项公式an= .
10.(2021江苏盐城伍佑中学高二调研,★★★)若数列{an}满足a1=15,3an+1=3an-2(n∈N+),则使ak·ak+1<0成立的k值为 .
三、解答题
11.(2021辽宁省实验中学高二期中,★★☆)已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N*).
(1)求证:数列an2n是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
12.(★★☆)已知各项均为正数的数列{an}满足an2=(2n-1)an+2n(n∈N*).
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若数列{bn}满足bn=an-210n-11,且数列{bn}的最大项为bp,最小项为bq,求p+q的值.
答案全解全析
第二章 数列
2.2 等差数列
基础过关练
1.C 根据等差数列的定义,①中,数列6,4,2,0的公差为-2,①错;②③④均正确.
2.C 根据等差数列的定义,可得:
A中,4-1=7-4=10-7=3(常数),所以是等差数列;
B中,lg 4-lg 2=lg 8-lg 4=lg 16-lg 8=lg 2(常数),所以是等差数列;
C中,因为24-25≠23-24≠22-23,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列;
D中,8-10=6-8=4-6=2-4=-2(常数),所以是等差数列.故选C.
3.B 由3an+1=3an+1,得3an+1-3an=1,即an+1-an=13,所以数列{an}是公差为13的等差数列.
4.A 由题意知,an=2n+5,则an+1-an=[2(n+1)+5]-(2n+5)=2,根据等差数列的定义知,数列{an}是公差为2的等差数列.
5.答案 43
解析 ∵m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差分别为d1和d2,
∴d1=n-m3,d2=n-m4,∴d1d2=43.
6.A 设a,b的等差中项为x,
则2x=a+b=13+2+13-2=23,
所以x=3.
7.B 由已知得m+2n=8,2m+n=10,解得m=4,n=2.
所以m和n的等差中项为m+n2=3.
8.B 依题意,得2lg(2x-1)=lg 2+lg(2x+3),
∴(2x-1)2=2(2x+3),
∴(2x)2-4·2x-5=0,
∴(2x-5)(2x+1)=0,
∴2x=5或2x=-1(舍去),∴x=lg25.
9.B 因为a1=1,d=2,所以a4=a1+3d=1+3×2=7.故选B.
10.B 在等差数列{an}中,a3=8,a10=29,设公差为d,则a10=a3+7d,
∴8+7d=29,解得d=3,∴a6=a3+3d=8+3×3=17,故选B.
11.D 易知an=-24+(n-1)d.由题意,可知第10项是该等差数列的第一个正数项,则a9=-24+(9-1)d≤0,a10=-24+(10-1)d>0,解得8312.B 由题意知d≠0,则a4+a8=a32⇒a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.又a1=2,所以4+10d=(2+2d)2,解得d=12或d=0(舍去),故选B.
13.A 由2an+1=1an+1an+2,得1an+1-1an=1an+2-1an+1,则数列1an是首项为1a1=1,公差为1a2-1a1=2-1=1的等差数列,所以1an=n,即an=1n.
解题模板 求等差数列的通项公式的两种思路:
(1)设出基本量a1,d,利用条件构建方程(组),求出a1,d,即可写出等差数列{an}的通项公式;
(2)已知等差数列中的两项an,am(n,m∈N*,n≠m)时,
由an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d⇒d=am-anm-n,an=am+(n-m)d,
可不必求a1而直接写出等差数列{an}的通项公式.
14.A 由等差数列的性质可得,a7+a9=a4+a12,即16=1+a12,所以a12=15,故选A.
15.C ∵an+1-an=3,∴{an}为等差数列,且公差为3.又a2+a4+a6=9=3a4,∴a4=3,
∴a5+a7+a9=3a7=3×(3+3×3)=36,
∴lg6(a5+a7+a9)=lg636=2.
16.D 由等差数列的性质可得,a2+a5+a8+a11=2(a6+a7)=48,则a6+a7=24,故选D.
17.C 由a3+a4+a5=12,得3a4=12,∴a4=4,
∴a1+a2+…+a7=7a4=28.
18.C 数列-1,1,3是等差数列,取绝对值后为1,1,3,不是等差数列,①不符合;若{an}是等差数列,利用等差数列的定义,知{an+1-an}为常数列,故是公差为0的等差数列,②符合;设{an}的公差为d,则(pan+q)-(pan-1+q)=p(an-an-1)=pd(n≥2)为常数,故{pan+q}是等差数列,③符合;设{an}的公差为d,则(2an+n)-(2an-1+n-1)=2(an-an-1)+1=2d+1(n≥2),故{2an+n}是等差数列,④符合.故选C.
