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2021学年3.4 基本不等式测试题
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这是一份2021学年3.4 基本不等式测试题，共54页。试卷主要包含了4 基本不等式，给出下列条件，下列各不等式,其中正确的是等内容，欢迎下载使用。
第三章 不等式
3.4 基本不等式:ab≤a+b2
基础过关练
题组一 对基本不等式的理解
1.不等式(x-2y)+1x-2y≥2成立的前提条件为 ( )
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x<2y
2.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使ba+ab≥2成立的条件有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.给出下面四个推导过程:
①因为a,b是正实数,所以ba+ab≥2ba·ab=2;
②因为x,y是正实数,所以lg x+lg y≥2lgx·lgy;
③因为a∈R,且a≠0,所以4a+a≥24a·a=4;
④因为x,y∈R,xy<0,所以xy+yx=--xy+-yx≤-2-xy·-yx=-2.
其中正确的推导为 ( )
A. ①② B.②③
B. C.③④ D.①④
4.(2020福建泰宁第一中学高一月考)下列各不等式,其中正确的是 ( )
A.a2+1>2a(a∈R)
B.x+1x≥2(x∈R,x≠0)
C.a+bab≥2(ab≠0)
D.x2+1x2+1>1(x∈R)
题组二 利用基本不等式比较大小
5.若0
6.(2020湖南长沙麓山国际实验学校高一期末)已知p=a+1a-2,q=12x2-2,其中a>2,x∈R,则p,q的大小关系是 ( )
A.p≥q B.p>q
C.p
8.已知正数x,y满足xy=36,则x+y与12的大小关系是 .
9.若四个正数a,b,c,d成等差数列,x是a和d的等差中项,y是b和c的等比中项,则x和y的大小关系是 .
题组三 利用基本不等式求最值
10.已知0
11.(2020山西孝义高一期末)若正数m,n满足2m+n=1,则1m+1n的最小值为 ( )
A.3+22 B.3+2
C.2+22 D.3
12.(2020黑龙江大庆高一期末)若x>1,则4x+1x-1的最小值等于 ( )
A.6 B.9 C.4 D.8
13.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是 ( )
A.2 B.22 C.4 D.5
14.(2020重庆南开中学高一期末)正数m,n满足m+n=2,则1m+1+1n+2的最小值为 ( )
A.35 B.45 C.54 D.2
题组四 利用基本不等式证明不等式
15.(2020山东烟台高二期末)已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等.
求证:bca+acb+abc>a+b+c.
16.已知a、b、c∈R+且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
17.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:ad+bcbd+bc+adac≥4.
题组五 利用基本不等式解决实际问题
18.某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.当住第n层楼时,环境不满意程度为8n,则此人应选第 楼,会有一个最佳满意度.
19.(2020山东泰安一中高一期中)山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略,也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略综合试验区.泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇,加快企业发展.已知该企业的年固定成本为500万元,每生产设备x(x>0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=12x2+40x万元;若年产量不小于80台,则y1=101x+8 100x-2 180万元.若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;
(2)年产量为多少台时,该企业所获利润最大?
能力提升练
一、选择题
1.(2020山东师大附中高一学业质量检测,★★☆)设x,y是正实数,(x+y)1x+1y≥a恒成立,则实数a的最大值为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
2.(2020吉林省实验中学高一期末,★★☆)设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+4b的最小值为 ( )
A.22 B.83 C.92 D.32
3.(2020湖南长沙实验中学高一期末,★★☆)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为 ( )
A.0 B.3 C.94 D.1
4.(2020广东佛山一中高一期末,★★☆)在△ABC中,E为AC上一点,AC=3AE,P为BE上任一点,若AP=m·AB+nAC(m>0,n>0),则3m+1n的最小值是 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
5.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二期末联考,★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+ca=cos B+cos C,bcsinA=8,则△ABC的周长的最小值为 ( )
A.3 B.3+32
C.4 D.4+42
6.(多选)(2020江苏南京师大附中高二期末,★★★)若a>0,b>0,则下面结论正确的有 ( )
A.若a≠1,b≠1,则logab+logba≥2
B.a2+b2a+b≥22
C.若1a+4b=2,则a+b≥92
D.若ab+b2=2,则a+3b≥4
二、填空题
7.(2020浙江丽水高一期末,★★☆)设正数a,b满足a2+4b2+1ab=4,则a= ,b= .
8.(2020辽宁辽南协作校联考高二期末,★★★)若a、b、c是正实数,且满足a+b≥c,则ba+ab+c的最小值为 .
9.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二期末联考,★★★)若各项均为正数的数列{an}满足an+2=an+1+an,且a5=5,则3a1+2a2的最小值为 .
三、解答题
10.(2019吉林松原扶余一中高一期末,★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A+sin2C-3sin Asin C=sin2B.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,求a+c的最大值.
11.(2020吉林洮南第一中学高二期末,★★☆)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)a+b≤2;
(2)1a+1b+1ab≥8.
12.(2020河南郑州高二期末,★★★)《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过,自2019年12月1日起施行.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革,是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源,当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究,把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨,最多为100吨.周加工处理成本y(元)与周加工处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y=13x2-30x+2 700,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.
(1)该企业每周加工处理量为多少吨时,才能使每吨产品的平均加工处理成本最低?
(2)该企业每周能否获利?如果获利,求出利润的最大值;如果不获利,则需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损?
专题强化练5 运用基本不等式求最值的常用技巧
时间40
一、选择题
1.(2020河北石家庄高二期末,★★☆)若正实数a,b,满足a+b=1,则b3a+3b的最小值为 ( )
A.2 B.26 C.5 D.43
2.(★★☆)设a>b>0,则a2+1ab+1a(a-b)的最小值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3. (2020安徽芜湖中学高一期末,★★☆)设M是△ABC内一点,且AB·AC=23,
∠BAC=30°,若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为12,x,y,则1x+4y的最小值为 ( )
A.8 B.9 C.16 D.18
4.(★★☆)已知实数a,b满足ab>0,则aa+b-aa+2b的最大值为 ( )
A.2-2 B.2+2
C.3-22 D.3+22
5.(★★☆)已知实数a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,则a+2b的最小值是 ( )
A.32 B.22
C.3 D.2
6.(★★☆)已知x>0,y>0,2x-1x=8y-y,则2x+y的最小值为 ( )
A.2 B.22
C.32 D.4
7.(2020广东化州高三第一次模拟,★★★)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+2y的值为 ( )
A.245 B.2
C.285 D.5
二、填空题
8.(2020北京石景山高二期中,★★☆)已知正数x,y满足x+2y=2,则x+8yxy的最小值为 .
9.(★★★)设x、y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值为 .
10.(★★★)设a>b>c>0,求2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2的最小值为 .
11.(★★★)若a,b∈R,且a2+2ab-3b2=1,则a2+b2的最小值为 .
三、解答题
12.(★★★)(1)设a>b>c,且1a-b+1b-c≥ma-c恒成立,求m的取值范围;
(2)记F=x+y-a(x+22xy)(x>0,y>0).若对任意的x>0,y>0,恒有F≥0,请求出a的取值范围.
13.(★★★)某厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-km+1(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.预计2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)设2020年该产品的利润为y万元,将y表示为m的函数;
(2)该厂家2020年的促销费用为多少万元时获得的利润最大?最大利润为多少?
3.4综合拔高练
五年高考练
考点1 利用基本不等式求最值
1.(2020天津,14,5分,★★☆)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为 .
2.(2020江苏,12,5分,★★☆)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 .
3.(2019天津,13,5分,★★☆)设x>0,y>0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .
考点2 利用基本不等式解决实际问题
4.(2017江苏,10,5分,★★☆)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
考点3 不等式的综合应用
5.(2017天津,8,5分,★★★)已知函数f(x)=x2-x+3,x≤1,x+2x,x>1.设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.-4716,2 B.-4716,3916
C.[-23,2] D.-23,3916
P129
三年模拟练
应用实践
1.(2020江西南昌高二期末,★★☆)正数a,b满足9a+b=ab,若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,6] D.[6,+∞)
2.(★★★)设x,y满足约束条件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为 ( )
A.256 B.56 C.625 D.65
3.(2020福建南平高一期末,★★★)已知x,y,z均为正数,则xy+3yzx2+y2+z2的最大值为 ( )
A.5 B.10 C.102 D.10
4.(多选)(2020山东高密高三二模,★★☆)设正项等差数列{an}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则 ( )
A.a2a9的最大值为10 B.a2+a9的最大值为210
C.1a22+1a92的最大值为15 D.a24+a94的最小值为200
5.(★★☆)函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中m>0,n>0,则2m+1n的最小值为 .
6.(2021江苏江阴要塞中学高二期中,★★☆)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在距离车站 千米处.
7.(2021江西南昌二中高二月考,★★☆)设函数f(x)=ax2+4x+b.
(1)当b=2时,若对于x∈[1,2],有f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;
(2)已知a>b,若f(x)≥0对于一切实数x恒成立,并且存在x0∈R,使得ax02+4x0+b=0成立,求a2+b2a-b的最小值.
迁移创新
8.(2021山西运城高三一模,★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知AB·AC=9,b=c·cos A,△ABC的面积为6,若P为线段AB上的点(点P不与点A,B重合),且CP=x·CA|CA|+y·CB|CB|,则1x+13y+2的最小值为 .
本章复习提升
易混易错练
易错点1 忽略不等式性质成立的条件和对不等式的性质理解不够深刻致错
1.(★★☆)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的范围是 ( )
A.[3,12] B.(3,12)
C.(5,10) D.[5,10]
2.(2020湖南长沙第一中学高一期末,★★☆)已知-π2≤α<β≤π2,求α+β2,α-β2的取值
范围.
3.(★★☆)已知6
易错点2 忽略二次项系数的符号致错
4.(★★☆)设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 ( )
A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n
易错点3 在分式不等式中忽略了“分母不等于0”致错
7.(2020山西太原第五中学高二期中,★★☆)不等式x+1(x-1)2≥0的解集为 ( )
A.{x|x≥-1} B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x≥-1且x≠1} D.{x|x≥1或x≤-1}
8.(★★☆)不等式3x-2x+3≥2的解集为 .
9.(★★☆)解不等式:axx+1≤0(a∈R).
易错点4 忽略基本不等式等号成立的一致性致错
10.(2020山东泰安高一期末,★★☆)已知正实数a,b满足a+4b=1,则1a+b的最小值为 ( )
A.4 B.6 C.9 D.10
11.(★★☆)已知m>0,n>0,则当81m2+n2+7298mn取得最小值时,m-n的值为 .
12.(★★☆)已知正实数a,b满足a+b=1,求a+1a2+b+1b2的最小值.
思想方法练
一、函数与方程思想在不等式中的应用
1.(2020广西玉林高二期末,★★☆)已知函数f(x)=x2+(4-k)x,若f(x)
A.-∞,72 B.72,+∞
C.-∞,143 D.143,+∞
2.(★★☆)已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为-13,12,则-cx2+2x-a>0的解集为 .
3.(2020北京朝阳高一期末,★★★)已知不等式1n+1+1n+2+1n+3+…+12n>112·log12(a-1)+23对于一切大于1的自然数n都成立,求实数a的取值范围.
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
4.(2020安徽滁州高一期末,★★☆)若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有3个整数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(4,5) B.(-3,-2)∪(4,5)
C.(4,5] D.[-3,-2)∪(4,5]
5.(2020四川自贡高一期中,★★☆)关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R,则实数a的取值范围是 .
6.(2020湖南长沙高一期末,★★☆)已知f(x)=(x-a)·(x-2).
(1)当a=1时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)解关于x的不等式f(x)<0.
三、数形结合思想在不等式问题中的应用
7.(2020山西运城高一期末,★★☆)若变量x,y满足约束条件x+y≥0,x-y≥0,3x+y-4≤0,则z=3x-2y的最大值是 ( )
A.10 B.0 C.5 D.6
8.(★★☆)当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是 .
9.(★★☆)已知关于x的方程x2-2x+a=0.当实数a为何值时,
(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1?
(2)方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内?
(3)方程的两个根都大于零?
四、转化与化归思想在不等式问题中的应用
10.(★★☆)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为 ( )
A.-235,+∞ B.-235,1
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)
11.(★★☆)如果不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.(1,3) B.(-∞,3)
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞)
12.(2020安徽黄山高一期末,★★★)已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),且f(x)≤0的解集为[-1,2].
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式mf(x)>2(x-m-1)(m≥0);
(3)设g(x)=2f(x)+3x-1,若对于任意的x1,x2∈[-2,1]都有|g(x1)-g(x2)|≤M,求M的最小值.
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式组x2-1<0,x2-3x<0的解集为 ( )
A.{x|-1
A.100 B.81 C.36 D.9
3.不等式14-5x-x2<0的解集为 ( )
A.{x|-72}
C.{x|x>2} D.{x|x<-7}
4.若a、b、c均为实数且满足2a>2b,则下列不等式中正确的是 ( )
A.ac2>bc2 B.1a<1b
C.a3>b3 D.ln a>ln b
5.已知a=2+6,b=4,c=3+5,则a、b、c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.b>c>a
6.已知变量x,y满足约束条件x≥1,x-y-2≤0,4x+y-8≤0,则z=3-2x+y的最小值是 ( )
A.181 B.127 C.19 D.9
7.下列命题为真命题的是 ( )
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b>c>0,则ca
A.1
A.3 B.2 C.-2 D.-3
10.已知函数f(x)=-x2-2x,x≥0,x2-2x,x<0,若f(a)-f(-a)≤2f(1),则a的取值范围是 ( )
A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-1,1] D.[-2,2]
11.设x>0,y>0,且不等式(ax+y)1x+1y≥9恒成立,则正实数a的取值范围是 ( )
A.a≥4 B.0
A.33 B.32 C.22 D.24
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.函数y=2x-x2lg(2x-1)的定义域是 .
14.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3,对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是 .
15.若x,y满足约束条件x-y≥0,2x+y-6≤0,x+y-2≥0,则z=3x+2y的最大值是 .
16.若b>a>1且3logab+6logba=11,则a3+2b-1的最小值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(1)已知x,y∈R,且x>y,比较x3-y3与xy2-x2y的大小;
(2)已知x,y,z为正实数,且xyz=1,证明:(x+y)(y+z)(z+x)≥8.
18.(本小题满分12分)解下列不等式(组):
(1)x(x+2)>0,x2<1;(2)6-2x≤x2-3x<18.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-(a+3)x+2a+b+1.
(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x<2或x>3},求a,b的值;
(2)若关于x的不等式f(x)
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2x.
(1)求f(1),f(2)的值;
(2)设a>b>1,试比较f(a),f(b)的大小,并说明理由;
(3)若不等式f(x-1)≥2(x-1)+2x-1+m对一切x恒成立,求实数m的最大值.
21.(本小题满分12分)某人有一幢楼房,室内面积共180 m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房间每间面积为15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1 000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,才能获得最大收益?
22.(本小题满分12分)在城市旧城改造中,某小区为了升级居住环境,拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示),按规划要求:在矩形内的四周安排2 m宽的绿化,绿化造价为200元/m2,中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材,硬化造价为100元/m2.设矩形的长为x(m).
(1)将总造价y(元)表示为矩形的长x(m)的函数,并求出定义域;
(2)当x取何值时,总造价y最低,并求出最低总造价.
全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|x2<1},B={x|x2+3x<0},则A∪B= ( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(-3,1) D.(-∞,1)
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a11>0且a11+a10<0,当SnSn+1<0时,n的值为 ( )
A.20 B.21 C.22 D.23
3.在锐角△ABC中,已知A=2C,则ac的取值范围是 ( )
A.(0,2) B.(2,2)
C.(2,3) D.(3,2)
4.已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO.它指的是在自然情况下(没有外力介入,同时所有人都没有免疫力),一个感染到某种传染病的人,会把疾病传染给多少人的平均数,它的简单计算公式:RO=1+确诊病例增长率×系列间隔,其中系列间隔是指在一个传播链中,两例连续病例的间隔时间(单位:天).根据统计,确诊病例的平均增长率为40%,两例连续病例的间隔时间的平均数为5天,根据以上RO数据计算,若甲得这种传染病,则6轮传播后由甲引起的得病的总人数为 ( )
A.243 B.248 C.363 D.1 092
5.若a,b,c,d为实数,则下列命题正确的是 ( )
A.若a
A.[-4,2] B.[-1,2]
C.[-1,+∞) D.[2,+∞)
7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin B+sin A(sin C-
cos C)=0,a=2,c=2,则C= ( )
A.π12 B.π6
C.π4 D.π3
8.已知{an}是等比数列,公比q=2,Sn为{an}的前n项和,记Tn=17Sn-S2nan+1(n∈N*),设Tn0为数列{Tn}的最大项,则n0= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.已知y=loga(2-ax)在(0,1)上是增函数,则不等式loga|x+1|>loga|x-3|的解集为 ( )
A.{x|x<-1} B.{x|x<1}
C.{x|x<1,且x≠-1} D.{x|x>1}
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,anan+1=22n-1,则S12S6= ( )
A.62 B.63 C.64 D.65
11.在△ABC中,若asin A+bsin B-csin C=0,则圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
12.已知数列{an}满足a1=1,an∈Z,且an+1-an-1<3n+12,an+2-an>3n+1-12(n≥2,且n∈N*),则a2 019= ( )
A.32021-38 B.32020-18
C.32019-18 D.32018-18
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.若对于x∈0,π2,不等式1sin2x+mcos2x≤4有解,则正实数m的取值范围为 .
14.如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于3a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为 .
15.已知数列{an}的前n项和为Sn,若2Sn=3an-2n(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .
16.已知△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是角A,B,C的对边.若A=2B,则ab+ba的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且b2+c2-a2=bc.已知 ,计算△ABC的面积.请在①a=7,②b=2,③sin C=2sin B这三个条件中任选两个,将问题补充完整,并作答.注意,只需选择其中的一种情况作答即可.
18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)设bn=Sn-3n,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)若an+1>an对任意n∈N*都成立,求实数a的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知点(x,y)是不等式组x+2y≤2n,x≥0,y≥0(n∈N*)表示的平面区域内的点,目标函数z=x+y,z的最大值记作zn.若数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线zn=x+y上.
(1)证明:数列{an-2}为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
20.(本小题满分12分)某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x.当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)满足:对定义域内任意x1≠x2,都有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0成立.
(1)若f(x)的定义域为[0,+∞),且有f(a2-1)>f(2a+2)成立,求a的取值范围;
(2)若f(x)的定义域为R,求关于x的不等式f(mx2+2mx)
22.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.
(1)证明数列{bn}是等比数列;
(2)数列{cn}满足cn=1log2bn+3(n∈N*),设Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1,若对一切n∈N*不等式4mTn>(n+2)cn恒成立,求实数m的取值范围.
答案全解全析
第三章 不等式
3.4 基本不等式:ab≤a+b2
基础过关练
1.B 因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x-2y>0,即x>2y,故选B.
2.C 当ba,ab均为正数时,ba+ab≥2,故只需a,b同号即可,∴①③④均可以.故选C.
3.D ①由于a,b是正实数,所以ba,ab是正实数,符合基本不等式的条件,故①的推导正确;
②虽然x,y是正实数,但当x∈(0,1),y∈(0,1)时,lg x和lg y都是负数,所以②的推导错误;
③a∈R,且a≠0,不符合基本不等式的条件,所以③的推导错误;
④由xy<0,得xy,yx均为负数,但在推导过程中将整体xy+yx提出负号后,-xy,-yx均变为正数,符合基本不等式的条件,故④推导正确.
4.B 对于A,当a=1时,a2+1=2a,则A错误;
对于B,当x>0时,x+1x=x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1时,等号成立;
当x<0,即-x>0时,x+1x=-x+1-x≥2-x·1-x=2,当且仅当x=-1时,等号成立,则B正确;
对于C,当a<0,b<0时,a+bab<0,故C错误;
对于D,当x=0时,x2+1x2+1=1,故D错误.故选B.
5.D 解法一:∵02ab,a+b>2ab,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2,故选D.
解法二:取a=12,b=13,则a2+b2=1336,2ab=63,2ab=13,a+b=56,显然56最大.故选D.
6.A 由于a>2,p=a+1a-2,于是可得p=a-2+1a-2+2≥2(a-2)·1a-2+2=4,当且仅当a-2=1a-2,即a=3时取等号.由于x∈R,∴x2-2≥-2,从而可得q=12x2-2≤12-2=4.综上可知,p≥4,q≤4,于是可以推出p≥q.
7.B 解法一:由题意知,p=f(ab)=lnab,q=fa+b2=lna+b2,
r=12(f(a)+f(b))=12(ln a+ln b)=12·ln ab=lnab.
又0ab>0.
因为函数f(x)=ln x为增函数,所以p=r
则p=f(2)=ln2,q=fa+b2=ln32,r=12(ln 1+ln 2)=ln2.
因为函数f(x)=ln x为增函数,2<32,
所以ln2
解析 由x,y为正数,得x+y≥2xy=12,当且仅当x=y=6时,等号成立.
9.答案 x≥y
解析 由题意得,x=a+d2=b+c2,y=bc.
∵b,c都是正数,
∴b+c2≥bc(当且仅当b=c时取“=”),
∴x≥y.
10.B ∵0
当且仅当nm=2mn,即n=2m时等号成立,所以1m+1n的最小值为3+22.故选A.
12.D 因为x>1,所以x-1>0,因此4x+1x-1=4x-4+1x-1+4≥2(4x-4)·1x-1+4=8,
当且仅当4x-4=1x-1,即x=32时,等号成立.故选D.
13.C ∵a>0,b>0,∴1a+1b≥2ab,
当且仅当a=b时取等号,
∴1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥4,
当且仅当2ab=2ab,即ab=1时取等号,∴当且仅当a=b=1时,1a+1b+2ab取最小值4.
14.B ∵m+n=2,∴(m+1)+(n+2)=5,
即m+15+n+25=1,
∴1m+1+1n+2=m+15+n+25m+1+m+15+n+25n+2
=25+n+25(m+1)+m+15(n+2)≥25+
2n+25(m+1)·m+15(n+2)=45,
当且仅当n+25(m+1)=m+15(n+2),即m=32,n=12时,取等号.故选B.
易错警示 利用基本不等式求最值要牢记三个关键词:一正、二定、三相等,即一正:各项必须为正;二定:各项之和或各项之积为定值;三相等:必须验证取等号时条件是否具备.对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项、凑项、凑系数等.
15.证明 ∵a>0,b>0,c>0,∴bca+acb≥2abc2ab=2c,acb+abc≥2a2bcbc=2a,
bca+abc≥2acb2ac=2b.又a,b,c不全相等,
故上述等号至少有一个不成立,∴bca+acb+abc>a+b+c.
16.证明 ∵a+b+c=1,且a>0,b>0,c>0,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b+c-a)(a+b+c-b)(a+b+c-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≥2bc·2ac·2ab=8abc,
∴(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
17.证明 ad+bcbd+bc+adac=ab+cd+ba+dc=ab+ba+cd+dc≥2+2=4,
当且仅当a=b且c=d时取“=”,所以ad+bcbd+bc+adac≥4.
方法总结 利用基本不等式证明不等式的一般思路:先观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基本不等式的形式;若题目中还有其他条件,则先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换.另外,解题时要时刻注意等号能否取到.
18.答案 3
解析 设此人应选第n层楼,此时不满意程度为y,由题意知y=n+8n(n>0),
∵n+8n≥2n·8n=42,当且仅当n=8n,即n=22时取等号,
但考虑到n∈N+,∴当n=2时,y=2+82=6,当n=3时,y=3+83=173,
故此人应选第3楼,此时不满意度最低.
19.信息提取 ①年固定成本为500万元;②若年产量不足80台,则y1=12x2+40x万元;③若年产量不小于80台,则y1=101x+8 100x-2 180万元;④每台设备售价为100万元.
数学建模 本题是以企业生产分配和利润为背景的实际问题,根据题意构建函数模型求解,由已知分年产量不足80台和年产量不小于80台两类建立年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;然后根据关系式的结构分别利用配方法和基本不等式求利润的最大值.
解析 (1)当0
所以y=-12x2+60x-500,0
所以当年产量为90台时,该企业所获利润最大,最大利润为1 500万元.
能力提升练
一、选择题
1.B 因为x,y是正实数,所以(x+y)·1x+1y=2+xy+yx≥4(当且仅当x=y时,等号成立),所以a≤4,故实数a的最大值为4.
2.C ∵3是3a与3b的等比中项,
∴3a·3b=32,即a+b=2.
∴1a+4b=12×1a+4b(a+b)=125+ba+4ab≥12×(5+24)=92,当且仅当ba=4ab,即a=23,b=43时取等号.
3.D ∵正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2,
∴xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤12xy·4yx-3=1,
当且仅当xy=4yx,即x=2y>0时取等号,此时z=2y2,
∴2x+1y-2z=22y+1y-22y2=-1y-12+1≤1,当且仅当y=1时取等号,
即2x+1y-2z的最大值是1.故选D.
4.D 由题意可知:AP=mAB+nAC=mAB+3n·AE,A,B,E三点共线,则m+3n=1,据此有3m+1n=3m+1n(m+3n)=6+9nm+mn≥6+29nm×mn=12,当且仅当9nm=mn,即m=12,n=16时等号成立.
综上可得:3m+1n的最小值是12.
5.D 因为b+ca=cos B+cos C,所以根据正弦定理可得sinB+sinCsinA=cos B+cos C,
所以sin(A+C)+sin(A+B)=sin Acos B+sin A·cos C,
所以cos Asin C+cos Asin B=0,即cos A·(sin C+sin B)=0.
又在△ABC中,sin C+sin B≠0,所以cos A=0,所以A=90°.
所以sin A=1,所以bc=8,所以a+b+c=b2+c2+b+c≥2bc+2bc=4+42,当且仅当b=c时取等号.所以△ABC的周长的最小值为4+42.故选D.
6.BCD 对于A,当01时,logab<0,logba<0,即logab+logba<0,故A错误;对于B,若a>0,b>0,由基本不等式得:a2+b2≥2ab,即有2(a2+b2)≥(a+b)2,即2(a2+b2)≥(a+b)2=a+b,故a2+b2a+b≥22,当且仅当a=b时取等号,故B正确;对于C,∵a>0,b>0,121a+4b=1,
所以a+b=12(a+b)1a+4b=12·
5+ba+4ab≥125+2ba·4ab=92,
当且仅当ba=4ab,即a=32,b=3时取等号,故C正确;
对于D,由a>0,b>0,ab+b2=(a+b)b=2,得2b(a+b)=4,
根据基本不等式,得a+3b=(a+b)+2b≥22b(a+b)=4,
当且仅当a+b=2b,即a=b=1时取等号,故D正确.
故选BCD.
二、填空题
7.答案 1;12
解析 因为a2+4b2+1ab=(a-2b)2+4ab+1ab≥(a-2b)2+24ab·1ab=(a-2b)2+4≥4,
当且仅当a-2b=0且2ab=1,即a=1,b=12时,a2+4b2+1ab=4,所以a=1,b=12.
8.答案 2-12
解析 ∵a,b,c是正实数,且满足a+b≥c,
∴a+2b≥b+c,
∴ba+ab+c≥ba+aa+2b=ba+11+2ba=12·2ba+1+11+2ba-12≥2-12,
当且仅当a+b=c,122ba+1=11+2ba时取等号.
9.答案 245
解析 ∵an+2=an+1+an,∴a3=a2+a1,a4=a3+a2=2a2+a1,又a5=5,
∴a5=a4+a3=3a2+2a1=5,∴3a25+2a15=1.
∵数列{an}的各项均为正数,
∴a1>0,a2>0,
∴3a1+2a2=3a1+2a23a25+2a15=9a25a1+4a15a2+125≥29a25a1·4a15a2+125=245,当且仅当3a2=2a1,且3a25+2a15=1,即a1=54,a2=56时取等号.故3a1+2a2的最小值为245.
三、解答题
10.解析 (1)由正弦定理得a2+c2-3ac=b2,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
∴cos B=32.又∵0°
化简,得(a+c)2-4=(3+2)ac.
∵(a+c)2-4=(3+2)ac≤(3+2)×(a+c)24,即(a+c)2≤16(2+3),
当且仅当a=c时取等号,∴(a+c)max=26+22.
11.证明 (1)因为a>0,b>0,a+b=1,
所以(a+b)2=a+b+2ab≤a+b+a+b=2(a+b)=2,
当且仅当a=b=12时,等号成立,
所以a+b≤2.
(2)因为a+b=1,a>0,b>0,
所以1a+1b+1ab=1a+1b+a+bab=
21a+1b=2a+ba+a+bb=2ba+ab+4
≥4ba×ab+4=8,当且仅当a=b=12时,等号成立,所以1a+1b+1ab≥8.
12.信息提取 ①每周的加工处理量最少为75吨,最多为100吨;②y=13x2-30x+2 700;③每加工处理1吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.
数学建模 本题是以垃圾分类处理为背景的实际问题,根据题意构建以函数为模型求解.由已知建立每吨产品的平均加工处理成本(实际问题)的函数关系式,然后利用基本不等式求其最小值.企业每周能否获利(实际问题)就是看每周获利是大于0还是小于0,可以利用函数的单调性判断(数学方法).
解析 (1)由题意可知,每吨产品的平均加工成本为yx=x3+2700x-30≥2x3·2700x-30=30,当且仅当x3=2700x,即x=90时,等号成立.故该企业每周加工处理量为90吨时,才能使每吨的平均加工成本最低.
(2)设该企业每周获利S元,则S=16x-y=-13x2+46x-2 700.当x∈[75,100]时,函数S=16x-y=-13x2+46x-2 700单调递减,所以当x=75时,函数取得最大值,Smax=-1 125.
所以该企业不获利,需要市政府每周至少补贴1 125元,才能不亏损.
专题强化练5 运用基本不等式
求最值的常用技巧
一、选择题
1.C 根据题意,若正实数a,b,满足a+b=1,
则b3a+3b=b3a+3a+3bb=b3a+3ab+3≥2×b3a×3ab+3=5,
当且仅当b3a=3ab,即a=14,b=34时等号成立,即b3a+3b的最小值为5.
2.D a2+1ab+1a(a-b)=a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=a(a-b)+ab+1ab+1a(a-b)≥2a(a-b)·1a(a-b)+2ab·1ab=4,当且仅当a(a-b)=1a(a-b)且ab=1ab,即a=2b=2时,等号成立.故选D.
3.D 由条件可得|AB|·|AC|=4,设△ABC的面积为S,则S=12|AB|·|AC|sin∠BAC=1,
∵S△MBC=12,∴x+y=12,又x,y>0,
∴1x+4y=2(x+y)·1x+4y=25+yx+4xy≥25+2yx·4xy=18,当且仅当x=16,y=13时,等号成立.故选D.
4.C 由题意得:aa+b-aa+2b=
(a2+2ab)-(a2+ab)(a+b)(a+2b)=aba2+3ab+2b2.
∵(a-2b)2≥0,∴a2-22ab+2b2≥0,
∴a2+2b2≥22ab,
∴a2+3ab+2b2≥3ab+22ab,
∴a2+3ab+2b2的最小值是3ab+22ab.
∵ab>0,∴当a2+3ab+2b2=3ab+22ab,
即a=2b时,aba2+3ab+2b2的值最大,
∴aba2+3ab+2b2≤ab3ab+22ab=13+22=3-22,
∴aa+b-aa+2b的最大值为3-22.故选C.
5.B ∵a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,
∴a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=[(a+1)+2(b+1)]·1a+1+1b+1-3=1+2+2(b+1)a+1+a+1b+1-3≥3+22-3=22,当且仅当2(b+1)a+1=a+1b+1,即a=2,b=22时取等号.故选B.
6.C 2x-1x=8y-y⇒2x+y=1x+8y,要求2x+y的最小值可以先求(2x+y)2的最小值,则(2x+y)2=(2x+y)(2x+y)=(2x+y)·1x+8y=2+16xy+yx+8=10+16xy+yx≥
216xy·yx+10=18当且仅当16xy=yx,
即y=4x时取等号 ,故2x+y≥18=32.
7. B ∵x+3y=5xy,x>0,y>0,
∴15y+35x=1,
∴3x+4y=(3x+4y)15y+35x=135+3x5y+12y5x≥135+23x5y×12y5x=5,
当且仅当3x5y=12y5x,即x=1,y=12时取等号,
∴x+2y=1+2×12=2.故选B.
二、填空题
8.答案 9
解析 因为x、y为正数,且x+2y=2,所以x+8yxy=1y+8x·x2+y=x2y+8yx+5≥2x2y·8yx+5=9,当且仅当x=4y=43时,等号成立,所以x+8yxy的最小值为9.
9.答案 2105
解析 ∵4x2+y2+xy=1,∴4x2+y2+4xy-3xy=1,∴(2x+y)2-1=3xy=32·2x·y≤32·2x+y22,
∴(2x+y)2-1≤38(2x+y)2,即(2x+y)2≤85,即-2105≤2x+y≤2105,
当且仅当2x=y时取等号,∴2x+y的最大值为2105.
10.答案 4
解析 原式=1ab+ab+1a(a-b)+a(a-b)-ab-a(a-b)+2a2-10ac+25c2
=1ab+ab+1a(a-b)+a(a-b)+a2-10ac+25c2
=1ab+ab+1a(a-b)+a(a-b)+(a-5c)2
≥21ab·ab+21a(a-b)·a(a-b)+0=4,
当且仅当ab=1,a(a-b)=1,a=5c,即a=2,b=22,c=25时,等号成立.
11.答案 5+14
解析 由a2+2ab-3b2=1,得(a+3b)(a-b)=1,
令x=a+3b,y=a-b,则xy=1,且a=x+3y4,b=x-y4,
所以a2+b2=x+3y42+x-y42=x2+5y2+28≥25x2y2+28=5+14,
当且仅当x2=5,y2=55时取等号.
三、解答题
12.解析 (1)由a>b>c,知a-b>0,a-c>0.
所以原不等式等价于a-ca-b+a-cb-c≥m.
要使原不等式恒成立,只需a-ca-b+a-cb-c的最小值不小于m即可.
因为a-ca-b+a-cb-c=(a-b)+(b-c)a-b+(a-b)+(b-c)b-c=2+b-ca-b+a-bb-c≥2+2b-ca-b·a-bb-c=4.