19.解析 由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=-4,又∵a3a7=-12,d>0,
∴a3=-6,a7=2,
∴a7-a3=4d=8,∴d=2,
∴an=a3+(n-3)d=-6+2(n-3)=2n-12.
方法总结 一般地,运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用,但解题时要注意性质运用的限制条件,明确各性质的特征是正确解题的前提.
能力提升练
一、选择题
1.C 设等差数列的公差为d,则10-2=4d,解得d=2,所以c-a=2d=4,故选C.
2.A 已知数列{an}为等差数列,a2=3,a5=15,设公差为d,则15=3+3d,∴d=4,
∴a11=a2+9d=3+36=39.
3.D 依题意可知,a10>1,a9≤1,∴125+9d>1,125+8d≤1,
∴8754.B ∵an+1=anan+1,∴1an+1=an+1an=1an+1,又a1=2,∴1a1=12,故1an是首项为12,公差为1的等差数列,
∴1an=12+n-1=n-12,即an=22n-1,
∴a20=239.
5.答案 B
信息提取 ①一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为9916分;②“冬至”时日影长度最大,为1 350分;③“夏至”时日影长度最小,为160分.
数学建模 本题以数学文化为背景,通过“凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一”,构成以“冬至晷长”为首项的等差数列,从而求得“立春”时的日影长度.
解析 由题意可知,从“冬至”到“夏至”,每个节气的日影长度依次构成等差数列,该数列的首项a1=1 350,公差d=-9916,
∴“立春”时日影长度为a4=1 350+-9916×3=1 05212(分).故选B.
6.B 等差数列2,6,10,…,190的公差为4,等差数列2,8,14,…,200的公差为6,所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,其公差为12,首项为2,所以通项为an=12n-10,令12n-10≤190,解得n≤503,而n∈N*,所以n的最大值为16,即新数列的项数为16.
7.B 由an+1=an+2an-1+1,得an+1-1=an-1+2an-1+1.因为数列{an}是递增数列,且a1=1,所以(an+1-1)2=(an-1+1)2,所以an+1-1=an-1+1,即an+1-1-an-1=1,所以数列{an-1}是以a1-1=0为首项,1为公差的等差数列,所以an-1=0+(n-1),即an=n2-2n+2,所以a20=202-2×20+2=362.
8.C 根据题意,得2tanB=1tanA+1tanC,则2csBsinB=csCsinC+csAsinA,利用正弦定理、余弦定理的推论,得2·a2+c2-b22abc=a2+b2-c22abc+b2+c2-a22abc,
即2b2=a2+c2,即a2,b2,c2成等差数列.此时对等差数列a2,b2,c2的每一项取相同的运算得到数列a,b,c或a,b,c或a3,b3,c3,除a=b=c的情况外,这些数列一般都不可能是等差数列,所以A,B,D错误,C正确.故选C.
二、填空题
9.答案 12n-1
解析 ∵an-an+1=2an·an+1,∴1an+1-1an=2,∴数列1an是公差为2的等差数列,又1a3=5,∴1an=1a3+2(n-3)=2n-1,即an=12n-1.
10.答案 23
解析 因为数列{an}满足a1=15,3an+1=3an-2(n∈N+),即an+1-an=-23,所以数列{an}是以a1=15为首项,-23为公差的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=-23n+473,且数列{an}是递减数列.
因为ak·ak+1<0,所以-23k+473>0,-23k+15<0,
解得k<472,k>452.
因为k∈N+,所以k=23.
三、解答题
11.解析 (1)证明:∵an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N*),
∴an2n=an-12n-1+1,即an2n-an-12n-1=1(n≥2,且n∈N*),
∴数列an2n是首项为a121=12,公差为1的等差数列.
(2)由(1)得an2n=12+(n-1)·1=n-12,
∴an=n-12·2n(n∈N*).
12.解析 (1)证明:∵an2=(2n-1)an+2n,
∴a12=a1+2,
解得a1=2或a1=-1.
又∵an>0,∴a1=2.
由an2=(2n-1)an+2n,得an2-(2n-1)an-2n=(an-2n)(an+1)=0.
∵an>0,n∈N*,∴an=2n,
∴an+1-an=2(n+1)-2n=2,
∴数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列.
(2)结合(1)可得bn=an-210n-11=
2n-210n-11=2×n-10n-11=21+11-10n-11.
∴当n≤3,n∈N*时,{bn}单调递减,且bn<2;当n≥4,n∈N*时,{bn}单调递减,且bn>2.
∴当n=4时,bn最大;当n=3时,bn最小.
故p=4,q=3,∴p+q=7.