当且仅当b-ca-b=a-bb-c,即2b=a+c时,等号成立,所以m≤4,
(2)由F≥0,得x+y≥a(x+22xy).
因为x>0,y>0,所以a≤x+yx+22xy恒成立,
所以a≤x+yx+22xy的最小值.
因为x+yx+22xy≥x+yx+(x+2y)=12,当且仅当x=2y时,等号成立.
所以a≤12.
13.信息提取 ①x=3-km+1(k为常数);②固定投入为8万元;③每生产1万件该产品需要再投入16万元;④销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍.
数学建模 本题是以促销活动与销售量的关系为背景的实际问题,可构建函数模型求解.年销售量x与年促销费用m之间的关系为x=3-km+1(k为常数),成本包含固定投入和再投入,销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍,这样就可以建立利润为y与促销费用m之间的函数关系,再利用基本不等式求利润的最大值.
解析 (1)由题意,知当m=0时,x=1,
∴1=3-k,即k=2,∴x=3-2m+1.
又每件产品的销售价格为1.5×8+16xx元,
∴y=x1.5×8+16xx-(8+16x+m)=4+8x-m=4+83-2m+1-m=28-16m+1-m(m≥0).
(2)y=28-16m+1-m=29-m+1+16m+1,
∵m≥0,∴m+1+16m+1≥216=8,
当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,等号成立,
∴y≤29-8=21,即当m=3时,ymax=21.
∴该厂家2020年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大,最大利润为21万元.
3.4综合拔高练
五年高考练
1.答案 4
解析 12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4,
当且仅当a+b2=8a+b,即(a+b)2=16,也即a+b=4时取等号.
又∵ab=1,∴a=2+3,b=2-3或a=2-3,b=2+3时取等号,
∴12a+12b+8a+b的最小值为4.
2.答案 45
解析 由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=1-y45y2,∴x2+y2=1-y45y2+y2=1+4y45y2=15y2+4y25≥2425=45,当且仅当15y2=4y25,即y2=12,x2=310时取“=”.故x2+y2的最小值为45.
3.答案 43
解析 ∵x+2y=5,x>0,y>0,
∴(x+1)(2y+1)xy=x+2y+2xy+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy≥22xy·6xy=43,当且仅当x+2y=5,2xy=6xy,即x=3,y=1或x=2,y=32时,原式取得最小值43.
4.答案 30
解析 设总费用为y万元,则y=600x×6+4x=4x+900x≥4×2x·900x=240,
当且仅当x=900x,即x=30时,等号成立.
5.A ①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立等价于-x2+x-3≤x2+a≤x2-x+3在R上恒成立,即有-x2+12x-3≤a≤x2-32x+3在R上恒成立.由y=-x2+12x-3图象的对称轴为直线x=1414<1,可得在x=14处取得最大值-4716;由y=x2-32x+3图象的对称轴为直线x=3434<1,可得在x=34处取得最小值3916,则-4716≤a≤3916;
②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立等价于-x+2x≤x2+a≤x+2x在R上恒成立,即有-32x+2x≤a≤x2+2x在R上恒成立.因为x>1,所以-32x+2x≤-2·3x2·2x=-23,当且仅当x=23时取得等号.因为x>1,所以12x+2x≥2·12x·2x=2,当且仅当x=2时取得等号,则-23≤a≤2.
由①②可得-4716≤a≤2,故选A.
三年模拟练
1.A ∵9a+b=ab,∴1a+9b=1,且a,b为正数,
∴a+b=(a+b)1a+9b=10+ba+9ab≥10+2ba·9ab=16,
当且仅当ba=9ab,即a=4,b=12时,(a+b)min=16,
若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,
则16≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立,
∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,∴m≥3,
故选A.
2.A 画出可行域如图所示.
由3x-y-6=0,x-y+2=0,解得x=4,y=6,∴A(4,6),则目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在A(4,6)处取得最大值12,所以2a+3b=6,
从而有2a+3b=162a+3b(2a+3b)=166ba+4+9+6ab=136+166ba+6ab=136+ba+ab≥136+2ba·ab=256.
当且仅当a=b=65时取等号,所以2a+3b的最小值为256.
3.C ∵x2+110y2+910y2+z2≥2110xy+2910yz=2110(xy+3yz)当且仅当x=110y且z=910y时取等号,∴xy+3yzx2+y2+z2=xy+3yzx2+110y2+910y2+z2≤102当且仅当y=10x且y=103z时取等号,因此xy+3yzx2+y2+z2的最大值为102.
4.ABD 因为正项等差数列{an}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,
所以(a2+a9)2=2a2a9+20,即a22+a92=20.
a2a9≤a22+a922=202=10,当且仅当a2=a9=10时成立,故A正确;
由于a2+a922≤a22+a922=10,所以a2+a92≤10,所以a2+a9≤210,当且仅当a2=a9=10时等号成立,故B正确;
1a22+1a92=a22+a92a22·a92=20a22·a92≥20a22+a9222=20102=15,当且仅当a2=a9=10时等号成立,
所以1a22+1a92的最小值为15,故C错误;
结合A选项的结论,有a24+a94=(a22+a92)2-2a22·a92=400-2a22·a92≥400-2×102=200,
当且仅当a2=a9=10时等号成立,故D正确.故选ABD.
5.答案 92
解析 由题意,知点A(-2,-1),∵点A在直线mx+ny+2=0上,∴-2m-n+2=0,∴2m+n=2,
∴2m+1n=2m+nm+2m+n2n=nm+mn+2+12≥4+12=92,当且仅当m=n=23时等号成立.
6.答案 5
解析 设仓库与车站的距离为x,
由题意可设y1=k1x(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),把x=10,y1=2与x=10,y2=8分别代入y1=k1x,y2=k2x得k1=20,k2=0.8,
∴y1=20x,y2=0.8x,
∴这两项费用之和为y1+y2=20x+0.8x≥2·20x×0.8x=8,
当且仅当0.8x=20x,即x=5时等号成立,故要使这两项费用之和最小,仓库应建在距离车站5千米处.
7.解析 (1)根据题意知,对于x∈[1,2],有f(x)=ax2+4x+2≥0恒成立,
即a≥-4x-2x2=-2x2-4x恒成立.
设t=1x,t∈12,1,所以g(t)=-2t2-4t=-2(t+1)2+2.
∵函数g(t)在区间12,1上是减函数,
∴g(t)max=g12=-52.∴a≥-52.
(2)由f(x)≥0对于一切实数x恒成立,可得a>0,Δ≤0,
由存在x0∈R,使得ax02+4x0+b=0成立可得Δ≥0,∴Δ=16-4ab=0,∴ab=4.∵a>b,则a-b>0,∴a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)2+8a-b=a-b+8a-b≥2(a-b)·8a-b=42,当且仅当a-b=22时等号成立,故a2+b2a-b的最小值为42.
8.答案 914
解析 因为AB·AC=9,所以bccos A=9,因为△ABC的面积为6,所以bcsin A=12,
所以tan A=43,所以sin A=45,cos A=35,bc=15,
由于b=c·cos A,所以b=35c,所以c=5,b=3,
所以由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=25+9-2×5×3×35=16,即a=4(舍负),
所以CP=x·CA|CA|+y·CB|CB|=x3·CA+y4·CB.
因为P为线段AB上的点(点P不与点A,B重合),
所以x3+y4=1,根据题意,得x>0,y>0,
所以x3+3y+212=76,
所以1x+13y+2x3+3y+212=13+3y+212x+x3(3y+2)+112=512+3y+212x+x3(3y+2)≥2·3y+212x·x3(3y+2)+512=13+512=34,
当且仅当3y+212x=x3(3y+2),即3y+2=2x时等号成立,
所以1x+13y+2≥3476=914.
本章复习提升
易混易错练
1.D 由题意得f(-1)=a-b,f(1)=a+b,
∴a=12[f(1)+f(-1)],b=12[f(1)-f(-1)],
∴f(-2)=4a-2b=2[f(1)+f(-1)]-[f(1)-f(-1)]=3f(-1)+f(1).
∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤f(-2)≤10,故选D.
2.解析 因为-π2≤α<β≤π2,
所以-π4≤α2<π4,①
-π4<β2≤π4,②
-π4≤-β2<π4,③
所以①+②,得-π2<α+β2<π2,
①+③,得-π2≤α-β2<π2,
又因为α<β,所以α-β<0.
所以-π2≤α-β2<0.
3.解析 因为3
4.B 首先将原不等式化为(x-m)(x+n)<0.
由m+n>0知m>-n,
所以原不等式的解集为{x|-n
5.答案 -3;-3
解析 由题可知1,m是方程ax2-6x+a2=0的两个根,且a<0,
∴1+m=6a,1×m=a,解得a=-3,m=-3或a=2,m=2(舍去).
6.解析 原不等式可化为(ax-3)(x-2)>0.
当a=0时,(ax-3)(x-2)>0可化为x<2;
当a>0时,(ax-3)(x-2)>0可化为x-3a(x-2)>0,
①当3a>2,即00的解集为x>3a或x<2;
②当3a=2,即a=32时,x-3a(x-2)>0的解集为x≠2;
③当3a<2,即a>32时,x-3a(x-2)>0的解集为x>2或x<3a.
④当a<0时,x-3a(x-2)<0的解集为3a
当a=0时,原不等式的解集为(-∞,2);
当0
当a>32时,原不等式的解集为-∞,3a∪(2,+∞).
易错警示 在利用三个二次之间的关系得出一元二次不等式的解集是在二次项系数a>0的前提下得出的,因此在解一元二次不等式时首先要把二次项系数化为正数再求解,当二次项系数含参数时一定要对二次项系数的符号进行分类讨论,否则易错.
7.C 因为(x-1)2≥0,
所以原不等式等价于x+1≥0,x-1≠0,
即x≥-1且x≠1.故选C.
8.答案 {x|x<-3或x≥8}
解析 原不等式可化为3x-2x+3-2≥0,即x-8x+3≥0,即(x-8)(x+3)≥0且x+3≠0,
故原不等式的解集为{x|x<-3或x≥8}.
9.解析 axx+1≤0⇔ax(x+1)≤0,且x+1≠0.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≤0且x+1≠0⇔-1
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≥0且x+1≠0⇔x<-1或x≥0,
∴解集为{x|x<-1或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1
∴1a+b=a+4b1a+b=5+ab+4ab≥5+2ab·4ab=9,当且仅当ab=4ab,a+4b=1,即a=13,b=6时取“=”.
11.答案 -4
解析 依题意,81m2+n2+7298mn≥18mn+7298mn≥81,当且仅当9m=n,18mn=7298mn,
即9m=n,mn=94,即m=12,n=92时,等号成立,此时m-n=-4.
12.解析 由题得,a+1a2+b+1b2=a2+b2+1a2+1b2+4=(a2+b2)1+1a2b2+4=[(a+b)2-2ab]1+1a2b2+4=(1-2ab)·1+1a2b2+4,
又由a+b=1,得ab≤a+b22=14当且仅当a=b=12时,等号成立,
所以1-2ab≥1-12=12,且1a2b2≥16,
所以a+1a2+b+1b2≥12×(1+16)+4=252,
所以a+1a2+b+1b2的最小值为252.
易错警示 连续多次应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时的条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行适当的拆分或合并,直到取等号的条件成立,不能只因为有定值就为最值.
思想方法练
1.D 由f(x)
(构造函数g(x),利用端点值的符号求k的
取值范围,运用了函数的思想方法)
2.答案 {x|-2
由根与系数的关系,得-13×12=ca,-13+12=-2a,
解得a=-12,c=2,所以-cx2+2x-a>0,
即x2-x-6<0,解得-20的解集为{x|-2
则f(n+1)=1n+2+…+12n+12n+1+12n+2.
∵f(n+1)-f(n)=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2=1(2n+1)(2n+2)>0,
∴f(n+1)>f(n),
又∵n≥2,∴f(n)的最小值为f(2)=712.
由题意知,712>112log12(a-1)+23,
∴log12(a-1)<-1,∴a-1>2,∴a>3.
∴实数a的取值范围是(3,+∞).
4.D 由题意,不等式x2-(a+1)x+a<0,可化为(x-a)(x-1)<0,
当a>1时,不等式x2-(a+1)x+a<0的解集为(1,a),
要使得不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有3个整数,则4
要使得不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有3个整数,则-3≤a<-2.
(根据a与1的大小关系分类讨论求解,运
用了分类讨论的思想方法)
综上可得,实数a的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].故选D.
5.答案 -35,1
解析 若a2-1=0,
当a=1时,原不等式为-1≤0,恒成立,符合题意;
当a=-1时,原不等式为2x-1≤0,则x∈-∞,12,不符合题意;
若a2-1≠0,即a≠±1时,a2-1<0,Δ=(a-1)2+4(a2-1)≤0,解得-35≤a<1,
(由于二次项系数含参数a,对a2-1进行分
类讨论,运用了分类讨论的思想方法)
综上所述,a∈-35,1.
6.解析 (1)当a=1时,不等式f(x)>0化为(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,
∴不等式的解集为(-∞,1)∪(2,+∞).
(2)关于x的不等式f(x)<0,即(x-a)(x-2)<0.
当a=2时,不等式可化为(x-2)2<0,无解;
当a>2时,解不等式(x-a)(x-2)<0,得2
论,解不等式,利用了分类讨论的思想方法)
综上所述,当a=2时,不等式无解;当a>2时,不等式的解集为(2,a);当a<2时,不等式的解集为(a,2).
7.A 作出不等式组表示的可行域如图所示:
联立x+y=0,3x+y-4=0,解得x=2,y=-2,∴A(2,-2).
由z=3x-2y,得y=32x-z2,
由图可知,当直线y=32x-z2过A(2,-2)时,z取得最大值,此时.zmax=6+4=10.故选A.
(作出可行域(图形),从图形上找到使3x-2y取的最大值的点,利用了数形结合的思想方法)
8.答案 a|a>-235
解析 由题知Δ=a2+8>0,且-2<0,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两个根.设y=x2+ax-2,作出函数的大致图象如图所示.
由图象知,不等式x2+ax-2>0在1≤x≤5范围内有解的充要条件是当x=5时,y>0,即25+5a-2>0,解得a>-235.
9.解析 (1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知(图略),当x=1时的函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.
因此a的取值范围是{a|a<1}.
(2)由方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知(图略),x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,
即1+2+a>0,1-2+a<0,4-4+a<0,9-6+a>0,解得-3
11.A 因为4x2+6x+3=2x+322+34>0对一切x∈R恒成立,所以原不等式等价于2x2+2mx+m<4x2+6x+3⇔2x2+(6-2m)x+3-m>0对一切实数x恒成立⇔Δ=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得1
所以-b=1,c=-2,即b=-1,c=-2,
所以f(x)=x2-x-2.
(2)∵mf(x)>2(x-m-1),∴m(x2-x-2)>2(x-m-1),整理得(mx-2)(x-1)>0,
所以当m=0时,不等式的解集为(-∞,1);
当0
当m>2时,不等式的解集为-∞,2m∪(1,+∞).
(把mf(x)>2(x-m-1)转化为(mx-2)(x-
1)>0,然后分别对m=0,0
2进行讨论,运用了转化与化归及分类讨
论的思想方法)
(3)因为x∈[-2,1]时f(x)+3x-1=x2+2x-3,根据二次函数的图象性质,有f(x)+3x-1=x2+2x-3∈[-4,0],
则有g(x)=2f(x)+3x-1=2x2+2x-3,
所以g(x)∈116,1.
因为对于任意的x1,x2∈[-2,1]都有|g(x1)-g(x2)|≤M,
即求|g(x1)-g(x2)|max≤M,转化为|g(x)max-g(x)min|≤M,
而g(x)max=g(1)=1,g(x)min=g(-1)=116,所以M≥1516,
故M的最小值为1516.
转化与化归的思想方法就是在研究和解决
有关数学问题时采用某种手段将问题通过
变换使之转化进而得到解决的一种方法,
一般总是将复杂的问题通过变换转化为简
单的问题,将难解的问题通过变换转化为
容易求解的问题,将未解决的问题通过变
换转化为已解决的问题.如把解分式不等
式的问题转化为整式不等式求解,在不等
式的恒成立问题和存在性问题中通过变换
转化最值问题求解等都用了转化与化归的
思想方法.
本章达标检测
一、选择题
1.C 由x2-1<0,x2-3x<0,得-1
又1a+9b=1,∴61ab≤1,
∴ab≥36,∴ab的最小值为36.故选C.
3.B 原不等式等价于x2+5x-14>0,即(x+7)·(x-2)>0,解得x<-7或x>2,故选B.
4.C 因为2a>2b,所以a>b,若c=0,则ac2=bc2=0,故A错误;
若a是正数,b是负数,则1a>1b,故B错误;因为a>b,所以a3>b3,
故C正确;
因为a、b为实数,所以a、b可能为负数,故D错误,故选C.
5.D 因为a2=(2+6)2=8+212,c2=(3+5)2=8+215,
所以c2>a2,所以c>a.因为b2-c2=16-(8+215)=8-215>0,
所以b2>c2,所以b>c,所以b>c>a,故选D.
6.A 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,则A(1,-1),B(2,0),C(1,4),令t=-2x+y,当直线t=y-2x过点B时t有最小值,为-4,此时z=3-2x+y有最小值,为181,故选A.
7.B 对于A.当c=0时,ac2=bc2,故A是假命题;
对于B,因为a>b>0,所以1a<1b,又c>0,所以caab>b2,
故C是假命题;
对于D,如a=-2,b=-1,∴1a>1b,故D是假命题.故选B.
8.C 不等式(a+1)x2-(a+1)x-1<0对一切实数x恒成立,
当a+1=0,即a=-1时,-1<0恒成立;
当a+1≠0,即a≠-1时,则a+1<0,Δ=(a+1)2+4(a+1)<0,解得-5
可知方程x2+ax+b=0的两根分别为-1和2,由根与系数关系可知:-1+2=-a,-1×2=b,所以a=-1,b=-2,所以ab=2,故选B.
10.A 由题意,得f(1)=-1-2=-3,
当a=0时,f(0)-f(0)≤2f(1)=-6,不成立;
当a>0时,-a2-2a-(-a)2+2(-a)≤-6,即a2+2a-3≥0,解得a≤-3或a≥1,所以a≥1;
当a<0时,a2-2a-[-(-a)2-2(-a)]≤-6,即a2-2a+3≤0,无解.
综上所述,a≥1,所以a的取值范围是[1,+∞),故选A.
11.A ∵x>0,y>0,a>0,
∴(ax+y)1x+1y=a+1+yx+axy≥a+1+2yx×axy=(a+1)2当且仅当yx=
axy时取等号,
∵(ax+y)1x+1y≥9恒成立,∴(a+1)2≥9,解得a≥4,故选A.
12.A △ABC中,∵sin A>0,sin B>0,∴sinBsinA=2cos(A+B)=-2cos C>0,即cos C<0,
∴C为钝角,sin B=-2sin Acos C.
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
∴sin Acos C+cos Asin C=-2sin Acos C,
即cos Asin C=-3sin Acos C,
∴tan C=-3tan A,
∴tan B=-tan(A+C)=-tanA+tanC1-tanAtanC=--2tanA1+3tan2A=21tanA+3tanA≤223=33,
当且仅当1tanA=3tan A,即tan A=33时取等号,
∴tan B的最大值为33,故选A.
二、填空题
13.答案 12,1∪(1,2]
解析 因为y=2x-x2lg(2x-1),所以2x-x2≥0,2x-1>0,2x-1≠1,解得12
14.答案 1≤m<19
解析 ①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.
若m=-5,则函数化为y=24x+3,对任意实数x,函数值不可能恒大于0,舍去;
若m=1,则y=3>0恒成立.故m=1.
②当m2+4m-5≠0时,根据题意应有,
m2+4m-5>0,16(1-m)2-12(m2+4m-5)<0,
∴m<-5或m>1,1
15.答案 10
解析 根据约束条件画出可行域如图所示:
由z=3x+2y,得y=-32x+z2,
作目标函数z=3x+2y的一系列平行线,可知直线y=-32x+z2过点A时z最大.
由x-y=0,2x+y-6=0,解得x=2,y=2,∴A(2,2),故z=3x+2y的最大值为z=3×2+2×2=10.
16.答案 22+1
解析 因为b>a>1,所以logab>1.
因为3logab+6logba=11,
所以3logab+6logab=11,解得logab=3或logab=23(舍),即b=a3,
因此a3+2b-1=b+2b-1=b-1+2b-1+1≥2(b-1)·2b-1+1=22+1,
当且仅当b-1=2b-1,即b=2+1时取等号.
三、解答题
17.解析 (1)x3-y3-xy2+x2y=(x3-y3)-(xy2-x2y)
=(x-y)(x2+y2+xy)-xy(y-x)=(x-y)(x2+y2+2xy)=(x-y)(x+y)2. (2分)
因为x>y,所以(x-y)(x+y)2>0,所以x3-y3>xy2-x2y. (5分)
(2)证明:因为x,y,z为正实数,xyz=1,所以x+y≥2xy,y+z≥2yz,x+z≥2xz, (8分)
当且仅当x=y=z=1时取等号. (9分)
所以(x+y)(y+z)(z+x)≥8xy·yz·xz=8xyz=8. (10分)
18.解析 (1)解不等式组x(x+2)>0,x2<1,得x<-2或x>0,-1
即x2-x-6≥0,x2-3x-18<0, (6分)
即(x-3)(x+2)≥0,(x-6)(x+3)<0,
所以x≤-2或x≥3,-3
由根与系数关系可得x1+x2=5=a+3,x1x2=6=2a+b+1,解得a=2,b=1. (5分)
(2)不等式f(x)
当a+1=2,即a=1时,不等式的解集为空集,与题意不符.
综上:-1≤a<0或2
(2)f(a)>f(b),理由如下:
f(a)-f(b)=a2+2a-b2+2b=(a-b)·a+b-2ab. (4分)
因为a>b>1,则a-b>0,a+b>2,ab>1,所以2ab<2,即a+b-2ab>0,
所以(a-b)a+b-2ab>0,所以f(a)>f(b). (6分)
(3)因为函数f(x)=x2+2x,则原不等式可化为(x-1)2+2x-1≥2(x-1)+2x-1+m, (9分)
化简,得x2-4x+3-m≥0对一切x恒成立,所以Δ=42-4×(3-m)≤0,解得m≤-1,
所以m的取值范围为(-∞,-1],所以实数m的最大值为-1. (12分)
21.信息提取 ①室内面积共180 m2;②大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;③小房间每间面积为15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;④装修大房间每间需1 000元,装修小房间每间需600元.
数学建模 本题是以物资分配为背景的实际问题,属于线性规划问题,可构建线性规划模型,如果设他应隔出大房间x间,小房间y间,能获得收益为z元(实际问题),那么根据已知列出x,y所满足的条件形成线性约束条件,目标函数为z=200x+150y,画出可行域,利用图形求z的最大值(为图中阴影部分中的整点).
解析 设他应隔出大房间x间,小房间y间,能获得收益为z元, (1分)
由题意可知18x+15y≤180,1000x+600y≤8000,x,y∈N,
即6x+5y≤60,5x+3y≤40,x,y∈N,(3分)
目标函数为z=200x+150y,画出可行域,为图中阴影部分中的整点.
作直线4x+3y=0,平移到经过B点时,z取得最大值,但B207,607并非整点,还需要在可行域内找出使目标函数z取得最大值的整点. (8分)
由于B207,607,利用网格,可在B附近找到A(2,9),C(2,8),D(3,8)这几个整点.经计算,当直线过点D时,z=200×3+150×8=1 800,最大,又当直线过点(0,12)时,z=150×12=1 800,
所以他应隔出大房间0间、小房间12间或大房间3间、小房间8间,可以获得最大收益. (12分)
22.信息提取 ①规划一个面积为200 m2的矩形区域;②四周安排2 m宽的绿化,绿化造价为200元/m2;③硬化造价为100元/m2.
数学建模 本题是以国家提倡的旧城改造为背景的实际问题,可构建以函数模型求解,要求总造价y(元)的最小值(实际问题),就需要建立y与x的函数关系式,由矩形的长为x(m)可得宽以及中间区域的长与宽,结合各部分的单价与面积可得:y=18 400+400x+200x,x∈(4,50),最后利用基本不等式求最值即可(数学方法).
解析 (1)由矩形的长为x(m),则矩形的宽为200x(m), (2分)
则中间区域的长为(x-4)m,宽为200x-4m,则定义域为x∈(4,50),
则y=100×(x-4)200x-4+200×200-(x-4)200x-4, (5分)
整理得y=18 400+400x+200x,x∈(4,50). (6分)
(2)∵4
一、选择题
1.C A={x|-1
S20=20(a1+a20)2=10(a10+a11)<0,
所以n=20.
3.C 在△ABC中,由正弦定理,有ac=sinAsinC=sin2CsinC=2cos C,又A+B+C=π,A=2C,△ABC为锐角三角形,∴π6
信息提取 ①RO=1+确诊病例增长率×系列间隔;②平均增长率为40%;③平均数为5天.
数学建模 本题是以病毒传播为背景的数列实际问题,可以构建数列模型解决该问题.解题关键是理解新概念“传播指数”,传播指数就是等比数列的公比,从第1轮开始每轮传播的人数为数列的项,问题就是求等比数列的前6项和.可知每轮传播人数是等比数列,先求传播指数RO,即可由等比数列前6项和得出.
解析 记第1轮感染人数为a1,第2轮感染人数为a2,……,第n轮感染人数为an,则数列{an}是等比数列,公比为q=RO,由题意,知RO=1+40%×5=3,即q=3,所以a1=3,
总人数为S6=3(1-36)1-3=1 092人.故选D.
5.B 对于A,当c=0时,不符合题意,故A错误;对于B,由于ac2
∴A(0,1),由图可知,当直线y=2x-z平移至点A(0,1)时,z=2x-y取得最小值,zmin=2×0-1=-1,根据可行域可知,无最大值,所以2x-y的范围是[-1,+∞).故选C.
7.B sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,∵sin B+sin A(sin C-cos C)=0,
∴sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0.
∵sin C≠0,∴cos A=-sin A,∴tan A=-1,
∴π2
∵a>c,∴C=π6,故选B.
8.A 由题易得Sn=a1(1-2n)1-2=a1(2n-1),S2n=a1(1-22n)1-2=a1(22n-1),an+1=a1·2n,
∴Tn=17Sn-S2nan+1=17a1(2n-1)-a1(22n-1)a1·2n=17-2n+162n≤17-22n·162n=17-8=9,
当且仅当2n=162n,即n=2时取等号,∴数列{Tn}的最大项为T2,则n0=2,故选A.
9.C 因为a>0,且a≠1,所以y=2-ax为减函数.
又因为y=loga(2-ax)在(0,1)上是增函数,
所以0
由|x+1|<|x-3|,得(x+1)2<(x-3)2,即x2+2x+1
所以解集为{x|x<1,且x≠-1}.
10.D 由a2n+2a2n=a2n+1a2n+2a2na2n+1=24n+124n-1=4,a2n+1a2n-1=a2na2n+1a2n-1a2n=24n-124n-3=4,可知数列{an}的奇数项是以1为首项,4为公比的等比数列;偶数项是以2为首项,4为公比的等比数列,所以S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1(1-43)1-4+a2(1-43)1-4=63,
S12=a1(1-46)1-4+a2(1-46)1-4=1 365+2×1 365=4 095,所以S12S6=409563=65.故选D.
11. A 因为asin A+bsin B-csin C=0,所以a2+b2-c2=0,所以圆心O(0,0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=|c|a2+b2=1,所以圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0相切,
故选A.
12.B ∵an+1-an-1<3n+12(n≥2,且n∈N*),∴an+2-an<3n+1+12,
又∵an+2-an>3n+1-12,
∴3n+1-12
于是得到a3-a1=32,a5-a3=34,……,a2 019-a2 017=32 018,
上述所有等式全部相加得a2 019-a1=32+34+…+32 018=32(1-91009)1-9=32020-98,
因此,a2 019=a1+32020-98=32020-18.
二、填空题
13.答案 (0,1]
解析 ∵sin2x+cos2x=1,m>0,
∴1sin2x+mcos2x(sin2x+cos2x)=1+m+cos2xsin2x+msin2xcos2x≥1+m+2cos2xsin2x×msin2xcos2x=1+m+2m,当且仅当cos2xsin2x=msin2xcos2x时,等号成立,
若不等式1sin2x+mcos2x≤4有解,则1+m+2m≤4⇒(m-1)(m+3)≤0⇒m∈(0,1].
14.答案 3a km
解析 由题意知,∠ACB=120°,
∴由余弦定理得AB2=3a2+3a2-23a×3a×cos 120°=9a2,
∴AB=3a km.
15.答案 an=3n-1
解析 令n=1,得2a1=3a1-2,解得a1=2,当n≥2时,由2Sn=3an-2n(n∈N*)①,
得2Sn-1=3an-1-2(n-1)②,①-②,得2an=3an-3an-1-2,即an=3an-1+2,
整理,得an+1an-1+1=3,所以数列{an+1}是首项为a1+1=3,公比为3的等比数列,
所以an+1=3n,所以an=3n-1.
16.答案 322,433
解析 ∵A=2B,A+B+C=π,∴C=π-3B.
∵△ABC是锐角三角形,
∴0<2B<π2,0<π-3B<π2,解得π6
∴g(t)∈322,433,即ab+ba的取值范围是322,433.
三、解答题
17.解析 因为b2+c2-a2=bc,所以b2+c2-a22bc=12,所以cos A=12. (2分)
因为A∈(0,π),所以A=π3. (5分)
若选择①a=7,②b=2.
由a2=b2+c2-2bccos A,得7=4+c2-2c,
即c2-2c-3=0,解得c=3(负值舍去),
所以S△ABC=12bcsin A=12×2×3×32=332. (10分)
若选择①a=7,③sin C=2sin B.
由sin C=2sin B以及正弦定理可得c=2b,
由a2=b2+c2-2bccos A,所以7=b2+4b2-2b2,所以b2=73,
所以S△ABC=12bcsin A=12b·2b·32=32×73=736. (10分)
若选择②b=2,③sin C=2sin B.
由sin C=2sin B以及正弦定理可得c=2b,所以c=4,
所以S△ABC=12bcsin A=12×2×4×32=23. (10分)
18.解析 (1)证明:由an+1=Sn+3n得Sn+1-Sn=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,所以Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1bn=2. (4分)
所以{bn}是首项为b1=a-3,公比为2的等比数列,∴bn=(a-3)·2n-1. (6分)
(2)由(1)知Sn-3n=(a-3)·2n-1,
∴Sn=(a-3)·2n-1+3n,
则an+1=Sn+3n=(a-3)·2n-1+2·3n,
∴an=(a-3)·2n-2+2·3n-1(n≥2). (8分)
由an+1>an,得(a-3)·2n-1+2·3n>(a-3)·2n-2+2·3n-1,即3-a8<32n-1(n≥2)恒成立. (10分)
因为函数y=32x在R上单调递增,所以3-a8<322-1,解得a>-9.
而当n=1时,a2=a1+3,a2-a1=3>0成立.
又a≠3,
故a∈(-9,3)∪(3,+∞). (12分)
19.解析 (1)证明:由已知得,当直线y=-x+z过点(2n,0)时,目标函数取得最大值,故zn=2n. (2分)
∵(Sn,an)在直线zn=x+y上,
∴Sn+an=2n,①
∴Sn-1+an-1=2(n-1),n≥2,②
①-②得,2an-an-1=2,n≥2,
∴an-1=2an-2,n≥2. (4分)
又∵an-2an-1-2=an-22an-2-2=an-22(an-2)=12,n≥2,且a1-2=-1,
∴数列{an-2}是以-1为首项,12为公比的等比数列. (6分)
(2)由(1)得an-2=-12n-1, (7分)
∴an=2-12n-1.
∵Sn+an=2n,
∴Sn=2n-an=2n-2+12n-1, (9分)
∴Tn=0+120+2+121+…+2n-2+12n-1
=[0+2+…+(2n-2)]+120+121+…+12n-1
=n(2n-2)2+1-12n1-12
=n2-n+2-12n-1. (12分)
20.信息提取 ①固定成本为200万元;②当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x;③当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10000x-1 450;④每件商品售价为0.05万元.
数学建模 本题是以工厂生产利润为背景的实际问题,可构建分段函数模型解决,根据题意分0
当0
所以L(x)=-13x2+40x-200,0
当x≥80时,L(x)=1 250-x+10000x≤1 250-2x·10000x=1 250-200=1 050.
此时当x=10000x,即x=100时,L(x)取得最大值1 050万元.
由于1 000<1 050,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为1 050万元. (12分)
21.解析 设x1,x2是定义域内任意两个变量,且x1
(1)f(x)的定义域为[0,+∞),且有f(a2-1)>f(2a+2)成立,
等价于a2-1≥0,2a+2≥0,a2-1<2a+2,解得a≤-1或a≥1,a≥-1,-1
(2)不等式f(mx2+2mx)
即(x+2)(mx-1)>0,
①当m=0时,不等式(x+2)(mx-1)>0的解集为{x|x<-2}; (5分)
②当m>0时,不等式(x+2)(mx-1)>0的解集为xx<-2或x>1m; (6分)
③当m<0时,即不等式(x+2)x-1m<0, (8分)
(ⅰ)当1m=-2,即m=-12时,不等式的解集为⌀;
(ⅱ)当1m>-2,即m<-12时,不等式的解集为x-2
所以当n≥2时,Sn=4an-1+1.②
①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2,且n∈N*),
所以an+1-2an=2(an-2an-1). (4分)
又bn=an+1-2an,
所以bn=2bn-1.
因为a1=1,且a1+a2=4a1+1,
所以a2=3a1+1=4.
所以b1=a2-2a1=2.
故数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列. (6分)
(2)由(1)可知bn=2n,则cn=1log2bn+3=1n+3(n∈N*).
Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1
=14×5+15×6+16×7+…+1(n+3)(n+4)
=14-15+15-16+16-17+…+1n+3-1n+4
=14-1n+4=n4(n+4). (8分)
由4mTn>(n+2)cn,得mnn+4>n+2n+3,
即m>(n+4)(n+2)n(n+3),
所以m>n2+6n+8n2+3n=1+3n+8n2+3n=1+3n+3+8n2+3n对于一切n∈N*恒成立.
设f(x)=1+3x+3+8x2+3x,x≥1. (10分)
可知f(x)在[1,+∞)为减函数,
又f(1)=154,所以当n∈N*时,有f(n)≤f(1).
所以m>154. (12分)
第三章 不等式
3.4 基本不等式:ab≤a+b2
基础过关练
题组一 对基本不等式的理解
1.不等式(x-2y)+1x-2y≥2成立的前提条件为 ( )
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x<2y
2.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使ba+ab≥2成立的条件有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.给出下面四个推导过程:
①因为a,b是正实数,所以ba+ab≥2ba·ab=2;
②因为x,y是正实数,所以lg x+lg y≥2lgx·lgy;
③因为a∈R,且a≠0,所以4a+a≥24a·a=4;
④因为x,y∈R,xy<0,所以xy+yx=--xy+-yx≤-2-xy·-yx=-2.
其中正确的推导为 ( )
A. ①② B.②③
B. C.③④ D.①④
4.(2020福建泰宁第一中学高一月考)下列各不等式,其中正确的是 ( )
A.a2+1>2a(a∈R)
B.x+1x≥2(x∈R,x≠0)
C.a+bab≥2(ab≠0)
D.x2+1x2+1>1(x∈R)
题组二 利用基本不等式比较大小
5.若0
6.(2020湖南长沙麓山国际实验学校高一期末)已知p=a+1a-2,q=12x2-2,其中a>2,x∈R,则p,q的大小关系是 ( )
A.p≥q B.p>q
C.p
8.已知正数x,y满足xy=36,则x+y与12的大小关系是 .
9.若四个正数a,b,c,d成等差数列,x是a和d的等差中项,y是b和c的等比中项,则x和y的大小关系是 .
题组三 利用基本不等式求最值
10.已知0
11.(2020山西孝义高一期末)若正数m,n满足2m+n=1,则1m+1n的最小值为 ( )
A.3+22 B.3+2
C.2+22 D.3
12.(2020黑龙江大庆高一期末)若x>1,则4x+1x-1的最小值等于 ( )
A.6 B.9 C.4 D.8
13.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是 ( )
A.2 B.22 C.4 D.5
14.(2020重庆南开中学高一期末)正数m,n满足m+n=2,则1m+1+1n+2的最小值为 ( )
A.35 B.45 C.54 D.2
题组四 利用基本不等式证明不等式
15.(2020山东烟台高二期末)已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等.
求证:bca+acb+abc>a+b+c.
16.已知a、b、c∈R+且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
17.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:ad+bcbd+bc+adac≥4.
题组五 利用基本不等式解决实际问题
18.某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.当住第n层楼时,环境不满意程度为8n,则此人应选第 楼,会有一个最佳满意度.
19.(2020山东泰安一中高一期中)山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略,也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略综合试验区.泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇,加快企业发展.已知该企业的年固定成本为500万元,每生产设备x(x>0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=12x2+40x万元;若年产量不小于80台,则y1=101x+8 100x-2 180万元.若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;
(2)年产量为多少台时,该企业所获利润最大?
能力提升练
一、选择题
1.(2020山东师大附中高一学业质量检测,★★☆)设x,y是正实数,(x+y)1x+1y≥a恒成立,则实数a的最大值为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
2.(2020吉林省实验中学高一期末,★★☆)设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+4b的最小值为 ( )
A.22 B.83 C.92 D.32
3.(2020湖南长沙实验中学高一期末,★★☆)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为 ( )
A.0 B.3 C.94 D.1
4.(2020广东佛山一中高一期末,★★☆)在△ABC中,E为AC上一点,AC=3AE,P为BE上任一点,若AP=m·AB+nAC(m>0,n>0),则3m+1n的最小值是 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
5.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二期末联考,★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+ca=cos B+cos C,bcsinA=8,则△ABC的周长的最小值为 ( )
A.3 B.3+32
C.4 D.4+42
6.(多选)(2020江苏南京师大附中高二期末,★★★)若a>0,b>0,则下面结论正确的有 ( )
A.若a≠1,b≠1,则logab+logba≥2
B.a2+b2a+b≥22
C.若1a+4b=2,则a+b≥92
D.若ab+b2=2,则a+3b≥4
二、填空题
7.(2020浙江丽水高一期末,★★☆)设正数a,b满足a2+4b2+1ab=4,则a= ,b= .
8.(2020辽宁辽南协作校联考高二期末,★★★)若a、b、c是正实数,且满足a+b≥c,则ba+ab+c的最小值为 .
9.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二期末联考,★★★)若各项均为正数的数列{an}满足an+2=an+1+an,且a5=5,则3a1+2a2的最小值为 .
三、解答题
10.(2019吉林松原扶余一中高一期末,★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A+sin2C-3sin Asin C=sin2B.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,求a+c的最大值.
11.(2020吉林洮南第一中学高二期末,★★☆)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)a+b≤2;
(2)1a+1b+1ab≥8.
12.(2020河南郑州高二期末,★★★)《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过,自2019年12月1日起施行.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革,是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源,当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究,把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨,最多为100吨.周加工处理成本y(元)与周加工处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y=13x2-30x+2 700,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.
(1)该企业每周加工处理量为多少吨时,才能使每吨产品的平均加工处理成本最低?
(2)该企业每周能否获利?如果获利,求出利润的最大值;如果不获利,则需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损?
专题强化练5 运用基本不等式求最值的常用技巧
时间40
一、选择题
1.(2020河北石家庄高二期末,★★☆)若正实数a,b,满足a+b=1,则b3a+3b的最小值为 ( )
A.2 B.26 C.5 D.43
2.(★★☆)设a>b>0,则a2+1ab+1a(a-b)的最小值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3. (2020安徽芜湖中学高一期末,★★☆)设M是△ABC内一点,且AB·AC=23,
∠BAC=30°,若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为12,x,y,则1x+4y的最小值为 ( )
A.8 B.9 C.16 D.18
4.(★★☆)已知实数a,b满足ab>0,则aa+b-aa+2b的最大值为 ( )
A.2-2 B.2+2
C.3-22 D.3+22
5.(★★☆)已知实数a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,则a+2b的最小值是 ( )
A.32 B.22
C.3 D.2
6.(★★☆)已知x>0,y>0,2x-1x=8y-y,则2x+y的最小值为 ( )
A.2 B.22
C.32 D.4
7.(2020广东化州高三第一次模拟,★★★)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+2y的值为 ( )
A.245 B.2
C.285 D.5
二、填空题
8.(2020北京石景山高二期中,★★☆)已知正数x,y满足x+2y=2,则x+8yxy的最小值为 .
9.(★★★)设x、y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值为 .
10.(★★★)设a>b>c>0,求2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2的最小值为 .
11.(★★★)若a,b∈R,且a2+2ab-3b2=1,则a2+b2的最小值为 .
三、解答题
12.(★★★)(1)设a>b>c,且1a-b+1b-c≥ma-c恒成立,求m的取值范围;
(2)记F=x+y-a(x+22xy)(x>0,y>0).若对任意的x>0,y>0,恒有F≥0,请求出a的取值范围.
13.(★★★)某厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-km+1(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.预计2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)设2020年该产品的利润为y万元,将y表示为m的函数;
(2)该厂家2020年的促销费用为多少万元时获得的利润最大?最大利润为多少?
3.4综合拔高练
五年高考练
考点1 利用基本不等式求最值
1.(2020天津,14,5分,★★☆)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为 .
2.(2020江苏,12,5分,★★☆)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 .
3.(2019天津,13,5分,★★☆)设x>0,y>0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .
考点2 利用基本不等式解决实际问题
4.(2017江苏,10,5分,★★☆)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
考点3 不等式的综合应用
5.(2017天津,8,5分,★★★)已知函数f(x)=x2-x+3,x≤1,x+2x,x>1.设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.-4716,2 B.-4716,3916
C.[-23,2] D.-23,3916
P129
三年模拟练
应用实践
1.(2020江西南昌高二期末,★★☆)正数a,b满足9a+b=ab,若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,6] D.[6,+∞)
2.(★★★)设x,y满足约束条件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为 ( )
A.256 B.56 C.625 D.65
3.(2020福建南平高一期末,★★★)已知x,y,z均为正数,则xy+3yzx2+y2+z2的最大值为 ( )
A.5 B.10 C.102 D.10
4.(多选)(2020山东高密高三二模,★★☆)设正项等差数列{an}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则 ( )
A.a2a9的最大值为10 B.a2+a9的最大值为210
C.1a22+1a92的最大值为15 D.a24+a94的最小值为200
5.(★★☆)函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中m>0,n>0,则2m+1n的最小值为 .
6.(2021江苏江阴要塞中学高二期中,★★☆)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在距离车站 千米处.
7.(2021江西南昌二中高二月考,★★☆)设函数f(x)=ax2+4x+b.
(1)当b=2时,若对于x∈[1,2],有f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;
(2)已知a>b,若f(x)≥0对于一切实数x恒成立,并且存在x0∈R,使得ax02+4x0+b=0成立,求a2+b2a-b的最小值.
迁移创新
8.(2021山西运城高三一模,★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知AB·AC=9,b=c·cos A,△ABC的面积为6,若P为线段AB上的点(点P不与点A,B重合),且CP=x·CA|CA|+y·CB|CB|,则1x+13y+2的最小值为 .
本章复习提升
易混易错练
易错点1 忽略不等式性质成立的条件和对不等式的性质理解不够深刻致错
1.(★★☆)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的范围是 ( )
A.[3,12] B.(3,12)
C.(5,10) D.[5,10]
2.(2020湖南长沙第一中学高一期末,★★☆)已知-π2≤α<β≤π2,求α+β2,α-β2的取值
范围.
3.(★★☆)已知6
易错点2 忽略二次项系数的符号致错
4.(★★☆)设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 ( )
A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n
易错点3 在分式不等式中忽略了“分母不等于0”致错
7.(2020山西太原第五中学高二期中,★★☆)不等式x+1(x-1)2≥0的解集为 ( )
A.{x|x≥-1} B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x≥-1且x≠1} D.{x|x≥1或x≤-1}
8.(★★☆)不等式3x-2x+3≥2的解集为 .
9.(★★☆)解不等式:axx+1≤0(a∈R).
易错点4 忽略基本不等式等号成立的一致性致错
10.(2020山东泰安高一期末,★★☆)已知正实数a,b满足a+4b=1,则1a+b的最小值为 ( )
A.4 B.6 C.9 D.10
11.(★★☆)已知m>0,n>0,则当81m2+n2+7298mn取得最小值时,m-n的值为 .
12.(★★☆)已知正实数a,b满足a+b=1,求a+1a2+b+1b2的最小值.
思想方法练
一、函数与方程思想在不等式中的应用
1.(2020广西玉林高二期末,★★☆)已知函数f(x)=x2+(4-k)x,若f(x)
A.-∞,72 B.72,+∞
C.-∞,143 D.143,+∞
2.(★★☆)已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为-13,12,则-cx2+2x-a>0的解集为 .
3.(2020北京朝阳高一期末,★★★)已知不等式1n+1+1n+2+1n+3+…+12n>112·log12(a-1)+23对于一切大于1的自然数n都成立,求实数a的取值范围.
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
4.(2020安徽滁州高一期末,★★☆)若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有3个整数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(4,5) B.(-3,-2)∪(4,5)
C.(4,5] D.[-3,-2)∪(4,5]
5.(2020四川自贡高一期中,★★☆)关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R,则实数a的取值范围是 .
6.(2020湖南长沙高一期末,★★☆)已知f(x)=(x-a)·(x-2).
(1)当a=1时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)解关于x的不等式f(x)<0.
三、数形结合思想在不等式问题中的应用
7.(2020山西运城高一期末,★★☆)若变量x,y满足约束条件x+y≥0,x-y≥0,3x+y-4≤0,则z=3x-2y的最大值是 ( )
A.10 B.0 C.5 D.6
8.(★★☆)当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是 .
9.(★★☆)已知关于x的方程x2-2x+a=0.当实数a为何值时,
(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1?
(2)方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内?
(3)方程的两个根都大于零?
四、转化与化归思想在不等式问题中的应用
10.(★★☆)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为 ( )
A.-235,+∞ B.-235,1
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)
11.(★★☆)如果不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.(1,3) B.(-∞,3)
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞)
12.(2020安徽黄山高一期末,★★★)已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),且f(x)≤0的解集为[-1,2].
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式mf(x)>2(x-m-1)(m≥0);
(3)设g(x)=2f(x)+3x-1,若对于任意的x1,x2∈[-2,1]都有|g(x1)-g(x2)|≤M,求M的最小值.
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式组x2-1<0,x2-3x<0的解集为 ( )
A.{x|-1
A.100 B.81 C.36 D.9
3.不等式14-5x-x2<0的解集为 ( )
A.{x|-7
C.{x|x>2} D.{x|x<-7}
4.若a、b、c均为实数且满足2a>2b,则下列不等式中正确的是 ( )
A.ac2>bc2 B.1a<1b
C.a3>b3 D.ln a>ln b
5.已知a=2+6,b=4,c=3+5,则a、b、c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.b>c>a
6.已知变量x,y满足约束条件x≥1,x-y-2≤0,4x+y-8≤0,则z=3-2x+y的最小值是 ( )
A.181 B.127 C.19 D.9
7.下列命题为真命题的是 ( )
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b>c>0,则ca
A.1
A.3 B.2 C.-2 D.-3
10.已知函数f(x)=-x2-2x,x≥0,x2-2x,x<0,若f(a)-f(-a)≤2f(1),则a的取值范围是 ( )
A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-1,1] D.[-2,2]
11.设x>0,y>0,且不等式(ax+y)1x+1y≥9恒成立,则正实数a的取值范围是 ( )
A.a≥4 B.0
A.33 B.32 C.22 D.24
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.函数y=2x-x2lg(2x-1)的定义域是 .
14.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3,对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是 .
15.若x,y满足约束条件x-y≥0,2x+y-6≤0,x+y-2≥0,则z=3x+2y的最大值是 .
16.若b>a>1且3logab+6logba=11,则a3+2b-1的最小值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(1)已知x,y∈R,且x>y,比较x3-y3与xy2-x2y的大小;
(2)已知x,y,z为正实数,且xyz=1,证明:(x+y)(y+z)(z+x)≥8.
18.(本小题满分12分)解下列不等式(组):
(1)x(x+2)>0,x2<1;(2)6-2x≤x2-3x<18.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-(a+3)x+2a+b+1.
(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x<2或x>3},求a,b的值;
(2)若关于x的不等式f(x)
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2x.
(1)求f(1),f(2)的值;
(2)设a>b>1,试比较f(a),f(b)的大小,并说明理由;
(3)若不等式f(x-1)≥2(x-1)+2x-1+m对一切x恒成立,求实数m的最大值.
21.(本小题满分12分)某人有一幢楼房,室内面积共180 m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房间每间面积为15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1 000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,才能获得最大收益?
22.(本小题满分12分)在城市旧城改造中,某小区为了升级居住环境,拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示),按规划要求:在矩形内的四周安排2 m宽的绿化,绿化造价为200元/m2,中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材,硬化造价为100元/m2.设矩形的长为x(m).
(1)将总造价y(元)表示为矩形的长x(m)的函数,并求出定义域;
(2)当x取何值时,总造价y最低,并求出最低总造价.
全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|x2<1},B={x|x2+3x<0},则A∪B= ( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(-3,1) D.(-∞,1)
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a11>0且a11+a10<0,当SnSn+1<0时,n的值为 ( )
A.20 B.21 C.22 D.23
3.在锐角△ABC中,已知A=2C,则ac的取值范围是 ( )
A.(0,2) B.(2,2)
C.(2,3) D.(3,2)
4.已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO.它指的是在自然情况下(没有外力介入,同时所有人都没有免疫力),一个感染到某种传染病的人,会把疾病传染给多少人的平均数,它的简单计算公式:RO=1+确诊病例增长率×系列间隔,其中系列间隔是指在一个传播链中,两例连续病例的间隔时间(单位:天).根据统计,确诊病例的平均增长率为40%,两例连续病例的间隔时间的平均数为5天,根据以上RO数据计算,若甲得这种传染病,则6轮传播后由甲引起的得病的总人数为 ( )
A.243 B.248 C.363 D.1 092
5.若a,b,c,d为实数,则下列命题正确的是 ( )
A.若a
A.[-4,2] B.[-1,2]
C.[-1,+∞) D.[2,+∞)
7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin B+sin A(sin C-
cos C)=0,a=2,c=2,则C= ( )
A.π12 B.π6
C.π4 D.π3
8.已知{an}是等比数列,公比q=2,Sn为{an}的前n项和,记Tn=17Sn-S2nan+1(n∈N*),设Tn0为数列{Tn}的最大项,则n0= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.已知y=loga(2-ax)在(0,1)上是增函数,则不等式loga|x+1|>loga|x-3|的解集为 ( )
A.{x|x<-1} B.{x|x<1}
C.{x|x<1,且x≠-1} D.{x|x>1}
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,anan+1=22n-1,则S12S6= ( )
A.62 B.63 C.64 D.65
11.在△ABC中,若asin A+bsin B-csin C=0,则圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
12.已知数列{an}满足a1=1,an∈Z,且an+1-an-1<3n+12,an+2-an>3n+1-12(n≥2,且n∈N*),则a2 019= ( )
A.32021-38 B.32020-18
C.32019-18 D.32018-18
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.若对于x∈0,π2,不等式1sin2x+mcos2x≤4有解,则正实数m的取值范围为 .
14.如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于3a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为 .
15.已知数列{an}的前n项和为Sn,若2Sn=3an-2n(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .
16.已知△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是角A,B,C的对边.若A=2B,则ab+ba的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且b2+c2-a2=bc.已知 ,计算△ABC的面积.请在①a=7,②b=2,③sin C=2sin B这三个条件中任选两个,将问题补充完整,并作答.注意,只需选择其中的一种情况作答即可.
18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)设bn=Sn-3n,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)若an+1>an对任意n∈N*都成立,求实数a的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知点(x,y)是不等式组x+2y≤2n,x≥0,y≥0(n∈N*)表示的平面区域内的点,目标函数z=x+y,z的最大值记作zn.若数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线zn=x+y上.
(1)证明:数列{an-2}为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
20.(本小题满分12分)某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x.当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)满足:对定义域内任意x1≠x2,都有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0成立.
(1)若f(x)的定义域为[0,+∞),且有f(a2-1)>f(2a+2)成立,求a的取值范围;
(2)若f(x)的定义域为R,求关于x的不等式f(mx2+2mx)
22.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.
(1)证明数列{bn}是等比数列;
(2)数列{cn}满足cn=1log2bn+3(n∈N*),设Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1,若对一切n∈N*不等式4mTn>(n+2)cn恒成立,求实数m的取值范围.
答案全解全析
第三章 不等式
3.4 基本不等式:ab≤a+b2
基础过关练
1.B 因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x-2y>0,即x>2y,故选B.
2.C 当ba,ab均为正数时,ba+ab≥2,故只需a,b同号即可,∴①③④均可以.故选C.
3.D ①由于a,b是正实数,所以ba,ab是正实数,符合基本不等式的条件,故①的推导正确;
②虽然x,y是正实数,但当x∈(0,1),y∈(0,1)时,lg x和lg y都是负数,所以②的推导错误;
③a∈R,且a≠0,不符合基本不等式的条件,所以③的推导错误;
④由xy<0,得xy,yx均为负数,但在推导过程中将整体xy+yx提出负号后,-xy,-yx均变为正数,符合基本不等式的条件,故④推导正确.
4.B 对于A,当a=1时,a2+1=2a,则A错误;
对于B,当x>0时,x+1x=x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1时,等号成立;
当x<0,即-x>0时,x+1x=-x+1-x≥2-x·1-x=2,当且仅当x=-1时,等号成立,则B正确;
对于C,当a<0,b<0时,a+bab<0,故C错误;
对于D,当x=0时,x2+1x2+1=1,故D错误.故选B.
5.D 解法一:∵0
解法二:取a=12,b=13,则a2+b2=1336,2ab=63,2ab=13,a+b=56,显然56最大.故选D.
6.A 由于a>2,p=a+1a-2,于是可得p=a-2+1a-2+2≥2(a-2)·1a-2+2=4,当且仅当a-2=1a-2,即a=3时取等号.由于x∈R,∴x2-2≥-2,从而可得q=12x2-2≤12-2=4.综上可知,p≥4,q≤4,于是可以推出p≥q.
7.B 解法一:由题意知,p=f(ab)=lnab,q=fa+b2=lna+b2,
r=12(f(a)+f(b))=12(ln a+ln b)=12·ln ab=lnab.
又0
因为函数f(x)=ln x为增函数,所以p=r
则p=f(2)=ln2,q=fa+b2=ln32,r=12(ln 1+ln 2)=ln2.
因为函数f(x)=ln x为增函数,2<32,
所以ln2
解析 由x,y为正数,得x+y≥2xy=12,当且仅当x=y=6时,等号成立.
9.答案 x≥y
解析 由题意得,x=a+d2=b+c2,y=bc.
∵b,c都是正数,
∴b+c2≥bc(当且仅当b=c时取“=”),
∴x≥y.
10.B ∵0
当且仅当nm=2mn,即n=2m时等号成立,所以1m+1n的最小值为3+22.故选A.
12.D 因为x>1,所以x-1>0,因此4x+1x-1=4x-4+1x-1+4≥2(4x-4)·1x-1+4=8,
当且仅当4x-4=1x-1,即x=32时,等号成立.故选D.
13.C ∵a>0,b>0,∴1a+1b≥2ab,
当且仅当a=b时取等号,
∴1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥4,
当且仅当2ab=2ab,即ab=1时取等号,∴当且仅当a=b=1时,1a+1b+2ab取最小值4.
14.B ∵m+n=2,∴(m+1)+(n+2)=5,
即m+15+n+25=1,
∴1m+1+1n+2=m+15+n+25m+1+m+15+n+25n+2
=25+n+25(m+1)+m+15(n+2)≥25+
2n+25(m+1)·m+15(n+2)=45,
当且仅当n+25(m+1)=m+15(n+2),即m=32,n=12时,取等号.故选B.
易错警示 利用基本不等式求最值要牢记三个关键词:一正、二定、三相等,即一正:各项必须为正;二定:各项之和或各项之积为定值;三相等:必须验证取等号时条件是否具备.对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项、凑项、凑系数等.
15.证明 ∵a>0,b>0,c>0,∴bca+acb≥2abc2ab=2c,acb+abc≥2a2bcbc=2a,
bca+abc≥2acb2ac=2b.又a,b,c不全相等,
故上述等号至少有一个不成立,∴bca+acb+abc>a+b+c.
16.证明 ∵a+b+c=1,且a>0,b>0,c>0,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b+c-a)(a+b+c-b)(a+b+c-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≥2bc·2ac·2ab=8abc,
∴(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
17.证明 ad+bcbd+bc+adac=ab+cd+ba+dc=ab+ba+cd+dc≥2+2=4,
当且仅当a=b且c=d时取“=”,所以ad+bcbd+bc+adac≥4.
方法总结 利用基本不等式证明不等式的一般思路:先观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基本不等式的形式;若题目中还有其他条件,则先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换.另外,解题时要时刻注意等号能否取到.
18.答案 3
解析 设此人应选第n层楼,此时不满意程度为y,由题意知y=n+8n(n>0),
∵n+8n≥2n·8n=42,当且仅当n=8n,即n=22时取等号,
但考虑到n∈N+,∴当n=2时,y=2+82=6,当n=3时,y=3+83=173,
故此人应选第3楼,此时不满意度最低.
19.信息提取 ①年固定成本为500万元;②若年产量不足80台,则y1=12x2+40x万元;③若年产量不小于80台,则y1=101x+8 100x-2 180万元;④每台设备售价为100万元.
数学建模 本题是以企业生产分配和利润为背景的实际问题,根据题意构建函数模型求解,由已知分年产量不足80台和年产量不小于80台两类建立年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;然后根据关系式的结构分别利用配方法和基本不等式求利润的最大值.
解析 (1)当0
所以y=-12x2+60x-500,0
所以当年产量为90台时,该企业所获利润最大,最大利润为1 500万元.
能力提升练
一、选择题
1.B 因为x,y是正实数,所以(x+y)·1x+1y=2+xy+yx≥4(当且仅当x=y时,等号成立),所以a≤4,故实数a的最大值为4.
2.C ∵3是3a与3b的等比中项,
∴3a·3b=32,即a+b=2.
∴1a+4b=12×1a+4b(a+b)=125+ba+4ab≥12×(5+24)=92,当且仅当ba=4ab,即a=23,b=43时取等号.
3.D ∵正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2,
∴xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤12xy·4yx-3=1,
当且仅当xy=4yx,即x=2y>0时取等号,此时z=2y2,
∴2x+1y-2z=22y+1y-22y2=-1y-12+1≤1,当且仅当y=1时取等号,
即2x+1y-2z的最大值是1.故选D.
4.D 由题意可知:AP=mAB+nAC=mAB+3n·AE,A,B,E三点共线,则m+3n=1,据此有3m+1n=3m+1n(m+3n)=6+9nm+mn≥6+29nm×mn=12,当且仅当9nm=mn,即m=12,n=16时等号成立.
综上可得:3m+1n的最小值是12.
5.D 因为b+ca=cos B+cos C,所以根据正弦定理可得sinB+sinCsinA=cos B+cos C,
所以sin(A+C)+sin(A+B)=sin Acos B+sin A·cos C,
所以cos Asin C+cos Asin B=0,即cos A·(sin C+sin B)=0.
又在△ABC中,sin C+sin B≠0,所以cos A=0,所以A=90°.
所以sin A=1,所以bc=8,所以a+b+c=b2+c2+b+c≥2bc+2bc=4+42,当且仅当b=c时取等号.所以△ABC的周长的最小值为4+42.故选D.
6.BCD 对于A,当0
所以a+b=12(a+b)1a+4b=12·
5+ba+4ab≥125+2ba·4ab=92,
当且仅当ba=4ab,即a=32,b=3时取等号,故C正确;
对于D,由a>0,b>0,ab+b2=(a+b)b=2,得2b(a+b)=4,
根据基本不等式,得a+3b=(a+b)+2b≥22b(a+b)=4,
当且仅当a+b=2b,即a=b=1时取等号,故D正确.
故选BCD.
二、填空题
7.答案 1;12
解析 因为a2+4b2+1ab=(a-2b)2+4ab+1ab≥(a-2b)2+24ab·1ab=(a-2b)2+4≥4,
当且仅当a-2b=0且2ab=1,即a=1,b=12时,a2+4b2+1ab=4,所以a=1,b=12.
8.答案 2-12
解析 ∵a,b,c是正实数,且满足a+b≥c,
∴a+2b≥b+c,
∴ba+ab+c≥ba+aa+2b=ba+11+2ba=12·2ba+1+11+2ba-12≥2-12,
当且仅当a+b=c,122ba+1=11+2ba时取等号.
9.答案 245
解析 ∵an+2=an+1+an,∴a3=a2+a1,a4=a3+a2=2a2+a1,又a5=5,
∴a5=a4+a3=3a2+2a1=5,∴3a25+2a15=1.
∵数列{an}的各项均为正数,
∴a1>0,a2>0,
∴3a1+2a2=3a1+2a23a25+2a15=9a25a1+4a15a2+125≥29a25a1·4a15a2+125=245,当且仅当3a2=2a1,且3a25+2a15=1,即a1=54,a2=56时取等号.故3a1+2a2的最小值为245.
三、解答题
10.解析 (1)由正弦定理得a2+c2-3ac=b2,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
∴cos B=32.又∵0°
化简,得(a+c)2-4=(3+2)ac.
∵(a+c)2-4=(3+2)ac≤(3+2)×(a+c)24,即(a+c)2≤16(2+3),
当且仅当a=c时取等号,∴(a+c)max=26+22.
11.证明 (1)因为a>0,b>0,a+b=1,
所以(a+b)2=a+b+2ab≤a+b+a+b=2(a+b)=2,
当且仅当a=b=12时,等号成立,
所以a+b≤2.
(2)因为a+b=1,a>0,b>0,
所以1a+1b+1ab=1a+1b+a+bab=
21a+1b=2a+ba+a+bb=2ba+ab+4
≥4ba×ab+4=8,当且仅当a=b=12时,等号成立,所以1a+1b+1ab≥8.
12.信息提取 ①每周的加工处理量最少为75吨,最多为100吨;②y=13x2-30x+2 700;③每加工处理1吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.
数学建模 本题是以垃圾分类处理为背景的实际问题,根据题意构建以函数为模型求解.由已知建立每吨产品的平均加工处理成本(实际问题)的函数关系式,然后利用基本不等式求其最小值.企业每周能否获利(实际问题)就是看每周获利是大于0还是小于0,可以利用函数的单调性判断(数学方法).
解析 (1)由题意可知,每吨产品的平均加工成本为yx=x3+2700x-30≥2x3·2700x-30=30,当且仅当x3=2700x,即x=90时,等号成立.故该企业每周加工处理量为90吨时,才能使每吨的平均加工成本最低.
(2)设该企业每周获利S元,则S=16x-y=-13x2+46x-2 700.当x∈[75,100]时,函数S=16x-y=-13x2+46x-2 700单调递减,所以当x=75时,函数取得最大值,Smax=-1 125.
所以该企业不获利,需要市政府每周至少补贴1 125元,才能不亏损.
专题强化练5 运用基本不等式
求最值的常用技巧
一、选择题
1.C 根据题意,若正实数a,b,满足a+b=1,
则b3a+3b=b3a+3a+3bb=b3a+3ab+3≥2×b3a×3ab+3=5,
当且仅当b3a=3ab,即a=14,b=34时等号成立,即b3a+3b的最小值为5.
2.D a2+1ab+1a(a-b)=a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=a(a-b)+ab+1ab+1a(a-b)≥2a(a-b)·1a(a-b)+2ab·1ab=4,当且仅当a(a-b)=1a(a-b)且ab=1ab,即a=2b=2时,等号成立.故选D.
3.D 由条件可得|AB|·|AC|=4,设△ABC的面积为S,则S=12|AB|·|AC|sin∠BAC=1,
∵S△MBC=12,∴x+y=12,又x,y>0,
∴1x+4y=2(x+y)·1x+4y=25+yx+4xy≥25+2yx·4xy=18,当且仅当x=16,y=13时,等号成立.故选D.
4.C 由题意得:aa+b-aa+2b=
(a2+2ab)-(a2+ab)(a+b)(a+2b)=aba2+3ab+2b2.
∵(a-2b)2≥0,∴a2-22ab+2b2≥0,
∴a2+2b2≥22ab,
∴a2+3ab+2b2≥3ab+22ab,
∴a2+3ab+2b2的最小值是3ab+22ab.
∵ab>0,∴当a2+3ab+2b2=3ab+22ab,
即a=2b时,aba2+3ab+2b2的值最大,
∴aba2+3ab+2b2≤ab3ab+22ab=13+22=3-22,
∴aa+b-aa+2b的最大值为3-22.故选C.
5.B ∵a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,
∴a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=[(a+1)+2(b+1)]·1a+1+1b+1-3=1+2+2(b+1)a+1+a+1b+1-3≥3+22-3=22,当且仅当2(b+1)a+1=a+1b+1,即a=2,b=22时取等号.故选B.
6.C 2x-1x=8y-y⇒2x+y=1x+8y,要求2x+y的最小值可以先求(2x+y)2的最小值,则(2x+y)2=(2x+y)(2x+y)=(2x+y)·1x+8y=2+16xy+yx+8=10+16xy+yx≥
216xy·yx+10=18当且仅当16xy=yx,
即y=4x时取等号 ,故2x+y≥18=32.
7. B ∵x+3y=5xy,x>0,y>0,
∴15y+35x=1,
∴3x+4y=(3x+4y)15y+35x=135+3x5y+12y5x≥135+23x5y×12y5x=5,
当且仅当3x5y=12y5x,即x=1,y=12时取等号,
∴x+2y=1+2×12=2.故选B.
二、填空题
8.答案 9
解析 因为x、y为正数,且x+2y=2,所以x+8yxy=1y+8x·x2+y=x2y+8yx+5≥2x2y·8yx+5=9,当且仅当x=4y=43时,等号成立,所以x+8yxy的最小值为9.
9.答案 2105
解析 ∵4x2+y2+xy=1,∴4x2+y2+4xy-3xy=1,∴(2x+y)2-1=3xy=32·2x·y≤32·2x+y22,
∴(2x+y)2-1≤38(2x+y)2,即(2x+y)2≤85,即-2105≤2x+y≤2105,
当且仅当2x=y时取等号,∴2x+y的最大值为2105.
10.答案 4
解析 原式=1ab+ab+1a(a-b)+a(a-b)-ab-a(a-b)+2a2-10ac+25c2
=1ab+ab+1a(a-b)+a(a-b)+a2-10ac+25c2
=1ab+ab+1a(a-b)+a(a-b)+(a-5c)2
≥21ab·ab+21a(a-b)·a(a-b)+0=4,
当且仅当ab=1,a(a-b)=1,a=5c,即a=2,b=22,c=25时,等号成立.
11.答案 5+14
解析 由a2+2ab-3b2=1,得(a+3b)(a-b)=1,
令x=a+3b,y=a-b,则xy=1,且a=x+3y4,b=x-y4,
所以a2+b2=x+3y42+x-y42=x2+5y2+28≥25x2y2+28=5+14,
当且仅当x2=5,y2=55时取等号.
三、解答题
12.解析 (1)由a>b>c,知a-b>0,a-c>0.
所以原不等式等价于a-ca-b+a-cb-c≥m.
要使原不等式恒成立,只需a-ca-b+a-cb-c的最小值不小于m即可.
因为a-ca-b+a-cb-c=(a-b)+(b-c)a-b+(a-b)+(b-c)b-c=2+b-ca-b+a-bb-c≥2+2b-ca-b·a-bb-c=4.
当且仅当b-ca-b=a-bb-c,即2b=a+c时,等号成立,所以m≤4,
(2)由F≥0,得x+y≥a(x+22xy).
因为x>0,y>0,所以a≤x+yx+22xy恒成立,
所以a≤x+yx+22xy的最小值.
因为x+yx+22xy≥x+yx+(x+2y)=12,当且仅当x=2y时,等号成立.
所以a≤12.
13.信息提取 ①x=3-km+1(k为常数);②固定投入为8万元;③每生产1万件该产品需要再投入16万元;④销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍.
数学建模 本题是以促销活动与销售量的关系为背景的实际问题,可构建函数模型求解.年销售量x与年促销费用m之间的关系为x=3-km+1(k为常数),成本包含固定投入和再投入,销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍,这样就可以建立利润为y与促销费用m之间的函数关系,再利用基本不等式求利润的最大值.
解析 (1)由题意,知当m=0时,x=1,
∴1=3-k,即k=2,∴x=3-2m+1.
又每件产品的销售价格为1.5×8+16xx元,
∴y=x1.5×8+16xx-(8+16x+m)=4+8x-m=4+83-2m+1-m=28-16m+1-m(m≥0).
(2)y=28-16m+1-m=29-m+1+16m+1,
∵m≥0,∴m+1+16m+1≥216=8,
当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,等号成立,
∴y≤29-8=21,即当m=3时,ymax=21.
∴该厂家2020年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大,最大利润为21万元.
3.4综合拔高练
五年高考练
1.答案 4
解析 12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4,
当且仅当a+b2=8a+b,即(a+b)2=16,也即a+b=4时取等号.
又∵ab=1,∴a=2+3,b=2-3或a=2-3,b=2+3时取等号,
∴12a+12b+8a+b的最小值为4.
2.答案 45
解析 由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=1-y45y2,∴x2+y2=1-y45y2+y2=1+4y45y2=15y2+4y25≥2425=45,当且仅当15y2=4y25,即y2=12,x2=310时取“=”.故x2+y2的最小值为45.
3.答案 43
解析 ∵x+2y=5,x>0,y>0,
∴(x+1)(2y+1)xy=x+2y+2xy+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy≥22xy·6xy=43,当且仅当x+2y=5,2xy=6xy,即x=3,y=1或x=2,y=32时,原式取得最小值43.
4.答案 30
解析 设总费用为y万元,则y=600x×6+4x=4x+900x≥4×2x·900x=240,
当且仅当x=900x,即x=30时,等号成立.
5.A ①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立等价于-x2+x-3≤x2+a≤x2-x+3在R上恒成立,即有-x2+12x-3≤a≤x2-32x+3在R上恒成立.由y=-x2+12x-3图象的对称轴为直线x=1414<1,可得在x=14处取得最大值-4716;由y=x2-32x+3图象的对称轴为直线x=3434<1,可得在x=34处取得最小值3916,则-4716≤a≤3916;
②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立等价于-x+2x≤x2+a≤x+2x在R上恒成立,即有-32x+2x≤a≤x2+2x在R上恒成立.因为x>1,所以-32x+2x≤-2·3x2·2x=-23,当且仅当x=23时取得等号.因为x>1,所以12x+2x≥2·12x·2x=2,当且仅当x=2时取得等号,则-23≤a≤2.
由①②可得-4716≤a≤2,故选A.
三年模拟练
1.A ∵9a+b=ab,∴1a+9b=1,且a,b为正数,
∴a+b=(a+b)1a+9b=10+ba+9ab≥10+2ba·9ab=16,
当且仅当ba=9ab,即a=4,b=12时,(a+b)min=16,
若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,
则16≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立,
∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,∴m≥3,
故选A.
2.A 画出可行域如图所示.
由3x-y-6=0,x-y+2=0,解得x=4,y=6,∴A(4,6),则目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在A(4,6)处取得最大值12,所以2a+3b=6,
从而有2a+3b=162a+3b(2a+3b)=166ba+4+9+6ab=136+166ba+6ab=136+ba+ab≥136+2ba·ab=256.
当且仅当a=b=65时取等号,所以2a+3b的最小值为256.
3.C ∵x2+110y2+910y2+z2≥2110xy+2910yz=2110(xy+3yz)当且仅当x=110y且z=910y时取等号,∴xy+3yzx2+y2+z2=xy+3yzx2+110y2+910y2+z2≤102当且仅当y=10x且y=103z时取等号,因此xy+3yzx2+y2+z2的最大值为102.
4.ABD 因为正项等差数列{an}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,
所以(a2+a9)2=2a2a9+20,即a22+a92=20.
a2a9≤a22+a922=202=10,当且仅当a2=a9=10时成立,故A正确;
由于a2+a922≤a22+a922=10,所以a2+a92≤10,所以a2+a9≤210,当且仅当a2=a9=10时等号成立,故B正确;
1a22+1a92=a22+a92a22·a92=20a22·a92≥20a22+a9222=20102=15,当且仅当a2=a9=10时等号成立,
所以1a22+1a92的最小值为15,故C错误;
结合A选项的结论,有a24+a94=(a22+a92)2-2a22·a92=400-2a22·a92≥400-2×102=200,
当且仅当a2=a9=10时等号成立,故D正确.故选ABD.
5.答案 92
解析 由题意,知点A(-2,-1),∵点A在直线mx+ny+2=0上,∴-2m-n+2=0,∴2m+n=2,
∴2m+1n=2m+nm+2m+n2n=nm+mn+2+12≥4+12=92,当且仅当m=n=23时等号成立.
6.答案 5
解析 设仓库与车站的距离为x,
由题意可设y1=k1x(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),把x=10,y1=2与x=10,y2=8分别代入y1=k1x,y2=k2x得k1=20,k2=0.8,
∴y1=20x,y2=0.8x,
∴这两项费用之和为y1+y2=20x+0.8x≥2·20x×0.8x=8,
当且仅当0.8x=20x,即x=5时等号成立,故要使这两项费用之和最小,仓库应建在距离车站5千米处.
7.解析 (1)根据题意知,对于x∈[1,2],有f(x)=ax2+4x+2≥0恒成立,
即a≥-4x-2x2=-2x2-4x恒成立.
设t=1x,t∈12,1,所以g(t)=-2t2-4t=-2(t+1)2+2.
∵函数g(t)在区间12,1上是减函数,
∴g(t)max=g12=-52.∴a≥-52.
(2)由f(x)≥0对于一切实数x恒成立,可得a>0,Δ≤0,
由存在x0∈R,使得ax02+4x0+b=0成立可得Δ≥0,∴Δ=16-4ab=0,∴ab=4.∵a>b,则a-b>0,∴a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)2+8a-b=a-b+8a-b≥2(a-b)·8a-b=42,当且仅当a-b=22时等号成立,故a2+b2a-b的最小值为42.
8.答案 914
解析 因为AB·AC=9,所以bccos A=9,因为△ABC的面积为6,所以bcsin A=12,
所以tan A=43,所以sin A=45,cos A=35,bc=15,
由于b=c·cos A,所以b=35c,所以c=5,b=3,
所以由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=25+9-2×5×3×35=16,即a=4(舍负),
所以CP=x·CA|CA|+y·CB|CB|=x3·CA+y4·CB.
因为P为线段AB上的点(点P不与点A,B重合),
所以x3+y4=1,根据题意,得x>0,y>0,
所以x3+3y+212=76,
所以1x+13y+2x3+3y+212=13+3y+212x+x3(3y+2)+112=512+3y+212x+x3(3y+2)≥2·3y+212x·x3(3y+2)+512=13+512=34,
当且仅当3y+212x=x3(3y+2),即3y+2=2x时等号成立,
所以1x+13y+2≥3476=914.
本章复习提升
易混易错练
1.D 由题意得f(-1)=a-b,f(1)=a+b,
∴a=12[f(1)+f(-1)],b=12[f(1)-f(-1)],
∴f(-2)=4a-2b=2[f(1)+f(-1)]-[f(1)-f(-1)]=3f(-1)+f(1).
∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤f(-2)≤10,故选D.
2.解析 因为-π2≤α<β≤π2,
所以-π4≤α2<π4,①
-π4<β2≤π4,②
-π4≤-β2<π4,③
所以①+②,得-π2<α+β2<π2,
①+③,得-π2≤α-β2<π2,
又因为α<β,所以α-β<0.
所以-π2≤α-β2<0.
3.解析 因为3
4.B 首先将原不等式化为(x-m)(x+n)<0.
由m+n>0知m>-n,
所以原不等式的解集为{x|-n
5.答案 -3;-3
解析 由题可知1,m是方程ax2-6x+a2=0的两个根,且a<0,
∴1+m=6a,1×m=a,解得a=-3,m=-3或a=2,m=2(舍去).
6.解析 原不等式可化为(ax-3)(x-2)>0.
当a=0时,(ax-3)(x-2)>0可化为x<2;
当a>0时,(ax-3)(x-2)>0可化为x-3a(x-2)>0,
①当3a>2,即0
②当3a=2,即a=32时,x-3a(x-2)>0的解集为x≠2;
③当3a<2,即a>32时,x-3a(x-2)>0的解集为x>2或x<3a.
④当a<0时,x-3a(x-2)<0的解集为3a
当a=0时,原不等式的解集为(-∞,2);
当0
当a>32时,原不等式的解集为-∞,3a∪(2,+∞).
易错警示 在利用三个二次之间的关系得出一元二次不等式的解集是在二次项系数a>0的前提下得出的,因此在解一元二次不等式时首先要把二次项系数化为正数再求解,当二次项系数含参数时一定要对二次项系数的符号进行分类讨论,否则易错.
7.C 因为(x-1)2≥0,
所以原不等式等价于x+1≥0,x-1≠0,
即x≥-1且x≠1.故选C.
8.答案 {x|x<-3或x≥8}
解析 原不等式可化为3x-2x+3-2≥0,即x-8x+3≥0,即(x-8)(x+3)≥0且x+3≠0,
故原不等式的解集为{x|x<-3或x≥8}.
9.解析 axx+1≤0⇔ax(x+1)≤0,且x+1≠0.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≤0且x+1≠0⇔-1
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≥0且x+1≠0⇔x<-1或x≥0,
∴解集为{x|x<-1或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1
∴1a+b=a+4b1a+b=5+ab+4ab≥5+2ab·4ab=9,当且仅当ab=4ab,a+4b=1,即a=13,b=6时取“=”.
11.答案 -4
解析 依题意,81m2+n2+7298mn≥18mn+7298mn≥81,当且仅当9m=n,18mn=7298mn,
即9m=n,mn=94,即m=12,n=92时,等号成立,此时m-n=-4.
12.解析 由题得,a+1a2+b+1b2=a2+b2+1a2+1b2+4=(a2+b2)1+1a2b2+4=[(a+b)2-2ab]1+1a2b2+4=(1-2ab)·1+1a2b2+4,
又由a+b=1,得ab≤a+b22=14当且仅当a=b=12时,等号成立,
所以1-2ab≥1-12=12,且1a2b2≥16,
所以a+1a2+b+1b2≥12×(1+16)+4=252,
所以a+1a2+b+1b2的最小值为252.
易错警示 连续多次应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时的条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行适当的拆分或合并,直到取等号的条件成立,不能只因为有定值就为最值.
思想方法练
1.D 由f(x)
(构造函数g(x),利用端点值的符号求k的
取值范围,运用了函数的思想方法)
2.答案 {x|-2
由根与系数的关系,得-13×12=ca,-13+12=-2a,
解得a=-12,c=2,所以-cx2+2x-a>0,
即x2-x-6<0,解得-2
则f(n+1)=1n+2+…+12n+12n+1+12n+2.
∵f(n+1)-f(n)=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2=1(2n+1)(2n+2)>0,
∴f(n+1)>f(n),
又∵n≥2,∴f(n)的最小值为f(2)=712.
由题意知,712>112log12(a-1)+23,
∴log12(a-1)<-1,∴a-1>2,∴a>3.
∴实数a的取值范围是(3,+∞).
4.D 由题意,不等式x2-(a+1)x+a<0,可化为(x-a)(x-1)<0,
当a>1时,不等式x2-(a+1)x+a<0的解集为(1,a),
要使得不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有3个整数,则4
要使得不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有3个整数,则-3≤a<-2.
(根据a与1的大小关系分类讨论求解,运
用了分类讨论的思想方法)
综上可得,实数a的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].故选D.
5.答案 -35,1
解析 若a2-1=0,
当a=1时,原不等式为-1≤0,恒成立,符合题意;
当a=-1时,原不等式为2x-1≤0,则x∈-∞,12,不符合题意;
若a2-1≠0,即a≠±1时,a2-1<0,Δ=(a-1)2+4(a2-1)≤0,解得-35≤a<1,
(由于二次项系数含参数a,对a2-1进行分
类讨论,运用了分类讨论的思想方法)
综上所述,a∈-35,1.
6.解析 (1)当a=1时,不等式f(x)>0化为(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,
∴不等式的解集为(-∞,1)∪(2,+∞).
(2)关于x的不等式f(x)<0,即(x-a)(x-2)<0.
当a=2时,不等式可化为(x-2)2<0,无解;
当a>2时,解不等式(x-a)(x-2)<0,得2
论,解不等式,利用了分类讨论的思想方法)
综上所述,当a=2时,不等式无解;当a>2时,不等式的解集为(2,a);当a<2时,不等式的解集为(a,2).
7.A 作出不等式组表示的可行域如图所示:
联立x+y=0,3x+y-4=0,解得x=2,y=-2,∴A(2,-2).
由z=3x-2y,得y=32x-z2,
由图可知,当直线y=32x-z2过A(2,-2)时,z取得最大值,此时.zmax=6+4=10.故选A.
(作出可行域(图形),从图形上找到使3x-2y取的最大值的点,利用了数形结合的思想方法)
8.答案 a|a>-235
解析 由题知Δ=a2+8>0,且-2<0,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两个根.设y=x2+ax-2,作出函数的大致图象如图所示.
由图象知,不等式x2+ax-2>0在1≤x≤5范围内有解的充要条件是当x=5时,y>0,即25+5a-2>0,解得a>-235.
9.解析 (1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知(图略),当x=1时的函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.
因此a的取值范围是{a|a<1}.
(2)由方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知(图略),x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,
即1+2+a>0,1-2+a<0,4-4+a<0,9-6+a>0,解得-3
11.A 因为4x2+6x+3=2x+322+34>0对一切x∈R恒成立,所以原不等式等价于2x2+2mx+m<4x2+6x+3⇔2x2+(6-2m)x+3-m>0对一切实数x恒成立⇔Δ=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得1
所以-b=1,c=-2,即b=-1,c=-2,
所以f(x)=x2-x-2.
(2)∵mf(x)>2(x-m-1),∴m(x2-x-2)>2(x-m-1),整理得(mx-2)(x-1)>0,
所以当m=0时,不等式的解集为(-∞,1);
当0
当m>2时,不等式的解集为-∞,2m∪(1,+∞).
(把mf(x)>2(x-m-1)转化为(mx-2)(x-
1)>0,然后分别对m=0,0
2进行讨论,运用了转化与化归及分类讨
论的思想方法)
(3)因为x∈[-2,1]时f(x)+3x-1=x2+2x-3,根据二次函数的图象性质,有f(x)+3x-1=x2+2x-3∈[-4,0],
则有g(x)=2f(x)+3x-1=2x2+2x-3,
所以g(x)∈116,1.
因为对于任意的x1,x2∈[-2,1]都有|g(x1)-g(x2)|≤M,
即求|g(x1)-g(x2)|max≤M,转化为|g(x)max-g(x)min|≤M,
而g(x)max=g(1)=1,g(x)min=g(-1)=116,所以M≥1516,
故M的最小值为1516.
转化与化归的思想方法就是在研究和解决
有关数学问题时采用某种手段将问题通过
变换使之转化进而得到解决的一种方法,
一般总是将复杂的问题通过变换转化为简
单的问题,将难解的问题通过变换转化为
容易求解的问题,将未解决的问题通过变
换转化为已解决的问题.如把解分式不等
式的问题转化为整式不等式求解,在不等
式的恒成立问题和存在性问题中通过变换
转化最值问题求解等都用了转化与化归的
思想方法.
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一、选择题
1.C 由x2-1<0,x2-3x<0,得-1
又1a+9b=1,∴61ab≤1,
∴ab≥36,∴ab的最小值为36.故选C.
3.B 原不等式等价于x2+5x-14>0,即(x+7)·(x-2)>0,解得x<-7或x>2,故选B.
4.C 因为2a>2b,所以a>b,若c=0,则ac2=bc2=0,故A错误;
若a是正数,b是负数,则1a>1b,故B错误;因为a>b,所以a3>b3,
故C正确;
因为a、b为实数,所以a、b可能为负数,故D错误,故选C.
5.D 因为a2=(2+6)2=8+212,c2=(3+5)2=8+215,
所以c2>a2,所以c>a.因为b2-c2=16-(8+215)=8-215>0,
所以b2>c2,所以b>c,所以b>c>a,故选D.
6.A 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,则A(1,-1),B(2,0),C(1,4),令t=-2x+y,当直线t=y-2x过点B时t有最小值,为-4,此时z=3-2x+y有最小值,为181,故选A.
7.B 对于A.当c=0时,ac2=bc2,故A是假命题;
对于B,因为a>b>0,所以1a<1b,又c>0,所以ca
故C是假命题;
对于D,如a=-2,b=-1,∴1a>1b,故D是假命题.故选B.
8.C 不等式(a+1)x2-(a+1)x-1<0对一切实数x恒成立,
当a+1=0,即a=-1时,-1<0恒成立;
当a+1≠0,即a≠-1时,则a+1<0,Δ=(a+1)2+4(a+1)<0,解得-5
可知方程x2+ax+b=0的两根分别为-1和2,由根与系数关系可知:-1+2=-a,-1×2=b,所以a=-1,b=-2,所以ab=2,故选B.
10.A 由题意,得f(1)=-1-2=-3,
当a=0时,f(0)-f(0)≤2f(1)=-6,不成立;
当a>0时,-a2-2a-(-a)2+2(-a)≤-6,即a2+2a-3≥0,解得a≤-3或a≥1,所以a≥1;
当a<0时,a2-2a-[-(-a)2-2(-a)]≤-6,即a2-2a+3≤0,无解.
综上所述,a≥1,所以a的取值范围是[1,+∞),故选A.
11.A ∵x>0,y>0,a>0,
∴(ax+y)1x+1y=a+1+yx+axy≥a+1+2yx×axy=(a+1)2当且仅当yx=
axy时取等号,
∵(ax+y)1x+1y≥9恒成立,∴(a+1)2≥9,解得a≥4,故选A.
12.A △ABC中,∵sin A>0,sin B>0,∴sinBsinA=2cos(A+B)=-2cos C>0,即cos C<0,
∴C为钝角,sin B=-2sin Acos C.
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
∴sin Acos C+cos Asin C=-2sin Acos C,
即cos Asin C=-3sin Acos C,
∴tan C=-3tan A,
∴tan B=-tan(A+C)=-tanA+tanC1-tanAtanC=--2tanA1+3tan2A=21tanA+3tanA≤223=33,
当且仅当1tanA=3tan A,即tan A=33时取等号,
∴tan B的最大值为33,故选A.
二、填空题
13.答案 12,1∪(1,2]
解析 因为y=2x-x2lg(2x-1),所以2x-x2≥0,2x-1>0,2x-1≠1,解得12
14.答案 1≤m<19
解析 ①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.
若m=-5,则函数化为y=24x+3,对任意实数x,函数值不可能恒大于0,舍去;
若m=1,则y=3>0恒成立.故m=1.
②当m2+4m-5≠0时,根据题意应有,
m2+4m-5>0,16(1-m)2-12(m2+4m-5)<0,
∴m<-5或m>1,1
15.答案 10
解析 根据约束条件画出可行域如图所示:
由z=3x+2y,得y=-32x+z2,
作目标函数z=3x+2y的一系列平行线,可知直线y=-32x+z2过点A时z最大.
由x-y=0,2x+y-6=0,解得x=2,y=2,∴A(2,2),故z=3x+2y的最大值为z=3×2+2×2=10.
16.答案 22+1
解析 因为b>a>1,所以logab>1.
因为3logab+6logba=11,
所以3logab+6logab=11,解得logab=3或logab=23(舍),即b=a3,
因此a3+2b-1=b+2b-1=b-1+2b-1+1≥2(b-1)·2b-1+1=22+1,
当且仅当b-1=2b-1,即b=2+1时取等号.
三、解答题
17.解析 (1)x3-y3-xy2+x2y=(x3-y3)-(xy2-x2y)
=(x-y)(x2+y2+xy)-xy(y-x)=(x-y)(x2+y2+2xy)=(x-y)(x+y)2. (2分)
因为x>y,所以(x-y)(x+y)2>0,所以x3-y3>xy2-x2y. (5分)
(2)证明:因为x,y,z为正实数,xyz=1,所以x+y≥2xy,y+z≥2yz,x+z≥2xz, (8分)
当且仅当x=y=z=1时取等号. (9分)
所以(x+y)(y+z)(z+x)≥8xy·yz·xz=8xyz=8. (10分)
18.解析 (1)解不等式组x(x+2)>0,x2<1,得x<-2或x>0,-1
即x2-x-6≥0,x2-3x-18<0, (6分)
即(x-3)(x+2)≥0,(x-6)(x+3)<0,
所以x≤-2或x≥3,-3
由根与系数关系可得x1+x2=5=a+3,x1x2=6=2a+b+1,解得a=2,b=1. (5分)
(2)不等式f(x)
当a+1=2,即a=1时,不等式的解集为空集,与题意不符.
综上:-1≤a<0或2
(2)f(a)>f(b),理由如下:
f(a)-f(b)=a2+2a-b2+2b=(a-b)·a+b-2ab. (4分)
因为a>b>1,则a-b>0,a+b>2,ab>1,所以2ab<2,即a+b-2ab>0,
所以(a-b)a+b-2ab>0,所以f(a)>f(b). (6分)
(3)因为函数f(x)=x2+2x,则原不等式可化为(x-1)2+2x-1≥2(x-1)+2x-1+m, (9分)
化简,得x2-4x+3-m≥0对一切x恒成立,所以Δ=42-4×(3-m)≤0,解得m≤-1,
所以m的取值范围为(-∞,-1],所以实数m的最大值为-1. (12分)
21.信息提取 ①室内面积共180 m2;②大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;③小房间每间面积为15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;④装修大房间每间需1 000元,装修小房间每间需600元.
数学建模 本题是以物资分配为背景的实际问题,属于线性规划问题,可构建线性规划模型,如果设他应隔出大房间x间,小房间y间,能获得收益为z元(实际问题),那么根据已知列出x,y所满足的条件形成线性约束条件,目标函数为z=200x+150y,画出可行域,利用图形求z的最大值(为图中阴影部分中的整点).
解析 设他应隔出大房间x间,小房间y间,能获得收益为z元, (1分)
由题意可知18x+15y≤180,1000x+600y≤8000,x,y∈N,
即6x+5y≤60,5x+3y≤40,x,y∈N,(3分)
目标函数为z=200x+150y,画出可行域,为图中阴影部分中的整点.
作直线4x+3y=0,平移到经过B点时,z取得最大值,但B207,607并非整点,还需要在可行域内找出使目标函数z取得最大值的整点. (8分)
由于B207,607,利用网格,可在B附近找到A(2,9),C(2,8),D(3,8)这几个整点.经计算,当直线过点D时,z=200×3+150×8=1 800,最大,又当直线过点(0,12)时,z=150×12=1 800,
所以他应隔出大房间0间、小房间12间或大房间3间、小房间8间,可以获得最大收益. (12分)
22.信息提取 ①规划一个面积为200 m2的矩形区域;②四周安排2 m宽的绿化,绿化造价为200元/m2;③硬化造价为100元/m2.
数学建模 本题是以国家提倡的旧城改造为背景的实际问题,可构建以函数模型求解,要求总造价y(元)的最小值(实际问题),就需要建立y与x的函数关系式,由矩形的长为x(m)可得宽以及中间区域的长与宽,结合各部分的单价与面积可得:y=18 400+400x+200x,x∈(4,50),最后利用基本不等式求最值即可(数学方法).
解析 (1)由矩形的长为x(m),则矩形的宽为200x(m), (2分)
则中间区域的长为(x-4)m,宽为200x-4m,则定义域为x∈(4,50),
则y=100×(x-4)200x-4+200×200-(x-4)200x-4, (5分)
整理得y=18 400+400x+200x,x∈(4,50). (6分)
(2)∵4
一、选择题
1.C A={x|-1
S20=20(a1+a20)2=10(a10+a11)<0,
所以n=20.
3.C 在△ABC中,由正弦定理,有ac=sinAsinC=sin2CsinC=2cos C,又A+B+C=π,A=2C,△ABC为锐角三角形,∴π6
信息提取 ①RO=1+确诊病例增长率×系列间隔;②平均增长率为40%;③平均数为5天.
数学建模 本题是以病毒传播为背景的数列实际问题,可以构建数列模型解决该问题.解题关键是理解新概念“传播指数”,传播指数就是等比数列的公比,从第1轮开始每轮传播的人数为数列的项,问题就是求等比数列的前6项和.可知每轮传播人数是等比数列,先求传播指数RO,即可由等比数列前6项和得出.
解析 记第1轮感染人数为a1,第2轮感染人数为a2,……,第n轮感染人数为an,则数列{an}是等比数列,公比为q=RO,由题意,知RO=1+40%×5=3,即q=3,所以a1=3,
总人数为S6=3(1-36)1-3=1 092人.故选D.
5.B 对于A,当c=0时,不符合题意,故A错误;对于B,由于ac2
∴A(0,1),由图可知,当直线y=2x-z平移至点A(0,1)时,z=2x-y取得最小值,zmin=2×0-1=-1,根据可行域可知,无最大值,所以2x-y的范围是[-1,+∞).故选C.
7.B sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,∵sin B+sin A(sin C-cos C)=0,
∴sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0.
∵sin C≠0,∴cos A=-sin A,∴tan A=-1,
∴π2
∵a>c,∴C=π6,故选B.
8.A 由题易得Sn=a1(1-2n)1-2=a1(2n-1),S2n=a1(1-22n)1-2=a1(22n-1),an+1=a1·2n,
∴Tn=17Sn-S2nan+1=17a1(2n-1)-a1(22n-1)a1·2n=17-2n+162n≤17-22n·162n=17-8=9,
当且仅当2n=162n,即n=2时取等号,∴数列{Tn}的最大项为T2,则n0=2,故选A.
9.C 因为a>0,且a≠1,所以y=2-ax为减函数.
又因为y=loga(2-ax)在(0,1)上是增函数,
所以0
由|x+1|<|x-3|,得(x+1)2<(x-3)2,即x2+2x+1
所以解集为{x|x<1,且x≠-1}.
10.D 由a2n+2a2n=a2n+1a2n+2a2na2n+1=24n+124n-1=4,a2n+1a2n-1=a2na2n+1a2n-1a2n=24n-124n-3=4,可知数列{an}的奇数项是以1为首项,4为公比的等比数列;偶数项是以2为首项,4为公比的等比数列,所以S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1(1-43)1-4+a2(1-43)1-4=63,
S12=a1(1-46)1-4+a2(1-46)1-4=1 365+2×1 365=4 095,所以S12S6=409563=65.故选D.
11. A 因为asin A+bsin B-csin C=0,所以a2+b2-c2=0,所以圆心O(0,0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=|c|a2+b2=1,所以圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0相切,
故选A.
12.B ∵an+1-an-1<3n+12(n≥2,且n∈N*),∴an+2-an<3n+1+12,
又∵an+2-an>3n+1-12,
∴3n+1-12
于是得到a3-a1=32,a5-a3=34,……,a2 019-a2 017=32 018,
上述所有等式全部相加得a2 019-a1=32+34+…+32 018=32(1-91009)1-9=32020-98,
因此,a2 019=a1+32020-98=32020-18.
二、填空题
13.答案 (0,1]
解析 ∵sin2x+cos2x=1,m>0,
∴1sin2x+mcos2x(sin2x+cos2x)=1+m+cos2xsin2x+msin2xcos2x≥1+m+2cos2xsin2x×msin2xcos2x=1+m+2m,当且仅当cos2xsin2x=msin2xcos2x时,等号成立,
若不等式1sin2x+mcos2x≤4有解,则1+m+2m≤4⇒(m-1)(m+3)≤0⇒m∈(0,1].
14.答案 3a km
解析 由题意知,∠ACB=120°,
∴由余弦定理得AB2=3a2+3a2-23a×3a×cos 120°=9a2,
∴AB=3a km.
15.答案 an=3n-1
解析 令n=1,得2a1=3a1-2,解得a1=2,当n≥2时,由2Sn=3an-2n(n∈N*)①,
得2Sn-1=3an-1-2(n-1)②,①-②,得2an=3an-3an-1-2,即an=3an-1+2,
整理,得an+1an-1+1=3,所以数列{an+1}是首项为a1+1=3,公比为3的等比数列,
所以an+1=3n,所以an=3n-1.
16.答案 322,433
解析 ∵A=2B,A+B+C=π,∴C=π-3B.
∵△ABC是锐角三角形,
∴0<2B<π2,0<π-3B<π2,解得π6
∴g(t)∈322,433,即ab+ba的取值范围是322,433.
三、解答题
17.解析 因为b2+c2-a2=bc,所以b2+c2-a22bc=12,所以cos A=12. (2分)
因为A∈(0,π),所以A=π3. (5分)
若选择①a=7,②b=2.
由a2=b2+c2-2bccos A,得7=4+c2-2c,
即c2-2c-3=0,解得c=3(负值舍去),
所以S△ABC=12bcsin A=12×2×3×32=332. (10分)
若选择①a=7,③sin C=2sin B.
由sin C=2sin B以及正弦定理可得c=2b,
由a2=b2+c2-2bccos A,所以7=b2+4b2-2b2,所以b2=73,
所以S△ABC=12bcsin A=12b·2b·32=32×73=736. (10分)
若选择②b=2,③sin C=2sin B.
由sin C=2sin B以及正弦定理可得c=2b,所以c=4,
所以S△ABC=12bcsin A=12×2×4×32=23. (10分)
18.解析 (1)证明:由an+1=Sn+3n得Sn+1-Sn=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,所以Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1bn=2. (4分)
所以{bn}是首项为b1=a-3,公比为2的等比数列,∴bn=(a-3)·2n-1. (6分)
(2)由(1)知Sn-3n=(a-3)·2n-1,
∴Sn=(a-3)·2n-1+3n,
则an+1=Sn+3n=(a-3)·2n-1+2·3n,
∴an=(a-3)·2n-2+2·3n-1(n≥2). (8分)
由an+1>an,得(a-3)·2n-1+2·3n>(a-3)·2n-2+2·3n-1,即3-a8<32n-1(n≥2)恒成立. (10分)
因为函数y=32x在R上单调递增,所以3-a8<322-1,解得a>-9.
而当n=1时,a2=a1+3,a2-a1=3>0成立.
又a≠3,
故a∈(-9,3)∪(3,+∞). (12分)
19.解析 (1)证明:由已知得,当直线y=-x+z过点(2n,0)时,目标函数取得最大值,故zn=2n. (2分)
∵(Sn,an)在直线zn=x+y上,
∴Sn+an=2n,①
∴Sn-1+an-1=2(n-1),n≥2,②
①-②得,2an-an-1=2,n≥2,
∴an-1=2an-2,n≥2. (4分)
又∵an-2an-1-2=an-22an-2-2=an-22(an-2)=12,n≥2,且a1-2=-1,
∴数列{an-2}是以-1为首项,12为公比的等比数列. (6分)
(2)由(1)得an-2=-12n-1, (7分)
∴an=2-12n-1.
∵Sn+an=2n,
∴Sn=2n-an=2n-2+12n-1, (9分)
∴Tn=0+120+2+121+…+2n-2+12n-1
=[0+2+…+(2n-2)]+120+121+…+12n-1
=n(2n-2)2+1-12n1-12
=n2-n+2-12n-1. (12分)
20.信息提取 ①固定成本为200万元;②当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x;③当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10000x-1 450;④每件商品售价为0.05万元.
数学建模 本题是以工厂生产利润为背景的实际问题,可构建分段函数模型解决,根据题意分0
当0
所以L(x)=-13x2+40x-200,0
当x≥80时,L(x)=1 250-x+10000x≤1 250-2x·10000x=1 250-200=1 050.
此时当x=10000x,即x=100时,L(x)取得最大值1 050万元.
由于1 000<1 050,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为1 050万元. (12分)
21.解析 设x1,x2是定义域内任意两个变量,且x1
(1)f(x)的定义域为[0,+∞),且有f(a2-1)>f(2a+2)成立,
等价于a2-1≥0,2a+2≥0,a2-1<2a+2,解得a≤-1或a≥1,a≥-1,-1
(2)不等式f(mx2+2mx)
即(x+2)(mx-1)>0,
①当m=0时,不等式(x+2)(mx-1)>0的解集为{x|x<-2}; (5分)
②当m>0时,不等式(x+2)(mx-1)>0的解集为xx<-2或x>1m; (6分)
③当m<0时,即不等式(x+2)x-1m<0, (8分)
(ⅰ)当1m=-2,即m=-12时,不等式的解集为⌀;
(ⅱ)当1m>-2,即m<-12时,不等式的解集为x-2
所以当n≥2时,Sn=4an-1+1.②
①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2,且n∈N*),
所以an+1-2an=2(an-2an-1). (4分)
又bn=an+1-2an,
所以bn=2bn-1.
因为a1=1,且a1+a2=4a1+1,
所以a2=3a1+1=4.
所以b1=a2-2a1=2.
故数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列. (6分)
(2)由(1)可知bn=2n,则cn=1log2bn+3=1n+3(n∈N*).
Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1
=14×5+15×6+16×7+…+1(n+3)(n+4)
=14-15+15-16+16-17+…+1n+3-1n+4
=14-1n+4=n4(n+4). (8分)
由4mTn>(n+2)cn,得mnn+4>n+2n+3,
即m>(n+4)(n+2)n(n+3),
所以m>n2+6n+8n2+3n=1+3n+8n2+3n=1+3n+3+8n2+3n对于一切n∈N*恒成立.
设f(x)=1+3x+3+8x2+3x,x≥1. (10分)
可知f(x)在[1,+∞)为减函数,
又f(1)=154,所以当n∈N*时,有f(n)≤f(1).
所以m>154. (12分)
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